引導(dǎo)學(xué)生“創(chuàng)造”數(shù)學(xué)概念

吳汝萍

一、概念的引入，源于數(shù)學(xué)化的需要

數(shù)學(xué)的基本概念一般都具有豐富的現(xiàn)實(shí)原型，用數(shù)學(xué)概念來描述與刻畫這些現(xiàn)實(shí)原型，是源于數(shù)學(xué)化的需要，是數(shù)學(xué)發(fā)展的需求，也是人類認(rèn)知的需要。在數(shù)學(xué)概念引入時，如果能將數(shù)學(xué)化的需要與學(xué)生的認(rèn)知需要并軌，學(xué)生認(rèn)知的需要越迫切，自主創(chuàng)造的積極性就越高，教學(xué)的效果也就越好。

例如，人教版五上“確定位置”第一課時，是學(xué)習(xí)用數(shù)對表示具體情境中物體的位置。教學(xué)時，先出示學(xué)生熟悉的橫成行、豎成列的教室座位場景，讓學(xué)生根據(jù)“橫成行，豎成列”的生活語境明確“列”與“行”的含義。接著設(shè)置一個找人的問題情境：“李紅坐在第2列、第4行，那李紅是哪一位？”讓學(xué)生從圖中指認(rèn)出李紅所在的位置。因?yàn)闆]有規(guī)定數(shù)的方向，學(xué)生指認(rèn)出4個不同位置上的人，其中大部分學(xué)生指認(rèn)的是從左往右第2列，從前往后第4行上的同學(xué)。此時教師引導(dǎo)質(zhì)疑：“李紅只有一位，你們怎么會找出4人？”學(xué)生認(rèn)識到不規(guī)定數(shù)行和列的方向，就難以確定李紅的位置。接著明確指出坐在第2列，第4行座位上的李紅，讓學(xué)生明白，這里的“第2列”是從左往右數(shù)的，“第4行”是從前往后數(shù)的。按“李紅坐在從左往右數(shù)的第2列，從前往后數(shù)的第4行”的形式敘述就不會有歧義。學(xué)生立即又認(rèn)識到這樣敘說一個人的位置，雖然準(zhǔn)確無誤，但顯得太啰嗦，學(xué)生意識到應(yīng)該有簡單的方式。這時教師告訴學(xué)生，數(shù)學(xué)家的確創(chuàng)造了一種既準(zhǔn)確又簡潔的方法，這就使學(xué)生產(chǎn)生了學(xué)習(xí)這種新方法的內(nèi)在需求。此時教師問：“是老師直接把這種方法告訴你們，還是你們當(dāng)一回數(shù)學(xué)家，自己把這種方法創(chuàng)造出來呢？”學(xué)生自然不希望教師直接告知，而是喜歡嘗試創(chuàng)造。

二、概念的形成，經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程

用“數(shù)對”確定位置，是約定俗成后的“規(guī)定”，它包含了三個方面的內(nèi)容，一是“數(shù)對”指兩個數(shù)，即列數(shù)與行數(shù)；二是數(shù)對中前面的數(shù)表示列數(shù)，后面的數(shù)表示行數(shù)，且確定第幾列規(guī)定從左往右數(shù)，確定第幾行規(guī)定從前往后數(shù)，它和直角坐標(biāo)系中確定點(diǎn)的位置，要先寫出橫軸上的數(shù)量，再寫出縱軸上的數(shù)量的次序是一致的；三是用數(shù)對確定位置有專屬的書寫格式。教學(xué)這樣“規(guī)定”性的數(shù)學(xué)概念，并不是直接告訴學(xué)生，并讓學(xué)生能模仿就萬事大吉了。

其實(shí)，好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是一個被動吸收的過程，而是一個以學(xué)習(xí)者已有的認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動理解、建構(gòu)的過程。數(shù)學(xué)概念從產(chǎn)生到約定俗成都有其內(nèi)在的合理性，教學(xué)過程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生去體會、去理解其內(nèi)在原因，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家“創(chuàng)造規(guī)定”的心路歷程，也就是經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過程，學(xué)生才能真正理解和掌握相關(guān)數(shù)學(xué)概念。

為探索“規(guī)定”內(nèi)在的合理性，先讓學(xué)生數(shù)出這個班級的人數(shù)，然后讓學(xué)生回憶數(shù)的過程：（1）你是先橫著數(shù)出一行的人數(shù)，還是先豎著數(shù)出一列的人數(shù)？（2）橫著數(shù)一行的人數(shù)時，你是從左往右數(shù)的，還是從右往左數(shù)的？（3）豎著數(shù)一列的人數(shù)時，你是從前往后數(shù)的，還是從后往前數(shù)的？并分別用舉手表決的方法來統(tǒng)計出各種數(shù)法的人數(shù)。通過三次操作，讓學(xué)生清楚地認(rèn)識到大部分人的觀察習(xí)慣的一致性。再讓學(xué)生對照情境圖認(rèn)識到“橫著從左往右數(shù)”數(shù)出的就是列數(shù)，“豎著從前往后數(shù)”數(shù)出的就是行數(shù)。

接著，讓學(xué)生猜想：“既然有這樣的習(xí)慣，數(shù)學(xué)家規(guī)定用行列確定位置時，會做出怎樣的規(guī)定？”學(xué)生自然意識到數(shù)學(xué)家會這樣規(guī)定：先列，后行，且數(shù)列數(shù)從左往右，數(shù)行數(shù)從前往后。有了這樣的規(guī)定，李紅的位置用“第2列、第4行”來述說也就不會產(chǎn)生歧義。這時，再讓學(xué)生回顧最初指認(rèn)李紅位置的情況，雖然大家當(dāng)時不知道數(shù)學(xué)家的具體規(guī)定，但大部分同學(xué)也正確指認(rèn)出李紅的具體位置，讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識到數(shù)學(xué)家這樣規(guī)定的合理性。

在此基礎(chǔ)上，向?qū)W生提出更高的數(shù)學(xué)化要求：數(shù)學(xué)的魅力在于符號化，數(shù)學(xué)符號不分民族、國籍，全世界通用。你能否像數(shù)學(xué)家一樣，把這兩句話簡化一下，設(shè)計出一個數(shù)學(xué)符號，表示的還是第2列、第4行，能讓全世界的人都看得懂？學(xué)生將眾多成果展現(xiàn)在黑板上，最后全班交流，概括得出這些符號的共性，最終達(dá)成共識，像數(shù)學(xué)家一樣創(chuàng)造出“數(shù)對”。

用不同方式描述平面內(nèi)一個點(diǎn)的位置，直至用“數(shù)對”來確定的過程，其實(shí)是一個符號化的過程。教學(xué)過程中，教師有意識地引領(lǐng)學(xué)生有效經(jīng)歷從文辭描述，到習(xí)慣縮寫，再到符號化的過程，目的就是讓學(xué)生感悟到“數(shù)對”概念符號化形成的三個層次（文辭階段，縮寫階段，符號階段）。學(xué)生如此經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，自然能真正理解“數(shù)對”的內(nèi)涵，不僅知其然，更知其所以然。

三、概念的應(yīng)用，解決數(shù)學(xué)化的問題

概念的教學(xué)必須經(jīng)過由感性的具體發(fā)展到抽象的規(guī)定，再由抽象的規(guī)定發(fā)展到思維中的具體這兩個階段。所以數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用也是教學(xué)過程中不可或缺的，是鞏固與深化理解數(shù)學(xué)概念的重要環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用，重在解決生活中數(shù)學(xué)化的問題，在分析問題、解決問題的過程中，一方面讓學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，拓展認(rèn)識的深度與廣度，另一方面讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)概念進(jìn)行思考，提高數(shù)學(xué)思維的能力。

本課開始，讓學(xué)生指認(rèn)李紅位置時，學(xué)生指認(rèn)了不同的四個位置。學(xué)生創(chuàng)造出“數(shù)對”后，便讓學(xué)生用“數(shù)對”來表示另三個位置上的學(xué)生。學(xué)生寫出這三個數(shù)對后，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察李紅及其他三個位置，通過比較，學(xué)生進(jìn)一步理解了“數(shù)對”的內(nèi)涵，發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律，即同一列中，數(shù)對中的前一個數(shù)相同，同一行中，數(shù)對的后一個數(shù)相同。得出這樣的規(guī)律后，在沒有情境圖的情況下，讓學(xué)生根據(jù)小軍的位置（4，3），用數(shù)對表示出小軍前、后、左、右四個同學(xué)的位置。學(xué)生解決這個數(shù)學(xué)化的問題，需有理有序進(jìn)行推理，不僅有效磨礪了學(xué)生的思維，更培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀念。

接著讓學(xué)生用數(shù)對表示自己的位置、好朋友的位置。然后，教師寫出數(shù)對（x，3），指出這個數(shù)對上的學(xué)生如能迅速站起來，就能成為今天的幸運(yùn)學(xué)生，得到教師的小禮品。并讓學(xué)生說出類似的數(shù)對，讓更多的學(xué)生成為今天的幸運(yùn)學(xué)生，學(xué)生想到了（3，x）、（x，y）等數(shù)對，讓學(xué)生進(jìn)一步關(guān)注到“數(shù)對”這一數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延。最后，讓學(xué)生將目光投向生活，找出生活中可以運(yùn)用數(shù)對（或類似于數(shù)對）確定位置的地方，在學(xué)生的交流過程中，教師適時出示教材練習(xí)中的相關(guān)圖片及生活中的相關(guān)場景，如體操方陣、電影院里的座位、地球表面經(jīng)緯度等，讓學(xué)生體會到用數(shù)對確定位置所帶來的生產(chǎn)生活上的便捷。

引導(dǎo)學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣“創(chuàng)造”數(shù)學(xué)概念，實(shí)際上是讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的心路歷程，與其說是讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不如說是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化。在經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程中，概念的形成是在教師的引導(dǎo)下“生發(fā)”的，這種“生發(fā)”是學(xué)生在探索的過程中自己“創(chuàng)造”出來的，而不是教師“強(qiáng)加”的。

（作者單位：江蘇省金湖實(shí)驗(yàn)小學(xué)）