用動(dòng)能定理解決質(zhì)點(diǎn)系問(wèn)題的兩個(gè)注意點(diǎn)

侍明雨

動(dòng)能定理既適用于可視為質(zhì)點(diǎn)的物體，也適用于由質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系；用動(dòng)能定理解決質(zhì)點(diǎn)系問(wèn)題與解決質(zhì)點(diǎn)問(wèn)題有什么不同呢？

一、F合=0，W合不一定為零

例1一輛總質(zhì)量為M的列車(chē)，在平直軌道上以V勻速行駛，突然后一節(jié)質(zhì)量為m的車(chē)廂脫鉤，假設(shè)列車(chē)受到的阻力與車(chē)重成正比，牽引力不變，則當(dāng)后一節(jié)車(chē)廂剛好靜止的瞬間，前面列車(chē)的速率為多大？

解析以脫鉤后前面列車(chē)和后面車(chē)廂為系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)在水平方向所受的牽引力F，后面車(chē)廂受到的摩擦力為f1，前面列車(chē)受到的摩擦力為f2，由于脫鉤前列車(chē)做勻速行駛，所以有F=f1+f2.

脫鉤后車(chē)廂做勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得其加速度大小為a=f1m，則車(chē)廂停止運(yùn)動(dòng)所需的時(shí)間為t=Δva=mVf1，運(yùn)動(dòng)的位移為x1=mV22f1.

脫鉤后前面的列車(chē)做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)車(chē)廂停止時(shí)，前面列車(chē)的速度為V′，則前面列車(chē)從脫鉤到車(chē)廂停止所通過(guò)的位移為x2=V+V′2t=mV（V+V′）2f1.

對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)能定理有：

12（M-m）V′2-12MV2=W合=（F-f2）x2-f1x1=f1（x2-x1），解得V′=MVM-m.

點(diǎn)評(píng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)而言，若質(zhì)點(diǎn)受到的合力為零，則合力做功一定為零；而對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系而言，即使系統(tǒng)受到的合力為零，合力做功也不一定為零，因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)所受外力的作用點(diǎn)的位移不一定相同，故力對(duì)各質(zhì)點(diǎn)做功的代數(shù)和也不一定為零.

二、系統(tǒng)動(dòng)能的增量（ΔEK）不一定等于合外力做的功（W合）

例2如圖1所示，質(zhì)量為M、長(zhǎng)度為l的小車(chē)靜止在光滑的水平面上，質(zhì)量為m的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）放在小車(chē)的最左端.現(xiàn)用一水平恒力F作用在小物塊上，使物塊從靜止開(kāi)始做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，物塊和小車(chē)之間的摩擦力為Ff ，當(dāng)物塊滑到小車(chē)的最右端時(shí)，小車(chē)運(yùn)動(dòng)的距離為s.則在這個(gè)過(guò)程中，以下說(shuō)法中正確的是（ ）.

A.物塊到達(dá)小車(chē)最右端時(shí)具有的動(dòng)能為F（l+s）

B.物塊到達(dá)小車(chē)最右端時(shí)，小車(chē)具有的動(dòng)能為Ffs

C.物塊克服摩擦力所做的功為Ff（l+s）

D.物塊和小車(chē)增加的動(dòng)能之和為F（l+s）

解析物塊從靜止滑到小車(chē)最右端的過(guò)程如圖2所示，物塊克服摩擦力所做的功為Ff（l+s），所以C選項(xiàng)正確；對(duì)物塊應(yīng)用動(dòng)能定理有（F-Ff）（l+s）=EK1，故A答案錯(cuò)誤，對(duì)小車(chē)應(yīng)用動(dòng)能定理有：Ffs=EK2，所以B選項(xiàng)正確；對(duì)物塊和小車(chē)組成的系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)能定理有：EK1+EK2=（F-Ff）（l+s）+Ffs=F（l+s）-Ffl，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤；正確答案選BC.

例3某緩沖裝置的理想模型如圖3所示，勁度系數(shù)足夠大的輕質(zhì)彈簧與輕桿相連，輕桿可在固定的槽內(nèi)移動(dòng)，與槽間的滑動(dòng)摩擦力恒為f，輕桿向右移動(dòng)不超過(guò)l時(shí)，裝置可安全工作. 一質(zhì)量為m的小車(chē)若以速度v0撞擊彈簧，將導(dǎo)致輕桿向右移動(dòng)l4，輕桿與槽間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，且不計(jì)小車(chē)與地面的摩擦，求：（1）若彈簧的勁度系數(shù)為k，求輕桿開(kāi)始移動(dòng)時(shí)，彈簧的壓縮量x；（2）求為使裝置安全工作，允許該小車(chē)撞擊的最大速度 .

解析（1）當(dāng)彈簧的彈力增加到桿與槽間的最大靜摩擦力f相等時(shí)，輕桿開(kāi)始移動(dòng)，即Kx=f， x=fk；

（2）設(shè)輕桿移動(dòng)前小車(chē)克服彈力做的功為W，則小車(chē)從撞擊彈簧到輕桿停止的過(guò)程中，以小車(chē)、彈簧和輕桿為系統(tǒng)，由動(dòng)能定理：小車(chē)以v0撞擊彈簧時(shí)，-f·l4-W=0-12mv20.小車(chē)以vm撞擊彈簧時(shí)，-fl-W=0-12mv2m，由上面兩式解得vm=v20+3fl2m.

點(diǎn)評(píng)對(duì)于單個(gè)質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能增量一定等于合外力所做的功.而對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系，若系統(tǒng)內(nèi)的相互作用是桿、繩間的作用力，或是靜摩擦力，或是剛性物體之間相互擠壓而產(chǎn)生的力時(shí)，作用力與反作用力做的總功等于零，系統(tǒng)的動(dòng)能增量等于合外力所做的功.若系統(tǒng)內(nèi)相互作用力是彈簧、橡皮筋的作用力，或是滑動(dòng)摩擦力時(shí)，當(dāng)作用力與反作用力的作用點(diǎn)的位移相同時(shí)，作用力與反作用力的總功等于零，系統(tǒng)的動(dòng)能增量等于合外力所做的功；當(dāng)作用力與反作用力的作用點(diǎn)的位移不同時(shí)，作用力與反作用力的總功不等于零，系統(tǒng)的動(dòng)能增量應(yīng)等于合外力所做的總功與內(nèi)力所做的總功的代數(shù)和.endprint

動(dòng)能定理既適用于可視為質(zhì)點(diǎn)的物體，也適用于由質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系；用動(dòng)能定理解決質(zhì)點(diǎn)系問(wèn)題與解決質(zhì)點(diǎn)問(wèn)題有什么不同呢？

一、F合=0，W合不一定為零

例1一輛總質(zhì)量為M的列車(chē)，在平直軌道上以V勻速行駛，突然后一節(jié)質(zhì)量為m的車(chē)廂脫鉤，假設(shè)列車(chē)受到的阻力與車(chē)重成正比，牽引力不變，則當(dāng)后一節(jié)車(chē)廂剛好靜止的瞬間，前面列車(chē)的速率為多大？

解析以脫鉤后前面列車(chē)和后面車(chē)廂為系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)在水平方向所受的牽引力F，后面車(chē)廂受到的摩擦力為f1，前面列車(chē)受到的摩擦力為f2，由于脫鉤前列車(chē)做勻速行駛，所以有F=f1+f2.

脫鉤后車(chē)廂做勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得其加速度大小為a=f1m，則車(chē)廂停止運(yùn)動(dòng)所需的時(shí)間為t=Δva=mVf1，運(yùn)動(dòng)的位移為x1=mV22f1.

脫鉤后前面的列車(chē)做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)車(chē)廂停止時(shí)，前面列車(chē)的速度為V′，則前面列車(chē)從脫鉤到車(chē)廂停止所通過(guò)的位移為x2=V+V′2t=mV（V+V′）2f1.

對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)能定理有：

12（M-m）V′2-12MV2=W合=（F-f2）x2-f1x1=f1（x2-x1），解得V′=MVM-m.

點(diǎn)評(píng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)而言，若質(zhì)點(diǎn)受到的合力為零，則合力做功一定為零；而對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系而言，即使系統(tǒng)受到的合力為零，合力做功也不一定為零，因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)所受外力的作用點(diǎn)的位移不一定相同，故力對(duì)各質(zhì)點(diǎn)做功的代數(shù)和也不一定為零.

二、系統(tǒng)動(dòng)能的增量（ΔEK）不一定等于合外力做的功（W合）

例2如圖1所示，質(zhì)量為M、長(zhǎng)度為l的小車(chē)靜止在光滑的水平面上，質(zhì)量為m的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）放在小車(chē)的最左端.現(xiàn)用一水平恒力F作用在小物塊上，使物塊從靜止開(kāi)始做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，物塊和小車(chē)之間的摩擦力為Ff ，當(dāng)物塊滑到小車(chē)的最右端時(shí)，小車(chē)運(yùn)動(dòng)的距離為s.則在這個(gè)過(guò)程中，以下說(shuō)法中正確的是（ ）.

A.物塊到達(dá)小車(chē)最右端時(shí)具有的動(dòng)能為F（l+s）

B.物塊到達(dá)小車(chē)最右端時(shí)，小車(chē)具有的動(dòng)能為Ffs

C.物塊克服摩擦力所做的功為Ff（l+s）

D.物塊和小車(chē)增加的動(dòng)能之和為F（l+s）

解析物塊從靜止滑到小車(chē)最右端的過(guò)程如圖2所示，物塊克服摩擦力所做的功為Ff（l+s），所以C選項(xiàng)正確；對(duì)物塊應(yīng)用動(dòng)能定理有（F-Ff）（l+s）=EK1，故A答案錯(cuò)誤，對(duì)小車(chē)應(yīng)用動(dòng)能定理有：Ffs=EK2，所以B選項(xiàng)正確；對(duì)物塊和小車(chē)組成的系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)能定理有：EK1+EK2=（F-Ff）（l+s）+Ffs=F（l+s）-Ffl，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤；正確答案選BC.

例3某緩沖裝置的理想模型如圖3所示，勁度系數(shù)足夠大的輕質(zhì)彈簧與輕桿相連，輕桿可在固定的槽內(nèi)移動(dòng)，與槽間的滑動(dòng)摩擦力恒為f，輕桿向右移動(dòng)不超過(guò)l時(shí)，裝置可安全工作. 一質(zhì)量為m的小車(chē)若以速度v0撞擊彈簧，將導(dǎo)致輕桿向右移動(dòng)l4，輕桿與槽間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，且不計(jì)小車(chē)與地面的摩擦，求：（1）若彈簧的勁度系數(shù)為k，求輕桿開(kāi)始移動(dòng)時(shí)，彈簧的壓縮量x；（2）求為使裝置安全工作，允許該小車(chē)撞擊的最大速度 .

解析（1）當(dāng)彈簧的彈力增加到桿與槽間的最大靜摩擦力f相等時(shí)，輕桿開(kāi)始移動(dòng)，即Kx=f， x=fk；

（2）設(shè)輕桿移動(dòng)前小車(chē)克服彈力做的功為W，則小車(chē)從撞擊彈簧到輕桿停止的過(guò)程中，以小車(chē)、彈簧和輕桿為系統(tǒng)，由動(dòng)能定理：小車(chē)以v0撞擊彈簧時(shí)，-f·l4-W=0-12mv20.小車(chē)以vm撞擊彈簧時(shí)，-fl-W=0-12mv2m，由上面兩式解得vm=v20+3fl2m.

點(diǎn)評(píng)對(duì)于單個(gè)質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能增量一定等于合外力所做的功.而對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系，若系統(tǒng)內(nèi)的相互作用是桿、繩間的作用力，或是靜摩擦力，或是剛性物體之間相互擠壓而產(chǎn)生的力時(shí)，作用力與反作用力做的總功等于零，系統(tǒng)的動(dòng)能增量等于合外力所做的功.若系統(tǒng)內(nèi)相互作用力是彈簧、橡皮筋的作用力，或是滑動(dòng)摩擦力時(shí)，當(dāng)作用力與反作用力的作用點(diǎn)的位移相同時(shí)，作用力與反作用力的總功等于零，系統(tǒng)的動(dòng)能增量等于合外力所做的功；當(dāng)作用力與反作用力的作用點(diǎn)的位移不同時(shí)，作用力與反作用力的總功不等于零，系統(tǒng)的動(dòng)能增量應(yīng)等于合外力所做的總功與內(nèi)力所做的總功的代數(shù)和.endprint

動(dòng)能定理既適用于可視為質(zhì)點(diǎn)的物體，也適用于由質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系；用動(dòng)能定理解決質(zhì)點(diǎn)系問(wèn)題與解決質(zhì)點(diǎn)問(wèn)題有什么不同呢？

一、F合=0，W合不一定為零

例1一輛總質(zhì)量為M的列車(chē)，在平直軌道上以V勻速行駛，突然后一節(jié)質(zhì)量為m的車(chē)廂脫鉤，假設(shè)列車(chē)受到的阻力與車(chē)重成正比，牽引力不變，則當(dāng)后一節(jié)車(chē)廂剛好靜止的瞬間，前面列車(chē)的速率為多大？

解析以脫鉤后前面列車(chē)和后面車(chē)廂為系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)在水平方向所受的牽引力F，后面車(chē)廂受到的摩擦力為f1，前面列車(chē)受到的摩擦力為f2，由于脫鉤前列車(chē)做勻速行駛，所以有F=f1+f2.

脫鉤后車(chē)廂做勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得其加速度大小為a=f1m，則車(chē)廂停止運(yùn)動(dòng)所需的時(shí)間為t=Δva=mVf1，運(yùn)動(dòng)的位移為x1=mV22f1.

脫鉤后前面的列車(chē)做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)車(chē)廂停止時(shí)，前面列車(chē)的速度為V′，則前面列車(chē)從脫鉤到車(chē)廂停止所通過(guò)的位移為x2=V+V′2t=mV（V+V′）2f1.

對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)能定理有：

12（M-m）V′2-12MV2=W合=（F-f2）x2-f1x1=f1（x2-x1），解得V′=MVM-m.

點(diǎn)評(píng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)而言，若質(zhì)點(diǎn)受到的合力為零，則合力做功一定為零；而對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系而言，即使系統(tǒng)受到的合力為零，合力做功也不一定為零，因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)所受外力的作用點(diǎn)的位移不一定相同，故力對(duì)各質(zhì)點(diǎn)做功的代數(shù)和也不一定為零.

二、系統(tǒng)動(dòng)能的增量（ΔEK）不一定等于合外力做的功（W合）

例2如圖1所示，質(zhì)量為M、長(zhǎng)度為l的小車(chē)靜止在光滑的水平面上，質(zhì)量為m的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）放在小車(chē)的最左端.現(xiàn)用一水平恒力F作用在小物塊上，使物塊從靜止開(kāi)始做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，物塊和小車(chē)之間的摩擦力為Ff ，當(dāng)物塊滑到小車(chē)的最右端時(shí)，小車(chē)運(yùn)動(dòng)的距離為s.則在這個(gè)過(guò)程中，以下說(shuō)法中正確的是（ ）.

A.物塊到達(dá)小車(chē)最右端時(shí)具有的動(dòng)能為F（l+s）

B.物塊到達(dá)小車(chē)最右端時(shí)，小車(chē)具有的動(dòng)能為Ffs

C.物塊克服摩擦力所做的功為Ff（l+s）

D.物塊和小車(chē)增加的動(dòng)能之和為F（l+s）

解析物塊從靜止滑到小車(chē)最右端的過(guò)程如圖2所示，物塊克服摩擦力所做的功為Ff（l+s），所以C選項(xiàng)正確；對(duì)物塊應(yīng)用動(dòng)能定理有（F-Ff）（l+s）=EK1，故A答案錯(cuò)誤，對(duì)小車(chē)應(yīng)用動(dòng)能定理有：Ffs=EK2，所以B選項(xiàng)正確；對(duì)物塊和小車(chē)組成的系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)能定理有：EK1+EK2=（F-Ff）（l+s）+Ffs=F（l+s）-Ffl，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤；正確答案選BC.

例3某緩沖裝置的理想模型如圖3所示，勁度系數(shù)足夠大的輕質(zhì)彈簧與輕桿相連，輕桿可在固定的槽內(nèi)移動(dòng)，與槽間的滑動(dòng)摩擦力恒為f，輕桿向右移動(dòng)不超過(guò)l時(shí)，裝置可安全工作. 一質(zhì)量為m的小車(chē)若以速度v0撞擊彈簧，將導(dǎo)致輕桿向右移動(dòng)l4，輕桿與槽間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，且不計(jì)小車(chē)與地面的摩擦，求：（1）若彈簧的勁度系數(shù)為k，求輕桿開(kāi)始移動(dòng)時(shí)，彈簧的壓縮量x；（2）求為使裝置安全工作，允許該小車(chē)撞擊的最大速度 .

解析（1）當(dāng)彈簧的彈力增加到桿與槽間的最大靜摩擦力f相等時(shí)，輕桿開(kāi)始移動(dòng)，即Kx=f， x=fk；

（2）設(shè)輕桿移動(dòng)前小車(chē)克服彈力做的功為W，則小車(chē)從撞擊彈簧到輕桿停止的過(guò)程中，以小車(chē)、彈簧和輕桿為系統(tǒng)，由動(dòng)能定理：小車(chē)以v0撞擊彈簧時(shí)，-f·l4-W=0-12mv20.小車(chē)以vm撞擊彈簧時(shí)，-fl-W=0-12mv2m，由上面兩式解得vm=v20+3fl2m.

點(diǎn)評(píng)對(duì)于單個(gè)質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能增量一定等于合外力所做的功.而對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系，若系統(tǒng)內(nèi)的相互作用是桿、繩間的作用力，或是靜摩擦力，或是剛性物體之間相互擠壓而產(chǎn)生的力時(shí)，作用力與反作用力做的總功等于零，系統(tǒng)的動(dòng)能增量等于合外力所做的功.若系統(tǒng)內(nèi)相互作用力是彈簧、橡皮筋的作用力，或是滑動(dòng)摩擦力時(shí)，當(dāng)作用力與反作用力的作用點(diǎn)的位移相同時(shí)，作用力與反作用力的總功等于零，系統(tǒng)的動(dòng)能增量等于合外力所做的功；當(dāng)作用力與反作用力的作用點(diǎn)的位移不同時(shí)，作用力與反作用力的總功不等于零，系統(tǒng)的動(dòng)能增量應(yīng)等于合外力所做的總功與內(nèi)力所做的總功的代數(shù)和.endprint