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    閉格的性質(zhì)

    2014-11-28 17:53:23李慶國(guó)吳瓊伍秀華

    李慶國(guó)+吳瓊+伍秀華

    摘要:對(duì)閉格進(jìn)行研究,給出了閉格的等價(jià)刻畫(huà),討論了閉格與Locale的關(guān)系,并證明了閉格的笛卡爾乘積仍是閉格.同時(shí),得到了閉格在保任意并的滿態(tài)射下仍是閉格,最后證明了閉格在閉包運(yùn)算下的像是閉格.

    關(guān)鍵詞:閉格; 并不可約元; Locale; 笛卡爾乘積; 閉包運(yùn)算

    中圖分類(lèi)號(hào):O153.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

    近幾十年來(lái),隨著理論計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展,格理論與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)受到計(jì)算科學(xué)家和數(shù)學(xué)家越來(lái)越多的關(guān)注.在 \[1\]中Raney通過(guò)引入完備集環(huán)的概念,給出了完備集環(huán)的格表示,也就是Raney在文\[2\]中定義的完全分配的代數(shù)格,并給出了完全分配完備格的等價(jià)定理.在\[3\]中Davey等人又給出代數(shù)格的概念,指出代數(shù)格中的任意元都是所有緊元的并,一個(gè)代數(shù)格可以構(gòu)造一個(gè)與之同構(gòu)的有上界的代數(shù)交結(jié)構(gòu);反之,一個(gè)有上界的代數(shù)交結(jié)構(gòu)也可以構(gòu)成一個(gè)代數(shù)格.在[4]中郭蘭坤和李慶國(guó)提出了F擴(kuò)張閉包空間并實(shí)現(xiàn)了代發(fā)domain的集族表示,從而拓廣了Davey等人的結(jié)果.而且,許多學(xué)者系統(tǒng)研究了閉包系統(tǒng)的性質(zhì)[5-6].在\[7\]中,楊田和李慶國(guó)等對(duì)有限并是封閉的閉包算子所構(gòu)建的有上界的交結(jié)構(gòu)(稱(chēng)之為拓?fù)浣唤Y(jié)構(gòu))進(jìn)行研究,并引入閉格的概念,給出了拓?fù)浣唤Y(jié)構(gòu)的格表示.在本文中,我們繼續(xù)對(duì)閉格進(jìn)行研究,討論了閉格的等價(jià)刻畫(huà)和閉格與Frame的關(guān)系以及它的基本性質(zhì),并得到閉格在保任意并的滿態(tài)射下仍是閉格,最后證明了閉格運(yùn)算下的像是閉格.

    首先,給出閉格的一些基本概念.

    (2)對(duì)于任意的a,b∈L, 都有Da∪Db=Da∨b.

    定理1[7] 設(shè)C為集合X上的閉包算子,Lc是相應(yīng)的有上界的交結(jié)構(gòu),則如下命題等價(jià):

    (1) C是拓?fù)溟]包算子.

    (2)若對(duì)于任意X的子集A和B均有C(A∪B)=C(A)∪C(B).

    (3)Lc是有上界的拓?fù)浣唤Y(jié)構(gòu).

    定理2[7](1)若L為有上界的拓?fù)浣唤Y(jié)構(gòu),則L可構(gòu)成閉格.

    (2)若L為閉格,則L:=Daa∈L是一個(gè)有上界的拓?fù)浣唤Y(jié)構(gòu),并且與L同構(gòu).

    定理3[7](1)若L為拓?fù)浣唤Y(jié)構(gòu),則L可構(gòu)成一個(gè)閉半格.

    (2)若L為閉半格, 則L:=Daa∈L是一個(gè)拓?fù)浣唤Y(jié)構(gòu),并且與L同構(gòu).

    1閉格的等價(jià)刻畫(huà)

    在本節(jié)中,繼續(xù)對(duì)閉格進(jìn)行研究,給出了閉格的等價(jià)刻畫(huà).

    定理4設(shè)L是完備格,對(duì)于任意的a∈L都有a=∨Da, 則下列條件是等價(jià)的:

    (1)對(duì)于任意的a,b∈L,都有Da∪Db=Da∨b.

    (2)并不可約元與并素元是等價(jià)的,即J(L)=P(L).

    (3)L是分配格.

    證(1)(2)假設(shè)對(duì)任意的x∈P(L),存在a,b∈L使得x=a∨b. 由并素元的定義可知若x≤a∨b,則對(duì)任意的a,b∈L有x≤a或x≤b. 又x=a∨b意味著x≥a且x≥b. 故x=a或x=b.從而P(L)J(L).

    反之,設(shè)x∈J(L)滿足x≤a∨b. 由Da∨b定義知x∈Da∨b=Da∪Db.

    根據(jù)定義6有x∈Da或x ∈Db,即x≤a或x≤b. 則J(L)P(L), 所以P(L)=J(L).

    (3)(2)只需證J(L)P(L).

    假設(shè)對(duì)任意的x∈J(L),存在a,b∈L滿足x≤a∨b,那么x=x∧(a∨b). 因 為 L是分 配 格,則x=(x∧a)∨(x∧b). 由并不可約元的定義又可知x=x∧a或x=x∧b,因此x≤a或x≤b,故J(L)P(L). 所以P(L)=J(L).

    定理5設(shè)L是完備格,Pa={p∈P(L)p≤a}. 則L為閉格當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的a∈L, a=∨Pa.

    證 充分性. 對(duì)任意的a∈L,a=∨Pa, 而PaDa,則a∈L,a=∨Da. 由定理4可知只須證明L為分配格. 對(duì)任意的a,b,c∈L,顯然a∧(b∨c)≥(a∧b)∨(a∧c)成立.

    下面證明a∧(b∨c)≤(a∧b)∨(a∧c).

    由已知條件有a∧(b∨c)=∨Pa∧(b∨c). 對(duì)任意的p∈Pa∧(b∨c), 有p≤a∧(b∨c), 則p≤a且p≤b∨c. 又由于p∈P(L), 因此當(dāng)p≤b∨c時(shí),可以推出p≤b或者p≤c, 綜合上述可知p≤a∧b或者p≤a∧c, 即p≤(a∧b)∨(a∧c), 所以a∧(b∨c)=∨Pa∧(b∨c)≤(a∧b)∨(a∧c) 必要性顯然成立.

    注因此可知楊田對(duì)有上界的交結(jié)構(gòu)(稱(chēng)之為拓?fù)浣唤Y(jié)構(gòu))進(jìn)行研究定義的閉格與1959年S.Papert定義的閉集格是一樣的.

    由于閉格具有很好的分配性質(zhì),所以討論閉格與Locale的關(guān)系.

    定義7[10] 設(shè)L是完備格且滿足無(wú)限分配律,即對(duì)任意的a∈L,BL, 有a∧∨B=∨a∧bb∈B, 則稱(chēng)L是Locale.

    定義8[10]以滿足無(wú)限分配律的完備格為對(duì)象,以保任意并,有限交的映射為態(tài)射所構(gòu)成的范疇稱(chēng)為Frame范疇,并記作Frm. 在Frame范疇中,對(duì)象稱(chēng)為frame,態(tài)射稱(chēng)為frame同態(tài).

    定義9[10]設(shè)L是Locale. 若frame同態(tài)φ:L→Ω(ptL)是單射(從而是格同構(gòu)),則稱(chēng)Locale L是空間式的,或稱(chēng)L有足夠多的點(diǎn).

    引理1[10]設(shè)L是Locale,則下列條件等價(jià):

    (1)L是空間式的.

    (2)對(duì)任意的a,b∈L,a>b, 存在p∈ptL使得p(a)=1與p(b)=0.

    (3)對(duì)任意的a,b∈L,a>b, 存在L的素元x使得a>x,b≤x.

    (4)對(duì)任意的a∈L,a是L的素元之交.

    命題1空間式Locale的對(duì)偶是閉格.

    證由定理5和引理1可知空間式Locale L的對(duì)偶滿足情形:任意的元都是L對(duì)偶的并素元之并,因而L的對(duì)偶是閉格.

    2主要性質(zhì)

    在本節(jié)中,給出閉格的完備子格仍是閉格的條件,證明了閉格的笛卡爾乘積仍然是閉格和閉格的保任意并的滿態(tài)射像仍是閉格.同時(shí)得到了閉格在閉包運(yùn)算下的態(tài)射仍是閉格.

    定義10設(shè)L是閉格,非空子集SL. 若S對(duì)L中的任意非空并和任意非空交都封閉,即對(duì)任意的非空子集AS, ∨LA和∧LA存在時(shí),總有∨LA, ∧LA∈S成立,則稱(chēng)S是L的完備子格.

    引理2 設(shè)S是閉格L的完備子格且為下集,則P(L)∩S=P(S).

    證 設(shè)x∈P(S), 若存在a,b∈L使得x≤a∨b,則x≤(a∨b)∧x. 由定理4知,L是分配格,則x≤(a∨b)∧x=(a∧x)∨(b∧x).

    由S是L的下集可知,a∧x,b∧x∈S,故(a∧x)∨(b∧x)∈S. 又x是S中的并素元,因此x≤a∧x或x≤b∧x. 從而x≤a或x≤b, 即x∈P(L)∩S, 所以P(S)P(L)∩S. 反之,設(shè)x∈P(L)∩S, 若存在a,b∈S使得x≤aVsb, 則x≤a∨Lb, 從而x≤a或x≤b, 即x∈P(S).

    定理6設(shè)S是閉格L的完備子格且為下集, 則S仍是閉格.

    證由定理5只須證x=∨s(P(S)∩↓sx).顯然∨s(P(S)∩↓sx)≤x,設(shè)x∈S且S是L的下集,則↓sx=↓x. 而根據(jù)引理2可知

    ∨s(P(S)∩↓sx)=∨s(P(L)∩↓x∩S)=∨s(P(L)∩↓x)∨L(P(L)∩↓x)=x

    所以x=∨s(P(S)∩↓sx), 即S是閉格.

    定理7設(shè)Lii∈I是一族閉格,記L=∏i∈ILi是笛卡爾乘積集,則L賦予逐點(diǎn)序也是閉格.

    證設(shè)(Li)i∈I為一族閉格,記L=∏i∈ILi. 由閉格的定義可知i∈I,Li為分配格. 令a,b,c∈L, 則有

    即L是分配格.對(duì)于任意的aii∈I, 令δi={x∈∏i∈ILi|xi≤ai且xi∈J(Li),j≠i時(shí)xj=0}顯然∪i∈Iδi中的元是∏i∈ILi中的并不可約元,且∪i∈Iδi在∏i∈ILi的并是aii∈I. 綜上可得L是閉格.

    定理8設(shè)L是閉格,Q是完備格. 若f:L→Q為保任意并的滿映射, 且f(P(L))P(Q), 則Q是閉格.

    證由于f為滿映射,則對(duì)任意的y∈Q, 存在x∈L, 使 得 f(x)=y.

    顯然 ∨(P(Q)∩↓f(x))≤f(x). 又L是閉格,則f(x)=f∨PL∩↓x=∨fPL∩↓x.

    對(duì)于任意的z∈PL∩↓x,則z≤x,由于f是保任意并的映射,則f(z)≤f(x)

    參考文獻(xiàn)

    [1]RANEY G N. Completely distributive complete lattice [J]. Proc Amer Math Soc, 1952, 3: 677-680.

    [2]RANEY G N. A subdirectunion representation for completely distributive complete lattice [J]. Proc Amer Math Soc, 1953, 4: 518-522.

    [3]DAVEY B A, PRIESTLEY H A. Introduction to lattice and order [M]. Cambridge: Cambridge University Press, 2002.

    [4]GUO Lankun, LI Qingguo. The categorical equivalence between algebraic domains and Faugmented closure spaces[J]. Order, Doi: 10.1007/s11083-014-9318-8.

    [5]GUO Lankun, ZHANG Guoqiang, LI Qingguo. Fuzzy closure systems on Lordered sets[J]. Mathematical Logic Quarterly, 2011,57(3): 281-291.

    [6]ERNE M C, MYNARD F, PEARL E,et al. Beyond topology, contemporary mathematics[J]. American Mathematical Society, Providence,2009.

    [7]楊田, 李慶國(guó). 閉格與拓?fù)浣唤Y(jié)構(gòu)[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2007,34(3): 250-258.

    YANG Tian, LI Qingguo. On closed lattice and topological intersection structure [J]. Journal of Hunan University: Natural Sciences, 2007, 34(3): 250-258. (In Chinese)

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    [9]GIERZ G, HOFAMANN K H, KEIMEL K, et al. Continuous lattice and domains [M]. Cambridge: Cambridge University Press, 2003.

    [10]鄭崇友, 樊磊, 崔宏斌. Frame與連續(xù)格[M]. 北京: 首都師范大學(xué)出版社, 2000:44-106.

    ZHENG Chongyou, FAN Lei, CUI Hongbin. Frame and continuous lattice [M]. Beijing: Capital Normal University Press, 2000:44-106.(In Chinese)

    命題1空間式Locale的對(duì)偶是閉格.

    證由定理5和引理1可知空間式Locale L的對(duì)偶滿足情形:任意的元都是L對(duì)偶的并素元之并,因而L的對(duì)偶是閉格.

    2主要性質(zhì)

    在本節(jié)中,給出閉格的完備子格仍是閉格的條件,證明了閉格的笛卡爾乘積仍然是閉格和閉格的保任意并的滿態(tài)射像仍是閉格.同時(shí)得到了閉格在閉包運(yùn)算下的態(tài)射仍是閉格.

    定義10設(shè)L是閉格,非空子集SL. 若S對(duì)L中的任意非空并和任意非空交都封閉,即對(duì)任意的非空子集AS, ∨LA和∧LA存在時(shí),總有∨LA, ∧LA∈S成立,則稱(chēng)S是L的完備子格.

    引理2 設(shè)S是閉格L的完備子格且為下集,則P(L)∩S=P(S).

    證 設(shè)x∈P(S), 若存在a,b∈L使得x≤a∨b,則x≤(a∨b)∧x. 由定理4知,L是分配格,則x≤(a∨b)∧x=(a∧x)∨(b∧x).

    由S是L的下集可知,a∧x,b∧x∈S,故(a∧x)∨(b∧x)∈S. 又x是S中的并素元,因此x≤a∧x或x≤b∧x. 從而x≤a或x≤b, 即x∈P(L)∩S, 所以P(S)P(L)∩S. 反之,設(shè)x∈P(L)∩S, 若存在a,b∈S使得x≤aVsb, 則x≤a∨Lb, 從而x≤a或x≤b, 即x∈P(S).

    定理6設(shè)S是閉格L的完備子格且為下集, 則S仍是閉格.

    證由定理5只須證x=∨s(P(S)∩↓sx).顯然∨s(P(S)∩↓sx)≤x,設(shè)x∈S且S是L的下集,則↓sx=↓x. 而根據(jù)引理2可知

    ∨s(P(S)∩↓sx)=∨s(P(L)∩↓x∩S)=∨s(P(L)∩↓x)∨L(P(L)∩↓x)=x

    所以x=∨s(P(S)∩↓sx), 即S是閉格.

    定理7設(shè)Lii∈I是一族閉格,記L=∏i∈ILi是笛卡爾乘積集,則L賦予逐點(diǎn)序也是閉格.

    證設(shè)(Li)i∈I為一族閉格,記L=∏i∈ILi. 由閉格的定義可知i∈I,Li為分配格. 令a,b,c∈L, 則有

    即L是分配格.對(duì)于任意的aii∈I, 令δi={x∈∏i∈ILi|xi≤ai且xi∈J(Li),j≠i時(shí)xj=0}顯然∪i∈Iδi中的元是∏i∈ILi中的并不可約元,且∪i∈Iδi在∏i∈ILi的并是aii∈I. 綜上可得L是閉格.

    定理8設(shè)L是閉格,Q是完備格. 若f:L→Q為保任意并的滿映射, 且f(P(L))P(Q), 則Q是閉格.

    證由于f為滿映射,則對(duì)任意的y∈Q, 存在x∈L, 使 得 f(x)=y.

    顯然 ∨(P(Q)∩↓f(x))≤f(x). 又L是閉格,則f(x)=f∨PL∩↓x=∨fPL∩↓x.

    對(duì)于任意的z∈PL∩↓x,則z≤x,由于f是保任意并的映射,則f(z)≤f(x)

    參考文獻(xiàn)

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    ZHENG Chongyou, FAN Lei, CUI Hongbin. Frame and continuous lattice [M]. Beijing: Capital Normal University Press, 2000:44-106.(In Chinese)

    命題1空間式Locale的對(duì)偶是閉格.

    證由定理5和引理1可知空間式Locale L的對(duì)偶滿足情形:任意的元都是L對(duì)偶的并素元之并,因而L的對(duì)偶是閉格.

    2主要性質(zhì)

    在本節(jié)中,給出閉格的完備子格仍是閉格的條件,證明了閉格的笛卡爾乘積仍然是閉格和閉格的保任意并的滿態(tài)射像仍是閉格.同時(shí)得到了閉格在閉包運(yùn)算下的態(tài)射仍是閉格.

    定義10設(shè)L是閉格,非空子集SL. 若S對(duì)L中的任意非空并和任意非空交都封閉,即對(duì)任意的非空子集AS, ∨LA和∧LA存在時(shí),總有∨LA, ∧LA∈S成立,則稱(chēng)S是L的完備子格.

    引理2 設(shè)S是閉格L的完備子格且為下集,則P(L)∩S=P(S).

    證 設(shè)x∈P(S), 若存在a,b∈L使得x≤a∨b,則x≤(a∨b)∧x. 由定理4知,L是分配格,則x≤(a∨b)∧x=(a∧x)∨(b∧x).

    由S是L的下集可知,a∧x,b∧x∈S,故(a∧x)∨(b∧x)∈S. 又x是S中的并素元,因此x≤a∧x或x≤b∧x. 從而x≤a或x≤b, 即x∈P(L)∩S, 所以P(S)P(L)∩S. 反之,設(shè)x∈P(L)∩S, 若存在a,b∈S使得x≤aVsb, 則x≤a∨Lb, 從而x≤a或x≤b, 即x∈P(S).

    定理6設(shè)S是閉格L的完備子格且為下集, 則S仍是閉格.

    證由定理5只須證x=∨s(P(S)∩↓sx).顯然∨s(P(S)∩↓sx)≤x,設(shè)x∈S且S是L的下集,則↓sx=↓x. 而根據(jù)引理2可知

    ∨s(P(S)∩↓sx)=∨s(P(L)∩↓x∩S)=∨s(P(L)∩↓x)∨L(P(L)∩↓x)=x

    所以x=∨s(P(S)∩↓sx), 即S是閉格.

    定理7設(shè)Lii∈I是一族閉格,記L=∏i∈ILi是笛卡爾乘積集,則L賦予逐點(diǎn)序也是閉格.

    證設(shè)(Li)i∈I為一族閉格,記L=∏i∈ILi. 由閉格的定義可知i∈I,Li為分配格. 令a,b,c∈L, 則有

    即L是分配格.對(duì)于任意的aii∈I, 令δi={x∈∏i∈ILi|xi≤ai且xi∈J(Li),j≠i時(shí)xj=0}顯然∪i∈Iδi中的元是∏i∈ILi中的并不可約元,且∪i∈Iδi在∏i∈ILi的并是aii∈I. 綜上可得L是閉格.

    定理8設(shè)L是閉格,Q是完備格. 若f:L→Q為保任意并的滿映射, 且f(P(L))P(Q), 則Q是閉格.

    證由于f為滿映射,則對(duì)任意的y∈Q, 存在x∈L, 使 得 f(x)=y.

    顯然 ∨(P(Q)∩↓f(x))≤f(x). 又L是閉格,則f(x)=f∨PL∩↓x=∨fPL∩↓x.

    對(duì)于任意的z∈PL∩↓x,則z≤x,由于f是保任意并的映射,則f(z)≤f(x)

    參考文獻(xiàn)

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