銹蝕鋼筋的隨機本構(gòu)關(guān)系

張偉平，李崇凱，顧祥林，代紅超

（同濟(jì)大學(xué) 建筑工程系，上海 200092）

鋼筋銹蝕已成為混凝土結(jié)構(gòu)耐久性失效的主要原因，據(jù)估計全世界混凝土結(jié)構(gòu)每年因鋼筋銹蝕引起的維護(hù)加固費用達(dá)1 000億美元［1］.鋼筋銹蝕的發(fā)生與發(fā)展，導(dǎo)致鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)提前發(fā)生破壞甚至倒塌.除了混凝土保護(hù)層銹脹開裂直至脫落、鋼筋與混凝土間的黏結(jié)性能退化乃至喪失外，鋼筋截面積減小和力學(xué)性能劣化是造成銹蝕鋼筋混凝土構(gòu)件承載能力降低的主要因素，因此銹蝕鋼筋力學(xué)性能退化規(guī)律的研究引起了國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注.已有銹蝕鋼筋拉伸試驗結(jié)果表明，隨著鋼筋銹蝕率的增大，其名義屈服強度、極限強度和極限延伸率均有降低，屈服平臺縮短甚至消失，但彈性模量未見明顯變化［2－5］，據(jù)此建立了銹蝕鋼筋應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系的確定性模型［6］.

建立時變抗力概率分布模型是實現(xiàn)鋼筋混凝土構(gòu)件時變可靠性分析或基于概率的剩余使用壽命預(yù)測的基本前提.就銹蝕鋼筋混凝土構(gòu)件而言，銹蝕鋼筋力學(xué)性能的變異性是影響其抗力分布的主要因素.由于使用環(huán)境的變異性、混凝土材料的不均勻性，混凝土碳化、氯離子侵蝕及其引起的鋼筋銹蝕過程均是一個隨機過程.銹蝕程度也因為鋼筋的走向、鋼筋的銹坑分布、表面幾何特征以及銹蝕的不均勻程度而隨機變化，且隨著銹蝕的發(fā)展，鋼筋銹蝕越來越不均勻［7－9］.正因為鋼筋銹蝕的不均勻性，考慮到實際工程中難以準(zhǔn)確確定最小截面積，一般采用銹后平均截面積來衡量鋼筋的屈服強度或極限強度，而拉伸過程中破壞面往往發(fā)生在銹蝕較嚴(yán)重的薄弱截面（最小截面處），其截面積小于平均截面積，最小截面與平均截面間的差異勢必造成銹蝕鋼筋力學(xué)性能變異性增大，導(dǎo)致銹蝕構(gòu)件失效概率進(jìn)一步增加.由此推斷鋼筋力學(xué)性能的變異性也將隨著銹蝕的發(fā)生與發(fā)展而變化，即銹蝕鋼筋力學(xué)性能的退化也是一個隨機過程［10］.

本文采用三維激光掃描技術(shù)獲取銹蝕鋼筋三維幾何模型，分析其橫截面積的縱向不均勻性及其對銹蝕鋼筋力學(xué)性能的影響機理；利用銹蝕鋼筋力學(xué)性能試驗數(shù)據(jù)庫，經(jīng)過統(tǒng)計分析和正態(tài)性檢驗建立未銹鋼筋力學(xué)性能概率分布模型和銹蝕鋼筋力學(xué)性能退化的隨機過程，最終將銹蝕鋼筋應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系由確定性模型發(fā)展為隨機過程模型.

1 銹蝕鋼筋橫截面積的縱向不均勻分布

銹蝕鋼筋拉伸試驗結(jié)果表明，銹蝕鋼筋普遍在最小截面處發(fā)生破壞，因此采用銹蝕后平均截面積與最小截面積之比R（也稱橫截面積縱向不均勻系數(shù)）來衡量銹蝕鋼筋橫截面積的不均勻性.銹蝕鋼筋的名義屈服強度和名義極限強度可以用式（1）表示：

式中：Fyc，F(xiàn)uc分別為銹蝕鋼筋的屈服荷載和極限荷載；Asc，Amin分別為銹蝕鋼筋的平均橫截面積和最小橫截面積；fyc，fuc分別為基于平均截面積的銹蝕鋼筋名義屈服強度和名義極限強度；fyc0，fuc0分別為基于最小截面積的銹蝕鋼筋實際屈服強度和實際極限強度.

由式（1）不難看出，基于平均截面積的銹蝕鋼筋名義強度等于基于最小截面積的實際強度與橫截面積縱向不均勻系數(shù)R 之比.缺口鋼筋的拉伸試驗和數(shù)值分析結(jié)果表明，銹蝕鋼筋的實際強度隨著銹蝕率的增大幾乎不變，近似等于銹前鋼筋的強度［11］.換言之，銹蝕鋼筋名義強度的降低主要是其平均截面積與最小截面積的差異造成的.

對酸洗、烘干后的銹蝕鋼筋進(jìn)行三維激光掃描，可獲得銹蝕鋼筋的三維實體模型，精度達(dá)4μm［12］.運用ProEngineer軟件，可以提取沿銹蝕鋼筋縱向間隔為1mm 的橫截面積，經(jīng)統(tǒng)計得到該段銹蝕鋼筋的平均橫截面積Asc，最小橫截面積Amin以及R值.取截斷長度為50mm，可以獲得給定平均銹蝕率ηs下R 值的直方圖（圖1）.經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)R 值服從R≥1的Gumbel極值分布，其概率密度函數(shù)為：

式中：x 為銹蝕鋼筋的平均截面積與最小截面積之比；μ和σ為Gumbel極值分布的統(tǒng)計參數(shù)；E（R），D（R）為R 值的均值和均方差；歐拉常數(shù)γ＝0.577 2.

圖1 銹蝕鋼筋R 值的典型直方圖（直徑12mm，平均銹蝕率0.208）Fig.1 Typical histogram of Rfor corroded steel bars（φ12，ηs＝0.208）

計算出不同銹蝕率鋼筋對應(yīng)的E（R），D（R），再根據(jù)式（3），（4）可以獲得相應(yīng)銹蝕率下的μ，σ，由此得到μ，σ與平均截面銹蝕率ηs的關(guān)系，如圖2所示.由圖2可見，統(tǒng)計參數(shù)μ，σ均隨平均截面銹蝕率ηs的增大近似線性增大，即隨著鋼筋銹蝕的發(fā)展，其橫截面積分布越來越不均勻，表現(xiàn)為R 值的均值和均方差均增大.

圖2 銹蝕鋼筋R 值統(tǒng)計參數(shù)μ 和σ 隨平均截面銹蝕率的變化關(guān)系Fig.2 Effect of corrosion degree on Gumbel statistical parameters of R

2 銹蝕鋼筋應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系的確定性模型

根據(jù)銹蝕鋼筋拉伸試驗過程中實測的荷載－變形關(guān)系曲線換算出相應(yīng)的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系曲線。

圖3給出了2組比較典型的不同銹蝕程度鋼筋的應(yīng)力－應(yīng)變σsc－εsc關(guān)系曲線（曲線旁邊數(shù)字為鋼筋的平均截面銹蝕率）.圖3中σsc為名義應(yīng)力，即荷載與銹蝕鋼筋平均截面積之比，εsc為名義應(yīng)變，即變形與引伸計標(biāo)矩之比.

圖3 鋼筋應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系曲線Fig.3 Stress－strain curves for steel bars

由圖3可見，隨著鋼筋平均截面銹蝕率的增大，其名義屈服強度、極限強度及極限應(yīng)變均逐漸減小，屈服平臺縮短，當(dāng)平均截面銹蝕率超過一定程度即達(dá)到臨界銹蝕率ηscr后屈服平臺消失.基于這一特征，當(dāng)鋼筋平均截面銹蝕率低于臨界銹蝕率時，銹蝕鋼筋應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系采用三線型模型；當(dāng)鋼筋平均截面銹蝕率高于臨界銹蝕率時采用雙線型模型，如圖4所示，并可用式（5）表示：

式中：εshc，εsuc分別為強化應(yīng)變和極限應(yīng)變；Esc，Eshc分別為彈性模量和強化段模量，其中Eshc＝（fucfyc）／（εsuc－εshc）.

混凝土碳化和氯鹽侵蝕及其引起的鋼筋銹蝕是一個復(fù)雜的物理化學(xué)過程.由于周邊環(huán)境和混凝土本身都具有很大的隨機性，混凝土中鋼筋銹蝕及其引起的力學(xué)性能退化過程宜用非平穩(wěn)隨機過程來模擬.由圖4和式（5）可以看出，銹蝕鋼筋應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系的隨機模型包含未銹鋼筋彈性模量Es0，屈服強度fy0，極限強度fu0，強化應(yīng)變εsh0和極限應(yīng)變εsu0等隨機變量及銹蝕鋼筋屈服強度fyc，極限強度fuc，極限應(yīng)變εsuc等隨機過程.如式（6）所示，銹蝕鋼筋的名義屈服強度、極限強度可以用相對屈服荷載、極限荷載及平均銹蝕率和銹前強度表示.因此，取未銹鋼筋屈服強度、極限強度的均值為fy0，fu0，則隨機變量未銹鋼筋屈服強度、隨機過程銹蝕鋼筋屈服強度可以用相應(yīng)的相對屈服荷載αy0，αyc表示.隨機變量未銹鋼筋極限強度、隨機過程銹蝕鋼筋極限強度可以用相應(yīng)的相對極限荷載αu0，αuc表示如下：

圖4 銹蝕鋼筋應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系模型Fig.4 Stress－strain relationship for corroded steel bars

式中：Fy0，F(xiàn)u0分別為未銹鋼筋的屈服荷載和極限荷載；As0為未銹鋼筋的名義截面積.

3 未銹鋼筋力學(xué)性能概率分布模型

對未銹鋼筋的彈性模量Es0，相對屈服荷載值αy0，相對極限荷載αu0，強化應(yīng)變εsh0及極限應(yīng)變εsu0分別進(jìn)行統(tǒng)計分析，繪出其概率分布直方圖，如圖5所示.由圖5可見，上述統(tǒng)計量有服從正態(tài)分布的趨勢.用Epps－Pulley方法［13］和Shapiro－Wilk方法［14］對上述統(tǒng)計量分別進(jìn)行正態(tài)性檢驗，發(fā)現(xiàn)其均不拒絕正態(tài)分布，統(tǒng)計出相應(yīng)的均值μ，方差σ2和變異系數(shù)δ，由此得到未銹鋼筋力學(xué)性能的概率分布模型，如式（7）所示：

圖5 未銹鋼筋力學(xué)性能概率分布直方圖Fig.5 Histograms of mechanical properties for uncorroded steel bars

式中：x 代表未銹鋼筋的彈性模型、相對屈服／極限荷載值、強化應(yīng)變和極限應(yīng)變；μ 和δ 分別代表相應(yīng)的均值和變異系數(shù).

4 銹蝕鋼筋力學(xué)性能退化的隨機過程模型

鋼筋力學(xué)性能的變異性以及這種變異性隨著銹蝕的發(fā)展而變化的現(xiàn)象，導(dǎo)致在相同平均截面銹蝕率下實測銹蝕鋼筋力學(xué)性能的不同.圖6為銹蝕鋼筋力學(xué)性能與平均截面銹蝕率的關(guān)系，由圖6可見，銹蝕鋼筋的相對屈服荷載、相對極限荷載和極限延伸率ασc隨著銹蝕的發(fā)展而減?。煌瑫r，對于特定平均截面銹蝕率，其試驗數(shù)據(jù)分布在某一范圍內(nèi).確定在特定平均截面銹蝕率下這些數(shù)據(jù)的分布模型以及分布模型統(tǒng)計參數(shù)隨平均截面銹蝕率的變化規(guī)律，就可以確定銹蝕鋼筋力學(xué)性能退化的隨機過程模型.

4.1 銹蝕鋼筋的彈性模量和強度

圖6 銹蝕鋼筋力學(xué)性能與平均截面銹蝕率關(guān)系Fig.6 Mechanical properties vs.corrosion degree of corroded steel bars

對不同平均截面銹蝕率下的彈性模量Esc，相對屈服荷載αyc和相對極限荷載αuc分布進(jìn)行正態(tài)性檢驗，結(jié)果表明，不同平均截面銹蝕率下的彈性模量和名義強度相對值不拒絕正態(tài)分布，因此其性能退化隨機過程可以用式（8）表示：

式中：x（ηs）代表Esc，αyc，αuc及εsuc；μ（ηs）和δ（ηs）為相應(yīng)的均值和變異系數(shù).

統(tǒng)計得到的均值μ（ηs）、變異系數(shù)δ（ηs）隨平均截面銹蝕率的變化規(guī)律如表1所示.由表1可見，隨著鋼筋平均截面銹蝕率的增加，其彈性模量均值基本保持不變，名義強度均值逐漸減小，但兩者的變異系數(shù)均呈線性增大.根據(jù)式（1）不難理解，銹蝕鋼筋屈服強度和極限強度均值的降低與銹蝕鋼筋R 值均值的增大直接相關(guān)，屈服強度和極限強度變異性的增大主要是R 值變異性的增大所致.另外，相對于屈服強度，極限強度均值退化更為顯著、變異系數(shù)增加更快，導(dǎo)致銹蝕鋼筋屈強比增大，發(fā)生脆性破壞的概率增大.

表1 銹蝕鋼筋力學(xué)性能均值μ（ηs），變異系數(shù)δ（ηs）與平均截面銹蝕率的關(guān)系Table 1 μ（ηs）andδ（ηs）of mechanical properties vs.corrosion degree of corroded steel bars

4.2 銹蝕鋼筋的強化應(yīng)變

在所建立的銹蝕鋼筋力學(xué)性能數(shù)據(jù)庫中，較大比例的數(shù)據(jù)是關(guān)于銹蝕鋼筋強度指標(biāo)的，銹蝕鋼筋的強化應(yīng)變數(shù)據(jù)較少，很難按照銹蝕鋼筋強度退化隨機過程建立的方法進(jìn)行銹蝕鋼筋強化應(yīng)變的統(tǒng)計分析.考慮到由屈服強度和彈性模量可以確定屈服應(yīng)變，由屈服應(yīng)變和屈服平臺長度可以確定強化應(yīng)變，因此銹蝕鋼筋強化應(yīng)變問題可轉(zhuǎn)化為屈服平臺長度問題.圖7為外加電流加速銹蝕鋼筋屈服平臺長度與平均截面銹蝕率之間的關(guān)系.

由圖7可見，隨著平均截面銹蝕率的增大，屈服臺階長度近似線性縮短直至消失，于是銹蝕鋼筋強化應(yīng)變可按式（9）計算：

除了與平均截面銹蝕率、未銹蝕鋼筋的強化應(yīng)變有關(guān)外，銹蝕鋼筋屈服平臺長度主要取決于屈服平臺縮短時的臨界銹蝕率ηscr.

圖7 屈服臺階長度－平均截面銹蝕率關(guān)系Fig.7 Length of yield plateau vs.corrosion degree

臨界銹蝕率指鋼筋屈服平臺消失時的平均截面銹蝕率，參照圖7試驗結(jié)果，加速銹蝕的變形鋼筋臨界銹蝕率取0.3，光圓鋼筋取0.15（實際工程自然銹蝕的變形鋼筋取0.2，光圓鋼筋取0.1［6］）.

4.3 銹蝕鋼筋的極限應(yīng)變

不同平均截面銹蝕率下銹蝕鋼筋極限應(yīng)變的數(shù)據(jù)較少，不能滿足正態(tài)性檢驗數(shù)據(jù)量的要求；而銹蝕鋼筋極限延伸率的數(shù)據(jù)量相對較多.假定極限應(yīng)變和極限應(yīng)變率均值和變異系數(shù)隨平均截面銹蝕率的變化規(guī)律一致，按照銹蝕鋼筋強度退化隨機過程建立步驟，通過對極限延伸率的統(tǒng)計分析建立其隨機過程，其均值隨平均截面銹蝕率的發(fā)展按指數(shù)退化（圖6（c））.變異系數(shù)COV 與平均截面銹蝕率ηs 的關(guān)系如圖8所示.在此基礎(chǔ)上，根據(jù)圖8所示的未銹鋼筋極限應(yīng)變均值、變異系數(shù)可以得到極限應(yīng)變均值、變異系數(shù)隨平均截面銹蝕率的變化規(guī)律（如表1所示），極限應(yīng)變隨機過程仍可用式（7）表示.

圖8 極限延伸率變異系數(shù)－平均截面銹蝕率關(guān)系Fig.8 COV of ultimate elongation vs.corrosion degree

5 銹蝕鋼筋應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系的隨機過程模型

將式（7）～（9）代入式（5）即可得到銹蝕鋼筋應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系的隨機過程模型.根據(jù)該隨機過程模型，不但可以獲得任一平均截面銹蝕率下銹蝕鋼筋極限強度、屈服強度、極限應(yīng)變、強化應(yīng)變及彈性模量的均值估計值ˉx，而且可以得到在一定保證率β下這些力學(xué)性能參數(shù)的上限x＋和下限x－.最后根據(jù)上述力學(xué)性能均值及對應(yīng)的區(qū)間上下限可以建立在特定銹蝕率下、保證率為β的銹蝕鋼筋應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系的隨機模型.

下面分別以1 組變形鋼筋和1 組光圓鋼筋為例，介紹以整體銹蝕鋼筋力學(xué)性能樣本為基礎(chǔ)的銹蝕鋼筋應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系隨機模型的具體應(yīng)用.其中，未銹鋼筋的力學(xué)性能參數(shù)假設(shè)如下：

利用式（7）～（9）可以分別得到在平均截面銹蝕率為0，0.1及0.2下的銹蝕鋼筋力學(xué)性能參數(shù)均值估計量，以及在保證率β＝0.682 6下力學(xué)性能參數(shù)的上下限，具體計算結(jié)果如圖9，10所示.由圖9，10可見，在一定保證率下，隨著鋼筋銹蝕率的增大，在銹蝕鋼筋力學(xué)性能均值降低的同時，其分布區(qū)間也有所增大，勢必導(dǎo)致銹蝕鋼筋混凝土構(gòu)件失效概率的增大，不容忽視.

圖9 不同平均截面銹蝕率下變形鋼筋應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系的隨機模型Fig.9 Stochastic model of stress－train relationship for deformed steel bars under different corrosion degree

圖10 不同平均截面銹蝕率下光圓鋼筋應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系的隨機模型Fig.10 Stochastic model of stress－train relationship for plain steel bars under different corrosion degree

6 結(jié)語

（1）銹蝕鋼筋平均截面積與最小截面積之比R服從Gumbel極值分布，且隨著鋼筋銹蝕的發(fā)展，其橫截面積分布越來越不均勻，R 值的均值和均方差均有增大.

（2）不同平均截面銹蝕率下銹蝕鋼筋的名義強度相對值、強化應(yīng)變、極限應(yīng)變和彈性模量概率分布模型均不拒絕正態(tài)分布，銹蝕鋼筋力學(xué)性能退化過程可以用正態(tài)隨機過程描述.

（3）隨著鋼筋平均截面銹蝕率的增大，鋼筋彈性模量均值變化不大，名義強度相對值、屈服平臺長度和極限應(yīng)變的均值均有降低，但變異系數(shù)均近似線性增大.銹蝕鋼筋力學(xué)性能變異性的增大將導(dǎo)致銹蝕構(gòu)件失效概率的增大，不容忽視.

（4）在統(tǒng)計分析的基礎(chǔ)上，建立了銹蝕鋼筋力學(xué)性能退化的隨機模型，并將銹蝕鋼筋應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系的確定性模型發(fā)展為隨機過程模型.

［1］LI C Q，MELCHERS R E.Time－dependent risk assessment of structural deterioration caused by reinforcement corrosion［J］.ACI Structural Journal，2006，102（5）：754－762.

［2］ALMUSALLAM A A.Effect of degree of corrosion on the properties of reinforcing steel bars［J］.Construction and Building Materials，2001，15（8）：361－368.

［3］徐港，張懂，劉德富，等.氯鹽環(huán)境下混凝土中銹蝕鋼筋力學(xué)性能研究［J］.水利學(xué)報，2012，43（4）：452－459.XU Gang，ZHANG Dong，LIU Defu.Research on mechanical properties of corroded steel bar in concrete under chloride environment［J］.Journal of Hydraulic Engineering，2012，43（4）：452－459.（in Chinese）

［4］王軍強.大氣環(huán)境下銹蝕鋼筋力學(xué)性能試驗研究分析［J］.徐州建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2003，3（3）：25－27.WANG Junqiang.Experimental study and analysis on mechanical properties of corroded reinforcing bars in the atmosphere environment［J］.Journal of Xuzhou Institute of Architectural Technology，2003，3（3）：25－27.（in Chinese）

［5］DANG V H，F(xiàn)RAN?OIS R.Influence of long－term corrosion in chloride environment on mechanical behaviour of RC beam［J］.Engineering Structures，2013，48：558－568.

［6］張偉平，商登峰，顧祥林.銹蝕鋼筋應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系研究［J］.同濟(jì)大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2006，34（5）：586－592.ZHANG Weiping，SHANG Dengfeng，GU Xianglin.Stressstrain relationship of corroded steel bars［J］.Journal of Tongji University：Nature Science，2006，34（5）：586－592.（in Chinese）

［7］GONZáLEZ J A，ANDRADE C，ALONSO C，et al.Comparison of rates of general corrosion and maximum pitting penetration on concrete embedded steel reinforcement［J］.Cement and Concrete Research，1995，25（2）：257－264.

［8］吳慶，袁迎曙.銹蝕鋼筋力學(xué)性能退化規(guī)律試驗研究［J］.土木工程學(xué)報，2008，41（12）：42－47.WU Qing，YUAN Yingshu.Experimental study on the deterioration of mechanical properties of corroded steel bars［J］.China Civil Engineering Journal，2008，41（12）：42－47.（in Chinese）

［9］ZHANG W P，SONG X B，GU X L，et al.Tensile and fatigue behavior of corroded rebars［J］.Construction and Building Materials，2012，34：409－417.

［10］張偉平，顧祥林，金賢玉，等.混凝土中鋼筋銹蝕機理及銹蝕鋼筋力學(xué)性能研究［J］.建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報，2010，31（S1）：327－332.ZHANG Weiping，GU Xianglin，JIN Xianyu，et al.Study on corrosion mechanism of steel bars in concrete and mechanical performance of corroded steel bars［J］.Journal of Building Structure，2010，31（S1）：327－332.（in Chinese）

［11］ZHANG W P，DAI H C，GU X L，et al.Effects of corrosion pits on mechanical properties of corroded steel bars［C］∥The 12th Biennial ASCE Aerospace Division International Conference Honolulu.Hawaii：［s.n.］，2010：3504－3511.

［12］ZHANG W P，ZHOU B B，GU X L，et al.Probability distribution model for cross－sectional area of corroded reinforcing steel bars［J］.Journal of Materials in Civil Engineering，2014，26（5）：822－832.

［13］HENZE N.An Approximation to the limit distribution of the Epps－Pully test statistic for normality［J］.Merika，1990，37（1）：7－18.

［14］SHAPIRO S S，WILK M B.An analysis of variance test for normality（complete samples）［J］.Biometrika，1965，52（3／4）：591－611.