一種雙菌群細菌覓食優(yōu)化算法

姜建國，周佳薇，鄭迎春，2，周潤生

1)西安電子科技大學計算機學院，西安710071;2)中國電子科技集團公司第五十四研究所，石家莊050081;3)渭南職業(yè)技術(shù)學院，陜西渭南714000

近年來，隨著實際工程復雜性、約束性、多極值性和建模難等問題的日益突出，傳統(tǒng)優(yōu)化方法已無法滿足復雜多變的實際需求［1］.群智能優(yōu)化算法應運而生并迅速發(fā)展［2］，其中，新型仿生類智能優(yōu)化算法的細菌覓食優(yōu)化(bacterial foraging optimization，BFO)算法［3］因其群體并行性及局部搜索能力強等優(yōu)點受到關(guān)注.有學者對其改進提出多種策略，根據(jù)無免費午餐(no free lunch，NFL)定理，Sun等［4］結(jié)合高斯分布和量子行為對BFO進行改進，劉小龍等［5］采用免疫算法中的克隆選擇思想對精英細菌群體進行克隆和高頻變異.雖然這兩種思路對BFO均有改善，但在優(yōu)化多峰高維函數(shù)時仍存在尋優(yōu)精度不夠高和收斂過程不夠穩(wěn)定等缺點.任佳星等［6］為增加菌群的多樣性，在細菌進化過程中引入交叉算子和變異算子，但該方法易致群體中優(yōu)秀個體的缺失.劉小龍等［7］將分布估計和差分進化思想引入繁殖算子，雖能部分提高搜索速度和精度，但在優(yōu)化極易陷入早熟收斂的Schwefel等函數(shù)時效果并不理想.

由現(xiàn)行BFO的相關(guān)研究可知，細菌覓食機制仍有算法缺乏全局空間尋優(yōu)能力［8］，收斂精度不高、速度不快［9］，且在求解高維多模態(tài)優(yōu)化問題時易陷入局部最優(yōu)，引起早熟收斂［10］等缺陷.為此，本研究改進了趨化操作中的步長與方向選擇機制，在考慮精英細菌的同時在復制操作中引入雜交算子和變異算子，提出雙菌群優(yōu)化機制，借助菌群間的相互學習提升尋優(yōu)能力，避免局部最優(yōu)，同時提出一種雙菌群細菌覓食優(yōu)化算法(double flora bacteria foraging optimization algorithm，DFBFO)，仿真實驗驗證了該方法對優(yōu)化效率的改進.

1 細菌覓食優(yōu)化算法

Passino［3］提出的覓食優(yōu)化算法可表述為:當優(yōu)化某個問題時，根據(jù)其可行域確定細菌的覓食區(qū)域，該區(qū)域中的細菌構(gòu)成一個獨立覓食的細菌菌群.細菌通過翻轉(zhuǎn)、游動向食物濃度高的位置行進，實現(xiàn)趨化操作;根據(jù)優(yōu)勝劣汰機制，處于優(yōu)勢的一半細菌進行二分裂，而處于劣勢的細菌消亡，完成復制操作;最后，為避免細菌陷入局部最優(yōu)，對所有細菌進行隨機性遷徙操作，更新菌群.

1.1 趨化操作

細菌通過趨化操作尋找豐富營養(yǎng)源，同時避開有害物質(zhì).BFO算法中菌群隨機初始化公式為

其中，Xmin和Xmax分別為優(yōu)化區(qū)間的最小值和最大值;X為細菌初始化位置;ζ為［-1，1］的隨機數(shù).

設(shè)細菌的種群規(guī)模為 S，P(i，j，k，l)為細菌 i在第j次趨向性操作，第k次復制操作和第l次遷徙操作后的位置，即細菌i在優(yōu)化空間內(nèi)的一個可行解.每次趨向性操作后細菌位置更新為

其中，C(i)為細菌i的趨化步長;φ(i，j)為細菌i翻轉(zhuǎn)時的單位隨機方向向量，φ(i，j)=θ(i)/［θT(i)，θ(i)］1/2，這里，i，j，k，l=1，2，…，N;θ(i)為［-1，1］內(nèi)任意產(chǎn)生的隨機方向向量.

1.2 復制操作

設(shè)S為菌群規(guī)模的大小，復制算子Sr為將被淘汰的細菌數(shù)目，經(jīng)典BFO算法取Sr=S/2，從第0個細菌開始計數(shù)，i為循環(huán)數(shù)，則細菌復制操作流程如圖1.

圖1 BFO算法復制操作流程Fig.1 The flow chat of BFO algorithm's reproduction step

1.3 遷徙操作

對細菌執(zhí)行遷徙操作，有利于細菌尋找新覓食區(qū)域，防止細菌扎堆.設(shè)Ped為遷徙概率，S為菌群規(guī)模大小，ζ為［-1，1］間的隨機數(shù)，初始時設(shè)i=0，細菌遷徙操作流程如圖2.

圖2 BFO算法遷徙操作流程Fig.2 The flow chat of BFO algorithm's elimination and dispersal step

2 一種雙菌群細菌覓食優(yōu)化算法

本研究提出的雙菌群細菌覓食優(yōu)化算法從3方面來改進經(jīng)典BFO算法:① 改進趨化操作，添加當前趨化周期內(nèi)最優(yōu)細菌對其他細菌在尋優(yōu)方向上的指導，并設(shè)計新的趨化步長選取策略;② 改進復制操作，設(shè)計交叉算子與變異算子以保證精英細菌不缺失;③改進遷徙操作，提出雙菌群優(yōu)化機制，在菌群間實現(xiàn)細菌遷徙與學習過程.

2.1 趨化操作的改進

Das等［11］理論分析了使用變化步長對算法收斂性和穩(wěn)定性的影響，證明步長的選取對細菌覓食速度和解的精度有直接影響.若算法的趨化步長較大，則易找到全局最優(yōu)解，但解的精度不高，并可能伴有最優(yōu)解附近的震蕩現(xiàn)象(由于采用固定且較大的趨化步長，細菌在本身接近最優(yōu)解的情況下，執(zhí)行下一次趨化操作后可能越過最優(yōu)解，此時需返回重新搜尋方向，即出現(xiàn)反復地重新搜方向現(xiàn)象)，增加了算法的復雜度;趨化步長較小固然能避免震蕩現(xiàn)象，也會提高解的精度，但算法收斂速度慢，且可能陷入局部最優(yōu).因此，合理選擇步長對算法局部搜索能力的改進尤為重要.

2.1.1 趨化步長改進

考慮到菌群周圍環(huán)境對算法可能產(chǎn)生的影響，本算法賦予細菌感知菌群擁擠度的能力，分析菌群的平均距離，自適應改進BFO算法的趨化步長.

定義菌群密度函數(shù)因子為

其中，S為細菌群中的細菌數(shù)目;L為搜索空間對角線的最大長度;d為搜索空間的維度;X(m，t)為細菌t在搜索空間第m維的位置坐標;ˉXm為當前搜索空間內(nèi)所有細菌在搜索空間里第m維的平均位置坐標.

結(jié)合菌群密度函數(shù)因子對原始固定趨化步長改進為

其中，A=(Cmax-Cmin)/(Dmax-Dmin);B=(DminCmax-DmaxCmin)/(Dmax-Dmin);Cmin與Cmax分別是最小和最大趨化步長，Cmin≤C(t)≤Cmax;Dmin與Dmax分別為菌群中的最小和最大細菌距離，Dmin≤D(t)≤Dmax.

2.1.2 趨化方向改進

BFO算法趨化過程中的方向選擇機制帶有隨機性，無法體現(xiàn)細菌對食物濃度的信息感知，也無法體現(xiàn)細菌與細菌、細菌與環(huán)境之間的信息交流與反饋機制［12］.當優(yōu)化問題的復雜性和搜索空間維度較大時，BFO算法的收斂性較差［13］.為此，本研究將趨化方向分為兩個:一個方向用于控制細菌隨機翻轉(zhuǎn)［3］，另一個新增的方向則控制細菌向最優(yōu)細菌學習.細菌在隨機翻轉(zhuǎn)的同時，也向著當前最優(yōu)細菌的方向翻轉(zhuǎn).隨機翻轉(zhuǎn)方向記為φ(i)rand;細菌i向當前最優(yōu)細菌學習的最優(yōu)翻轉(zhuǎn)方向為

其中，Pbest為當前迭代周期內(nèi)最優(yōu)細菌的位置矢量;Pi為細菌i的位置矢量.

將最優(yōu)翻轉(zhuǎn)方向與隨機翻轉(zhuǎn)方向相結(jié)合，則細菌i完成趨化操作時的翻轉(zhuǎn)方向為

其中，α=c1(Nc-i)/Nc為細菌i隨機翻轉(zhuǎn)的學習因子;β=c2(i/Nc)為細菌i向最優(yōu)細菌方向前進的學習因子;c1和c2為調(diào)節(jié)參數(shù);Nc為趨化次數(shù).

算法開始時φ(i)rand比重較大，趨化操作主要是細菌進行隨機翻轉(zhuǎn).結(jié)合趨化步長，細菌在開始覓食時以較大步長隨機翻轉(zhuǎn)，實現(xiàn)優(yōu)化初期向最優(yōu)解的大步伐“勘探”.隨著趨化次數(shù)的增加，φ(i)rand逐漸起指導作用，即在算法后期，細菌主要向著當前最優(yōu)細菌的方向，以較小步伐進行精細搜索，這有利于算法快速找到最優(yōu)解，避免算法陷入局部最優(yōu)或在最優(yōu)解附近出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象.

2.2 復制操作的改進

復制操作是算法的主要驅(qū)動因子［14］.經(jīng)典BFO算法采用一個周期內(nèi)的適應度函數(shù)值之和作為復制的判斷條件，同時直接消滅健康度差的細菌，但它可能扼殺精英細菌，且會降低菌群的多樣性.本研究保留了當前趨化周期內(nèi)的最優(yōu)細菌作為精英細菌，設(shè)計一種雜交算子和變異算子，在記錄當前搜索到的有用信息的同時，可提高種群的多樣性和解的精度.

為使精英細菌在進化過程中能起到正引導作用，本研究引入交叉算子，令適應度較差的一半細菌向優(yōu)秀細菌學習，并與當前優(yōu)秀細菌個體進行雜交，充分利用已搜索到的有用信息改善健康度較差的細菌;同時引入變異算子，對當前搜索到的有較優(yōu)適應度函數(shù)值的半數(shù)細菌在其鄰域內(nèi)進行微小的位置擾動，防止細菌進化停滯不前，使早熟細菌跳出局部最優(yōu)，同時提高菌群的多樣性.

交叉算子設(shè)置為

其中，λ為［0，1］間均勻分布的隨機數(shù);best為目前為止菌群搜索到的最優(yōu)細菌的標號，則X(best)為最優(yōu)細菌的位置矢量.

變異算子設(shè)置為

其中，Y服從標準正態(tài)分布N(0，1).

2.3 雙菌群的提出

大腸桿菌在覓食過程中會出現(xiàn)群聚現(xiàn)象，群與群之間保持一定距離的同時又通過某種方式交換有用信息.這種相互通信擴大了細菌對周圍環(huán)境的了解，增加了細菌存活幾率.鑒于此，本研究提出一種雙菌群優(yōu)化機制:兩個菌群并行且各自獨立運行，其中一個菌群采用改進的趨化操作，其復制操作與BFO算法的復制操作相同.另一個菌群采用固定步長的趨化操作及改進過的復制操作.第1個子菌群為探測子菌群，重在優(yōu)化算法的局部搜索能力，在優(yōu)化初期保持較高的收斂速度，通過強化搜索加快細菌尋找極值點的能力;第2個子菌群重在優(yōu)化算法的全局搜索能力，提高解的精度.每次復制操作周期結(jié)束后，兩個菌群相互學習:用各自菌群中一定量的最優(yōu)細菌替換另一個菌群中等量的最差細菌，由此促進算法收斂.其中，替換學習的細菌數(shù)取黃金分割率的平方即0.6182.

2.4 DFBFO算法設(shè)計

本研究提出的雙菌群的細菌覓食優(yōu)化算法主要操作步驟為:

1)初始化參數(shù).包括菌群規(guī)模S、搜索空間的維度d、趨化操作中在某一方向上的最大游動次數(shù)NS、趨化次數(shù)Nc、復制次數(shù)Nre、學習次數(shù)Ned、最大趨化步長Cmax和最小趨化步長Cmin.

2)初始化菌群位置.采用隨機初始化方法按照式(1)在d維空間初始化2S個點作為初始菌群XS，其中隨機選取S個細菌作為菌群X1，剩余S個細菌作為菌群X2.

3)設(shè)置循環(huán)變量.趨化循環(huán)變量j從1增至Nc、復制循環(huán)變量k從1增至Nre、學習循環(huán)變量l從1增至Ned;

4)進入趨化循環(huán)，進行趨化操作.對菌群X2按照經(jīng)典BFO算法的趨化操作對每個細菌進行趨化，對菌群X1用改進后的趨化操作對每個細菌進行以下兩步操作:①翻轉(zhuǎn).按式(3)和式(4)計算細菌的趨化步長，并按照式(6)計算翻轉(zhuǎn)方向，細菌根據(jù)步長與方向按照式(2)翻轉(zhuǎn)，同時計算新位置上的適應度函數(shù)值;②游動.若細菌在新位置的適應度函數(shù)值有改善，則按照該方向游動，直到適應度函數(shù)值不再改善或達到預設(shè)的最大游動次數(shù)Ns.

5)進入復制循環(huán)，進行復制操作.對菌群X1按照經(jīng)典BFO算法執(zhí)行復制操作，對菌群X2按照如下步驟進行改進過的復制操作:①計算所有細菌的適應度函數(shù)值并自小至大排序，選出當前最優(yōu)細菌作為精英細菌;②對當前適應度函數(shù)值較差的半數(shù)細菌按式(7)與復制循環(huán)環(huán)節(jié)里①中挑選出來的精英細菌進行雜交，生成S/2個新細菌并與未進行交叉操作的S/2個細菌構(gòu)成新子細菌群X″2;③對當前適應度函數(shù)值較好的半數(shù)細菌按式(8)實施變異操作，生成S/2個細菌并與未變異的S/2個細菌構(gòu)成新的子細菌群X'2;④從子細菌群X'2與子細菌群X″2中挑選出適應度函數(shù)值最好的前S個細菌替換原細菌群X2.

6)進入學習循環(huán)，進行學習操作.對菌群X1與菌群X2中的細菌按適應度函數(shù)值排序，并從菌群X1的前a=0.618S個細菌中按輪盤賭法選擇出b=0.618a個細菌，與菌群X2中適應度函數(shù)值較差的b個細菌進行交換;再隨機初始化a個細菌，與從菌群X1中交換來的b個細菌組成新菌群X2;

7)判斷.若循環(huán)結(jié)束，則比較兩個菌群分別找到的精英細菌，選擇較好的一個作為全局最優(yōu)解并輸出結(jié)果，算法結(jié)束;否則，轉(zhuǎn)4).

3 算法仿真結(jié)果與分析

3.1 仿真設(shè)計

本研究采用10個高維測試函數(shù)對BFO及DFBFO的性能分別進行對比測試(表1).這些函數(shù)的全局最優(yōu)解通常在一個狹小地帶，采用常規(guī)優(yōu)化方法難以獲取最優(yōu)值，且優(yōu)化難度隨函數(shù)維數(shù)的增加而驟升［14］.

測試參數(shù)設(shè)置如下:設(shè)置函數(shù)維度為30維，運行DFBFO算法20次.菌群中的細菌總數(shù)S=40，遷徙概率0.25;趨化次數(shù)Nc=40;單向最大游動次數(shù)NS=5;遷徙次數(shù)Ned=5，復制次數(shù)Nre=5，學習參數(shù) a=0.618S，b=0.382S.

表1 標準測試函數(shù)Table1 Benchmark functions

3.2 仿真結(jié)果與分析

表2給出了固定迭代次數(shù)下BFO算法及DFBFO算法的尋優(yōu)精度對比.其中，算法測試20次，最優(yōu)解(最差解)指20次中得到的最接近(最遠離)全局最優(yōu)解的值，固定迭代次數(shù)為Nc×Nre×Ned=1 000.

表2 固定迭代次數(shù)下的尋優(yōu)精度對比結(jié)果Table2 The comparison results for optimization accuracy under the fixed number of iterations

由表2可見，對用于測試尋優(yōu)精度的Sphere函數(shù)和Griewank函數(shù)，本研究算法得到的尋優(yōu)解比經(jīng)典BFO算法提高了6個數(shù)量級，全局尋優(yōu)精度較高，且最優(yōu)解與最差解差距不大，說明DFBFO算法在優(yōu)化簡單高維函數(shù)時性能穩(wěn)定，這取決于本研究對菌群密度函數(shù)因子的引入，細菌被賦予感知菌群的能力并隨著菌群擁擠程度自適應調(diào)整步伐大小，由于趨化方向上的改進，尋優(yōu)不再盲目，進一步避免了細菌在最優(yōu)解附近出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，增進了算法穩(wěn)定性.對于較難獲得全局最優(yōu)解的Rastrgin函數(shù)，DFBFO算法也取得了較佳效果，突破了BFO算法的局部早熟現(xiàn)象，且尋優(yōu)精度接近理論最優(yōu)值0.在優(yōu)化極易陷入早熟收斂的Rosenbrock函數(shù)時，DFBFO算法效果不甚理想，雖然最優(yōu)解較BFO算法有一定改進，但并未達到數(shù)量級的提高，說明DFBFO算法對于最優(yōu)解附近存在陡峭區(qū)域的函數(shù)，它跳出早熟收斂的能力有待提高，變異算子及雙菌群對于多樣性的改善作用都有待加強.但DFBFO算法對于復雜Schwefel函數(shù)的收斂結(jié)果有較好改進，Schwefel函數(shù)的理論最優(yōu)值為-12 569.5，DFBFO算法能較快收斂到-8 000左右，且20次測試結(jié)果顯示平均解接近最優(yōu)解，性能較穩(wěn)定.對于其他測試函數(shù)，DFBFO算法也能取得較理想的結(jié)果.

表3在固定尋優(yōu)閾值的情況下，對BFO算法及DFBFO算法進行了對比測試.其中，算法測試20次，最大和最小代數(shù)分別指20次測試中收斂到給定閾值所需代數(shù)的最大值和最小值.參數(shù)調(diào)整為:趨化次數(shù)Nc=30，單向最大游動次數(shù)Ns=5，復制Nre=5，遷徙次數(shù)Ned=8，其余參數(shù)設(shè)置同上.若迭代次數(shù)超過1 000仍未收斂到給定閾值，則認為算法陷入局部最優(yōu).

由表3可見，本算法對于尋優(yōu)速度有了較大幅度地改善，在優(yōu)化多峰高維函數(shù)時DFBFO算法表現(xiàn)穩(wěn)定，基本在前300代內(nèi)尋得全局最優(yōu)解.由此可知，對于較低維度的測試函數(shù)，經(jīng)典BFO算法可得到滿意的優(yōu)化結(jié)果，但當函數(shù)趨于復雜且易陷入局部最優(yōu)時，BFO算法的尋優(yōu)效果并不理想，容易引起算法的早熟收斂［15］.對于多峰函數(shù)Schwefel及Rastrgin，BFO算法無法在1 000代以內(nèi)收斂至給定閾值，且測試結(jié)果表明，1 000代以后BFO算法尋優(yōu)解的值變化緩慢，在3 200代時仍無法達到給定閾值.而DFBFO算法雖然在1 000代以內(nèi)優(yōu)化Rosenbrock函數(shù)只能得到最優(yōu)解26.656 0，但對于其他高維多峰復雜函數(shù)，收斂代數(shù)均有大幅減小.在仿真過程中發(fā)現(xiàn)，每當DFBFO算法趨化循環(huán)結(jié)束，開始進行復制及遷徙操作時，尋優(yōu)解的值會有大幅度的，甚至若干數(shù)量級的改善，這得利于本研究的改進措施:復制操作保護精英細菌，遷徙階段不再隨機抽取細菌進行滅亡與初始化操作，而是充分利用當前已搜索到的有用信息改善較差細菌，根據(jù)細菌的適應度值區(qū)別采取措施，同時兩個菌群側(cè)重點不同，并行尋優(yōu)且相互學習與交流，從而本研究算法有效加快了尋優(yōu)速度，能在較少的迭代次數(shù)內(nèi)收斂至給定的尋優(yōu)精度值.

表3 固定尋優(yōu)閾值下的迭代次數(shù)對比結(jié)果*Table3 The comparison results for iterations under the fixed optimal threshold

綜上，本研究提出的DFBFO算法可改善算法陷入局部早熟現(xiàn)象，提高全局搜索能力.不同函數(shù)的測試結(jié)果表明，DFBFO算法的解的精度和收斂速度均優(yōu)于BFO算法，對某些復雜高維函數(shù)改善效果尤顯，故DFBFO算法提高了細菌覓食機制的優(yōu)化效率.

3.3 參數(shù)選取

本研究提出的算法涉及多個控制參數(shù).在實際使用中，參數(shù)取值直接影響算法的尋優(yōu)結(jié)果，故針對參數(shù)取值設(shè)計仿真實驗.以Cmax和Cmin為例，它們在相同測試環(huán)境下對Griewank函數(shù)進行優(yōu)化的收斂曲線如圖3.

Cmax及Cmin的取值組合為

1)Cmax=0.1，Cmin=1×10-3;

2)Cmax=5×10-2，Cmin=1×10-4;

3)Cmax=3×10-2，Cmin=1×10-5;

4)Cmax=1×10-2，Cmin=1×10-6.

其余參數(shù)設(shè)置同上并在仿真過程中保持不變.

由圖3可知，第4組取值組合對應的尋優(yōu)解精度最大.當Cmax和Cmin取值繼續(xù)減小時，尋優(yōu)解精度的提高幅度趨于平緩，且由于其趨化步長過小，導致尋優(yōu)速度降低.由此可見，Cmax和Cmin取值分別定為1×10-2及1×10-6.

同理，對其他控制參數(shù)進行仿真實驗，最終確定本研究的主要控制參數(shù)取值為:Dmax=0.25，Dmin=0.01，c1=0.25，c2=0.05.

圖3 Cmin和Cmax參數(shù)選取對比結(jié)果Fig.3 The comparison results for parameterselection between Cminand Cmax

結(jié) 語

本研究分析了BFO算法的優(yōu)化原理，并從趨化操作、復制操作和遷徙操作3方面對經(jīng)典BFO算法進行改進.引入菌群密度函數(shù)因子，將固定步長改進為隨菌群擁擠程度自適應變化的趨化步長，并添加最優(yōu)細菌對其他細菌的尋優(yōu)方向指導，避免了在最優(yōu)解附近出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象，加快尋優(yōu)速度;根據(jù)遺傳算法的交叉變異思想，提出一種交叉算子和變異算子，在保護精英細菌的同時增加菌群的多樣性，促進早熟細菌跳出局部最優(yōu);受群聚現(xiàn)象的啟發(fā)，提出雙菌群優(yōu)化機制，加強菌群間相互學習交流的程度，提高算法的局部搜索能力，有效抑制了算法的退化現(xiàn)象.仿真實驗結(jié)果表明，本研究提出的雙菌群細菌覓食優(yōu)化算法，既提高了解的精度，又加快了算法收斂速度，能改善算法全局收斂能力，避免陷入局部早熟現(xiàn)象.

/References:

［1］Li Jin.The Research and Application of the Niche Shuffled Frog Leaping Algorithm ［D］.Xi'an:Xidian University，2012.(in Chinese)李 錦.小生境混合蛙跳算法研究與應用［D］.西安:西安電子科技大學，2012.

［2］Wang Yanfei.The Particle Swarm Optimization and Its Application［D］.Wuhan:Huazhong University of Science and Technology，2008.(in Chinese)王雁飛.粒子群優(yōu)化算法及其應用［D］.武漢:華中科技大學，2008.

［3］Passino K M.Biomimicry of bacterial foraging for distributed optimization and control［J］.Control System Magazine，2002，22(3):52-67.

［4］Sun J，F(xiàn)ang W，Palade V，et al.Quantum-behaved particle swarm optimization with Gaussian distributed local attractor point［J］.Applied Mathematics and Computation，2011，218(7):3763-3775.

［5］Liu Xiaolong，Zhao Kuiling.Bacterial foraging optimization algorithm based on immune algorithm ［J］.Journal of Computer Applications，2012，32(3):634-637.(in Chinese)劉小龍，趙奎領(lǐng).基于免疫算法的細菌覓食優(yōu)化算法［J］.計算機應用，2012，32(3):634-637.

［6］Ren Jiaxing，Huang Jinying.An optimized bacterial foraging algorithm to solve the problem of global optimization ［J］.Science and Technology Information，2012(2):44-45.(in Chinese)任佳星，黃晉英.一種優(yōu)化的細菌覓食算法用以解決全局最優(yōu)化問題［J］.科技信息，2012(2):44-45.

［7］Liu Xiaolong，Li Rongjun，Yang Ping.Bacterial foraging optimization algorithm based on estimation of distribution［J］.Control and Decision，2011，26(8):1233-1238.(in Chinese)劉小龍，李榮鈞，楊 萍.基于高斯分布估計的細菌覓食優(yōu)化算法 ［J］.控制與決策，2011，26(8):1233-1238.

［8］Wang Xuesong，Cheng Yuhu，Hao Minglin.Estimation of distribution algorithm based on bacterial foraging and its application in predictive control［J］.Acta Electronic Sinica，2010，38(2):333-339.(in Chinese)王雪松，程玉虎，郝名林.基于細菌覓食行為的分布估計算法在預測控制中的應用 ［J］.電子學報，2010，38(2):333-339.

［9］Liu Xiaolong.The Improvement and Application of Bacterial Foraging Optimization Algorithm ［D］.Guangzhou:South China University of Technology，2011.(in Chinese)劉小龍.細菌覓食優(yōu)化算法的改進及應用 ［D］.廣州:華南理工大學，2011.

［10］Li M S，Ji T Y，Tang W J，et al.Bacterial foraging algorithm with varying population ［J］.BioSystems，2010，100(3):185-197.

［11］Das S，Biswas A，Dasgupta S，et al.Bacterial foraging optimization algorithm:theoretical foundations，analysis and applications［J］.Foundations of Computer Intelligence，2009，3:23-55.

［12］Xu Xin，Liu Yanheng，Wang Aimin，et al.Optimization algorithm of bacterial swarm based on the collection ［J］.Journal of Jilin University Engineering and Technology Edition，2012，42(6):1491-1497.(in Chinese)許 鑫，劉衍珩，王愛民，等.基于集合的細菌群優(yōu)化算法 ［J］.吉林大學學報工學版，2012，42(6):1491-1497.

［13］Dasgupta S，Das S，Abraham A，et al.Adaptive computational chemotaxis in bacterial foraging optimization:an analysis［J］.IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2009，13(4):919-941.

［14］Zhang Guoyong，Wu Yonggang，Tan Yuxiang.Bacterial foraging optimization algorithm with quantum behavior［J］.Journal of Electronics ＆ Information Technology，2013，35(3):614-621.(in Chinese)章國勇，伍永剛，譚宇翔.一種具有量子行為的細菌覓食優(yōu)化算法［J］.電子與信息學報，2013，35(3):614-621.

［15］Chatzis S P，Koukas S.Numerical optimization using synergetic swarms of foraging bacterial populations ［J］.Expert Systems withApplications，2011，38(12):15332-15343.