用單位階梯函數(shù)求解變載荷梁撓度的方法

何春霞，吳雁平

(黃河科技學(xué)院 工學(xué)院，鄭州 450063)

在工程結(jié)構(gòu)分析與設(shè)計(jì)中，必須求解連續(xù)梁的內(nèi)力和變形，以往的方法是在不同載荷作用處和不同截面位置分段，在不同段分別建立彎矩方程，進(jìn)行積分，再聯(lián)立相鄰階段的位移邊界條件進(jìn)行求解，整個(gè)過程繁瑣，邊界條件多。

單位階梯函數(shù)是一種在一定的數(shù)值區(qū)間上取值為零，在其余數(shù)值區(qū)間上取值為1的函數(shù)，通常用H(x)表示。單位階梯函數(shù)在通信及自動(dòng)控制理論中有著廣泛的應(yīng)用，其最大的優(yōu)越性體現(xiàn)在處理不連續(xù)問題中。不連續(xù)問題的分析通常需要在間斷處分段，在每一段分別處理，然后在交接處通過邊界條件求解，這種求解方法中間變量多，計(jì)算過程復(fù)雜。利用單位階梯函數(shù)求解，不需要分段分別處理，可以用一個(gè)計(jì)算公式統(tǒng)一表達(dá)［1］，從而使問題能夠完整、簡(jiǎn)單地表述，在求解上也能夠得到最大簡(jiǎn)化，并且利于編制程序?qū)崿F(xiàn)電算化。本文用單位階梯函數(shù)，在梁的全長范圍內(nèi)統(tǒng)一建立彎矩方程，進(jìn)而推導(dǎo)出撓度的統(tǒng)一方程，由于不再進(jìn)行分段求解，計(jì)算過程大為簡(jiǎn)化。

1 單位階梯函數(shù)的定義與性質(zhì)［2－3］

單位階梯函數(shù)的表達(dá)式為:

當(dāng)自變量的分界點(diǎn)不為零時(shí)為延遲單位階梯函數(shù)，表達(dá)式如下:

延遲單位階梯函數(shù)可以起始任意函數(shù)，假設(shè)函數(shù)f(x)，起始于x0點(diǎn)的任意函數(shù)表達(dá)式:

函數(shù)圖像如圖1所示。

圖1 延遲單位階梯函數(shù)

延遲單位階梯函數(shù)還可以表示某一段內(nèi)函數(shù)，當(dāng)a＜b時(shí)，

函數(shù)圖像如2所示。

圖2 函數(shù)圖像H(x－a)－H(x－b)生成圖

利用單位階梯函數(shù)、延遲單位階梯函數(shù)能將分段函數(shù)表示為一個(gè)式子［3］，以便于分段函數(shù)的數(shù)據(jù)變換和微積分運(yùn)算。

2 用單位階梯函數(shù)表示結(jié)構(gòu)中連續(xù)梁的內(nèi)力方程

例1 設(shè)有一根連續(xù)的簡(jiǎn)支梁，計(jì)算簡(jiǎn)圖和彎矩圖如圖3所示。其上受集中力F作用，設(shè)截面尺寸、材料參數(shù)不變。

自變量x從梁的左端開始，簡(jiǎn)支梁的彎矩方程為:

用單位階梯函數(shù)將彎矩方程表示為統(tǒng)一的式子:

例2 設(shè)有一根連續(xù)的簡(jiǎn)支梁，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖4所示。其上受集中力F和均布載荷q作用，設(shè)截面尺寸、材料參數(shù)不變。

自變量x從梁的左端開始，簡(jiǎn)支梁的彎矩方程為:

用單位階梯函數(shù)將彎矩方程統(tǒng)一表示為:

3 用單位階梯函數(shù)求解連續(xù)梁的撓度

圖3 計(jì)算簡(jiǎn)圖和彎矩圖1

圖4 計(jì)算簡(jiǎn)圖和彎矩圖2

梁的撓度(w)是梁彎曲變形程度的度量。假設(shè)變載荷梁的截面尺寸不變，材料性質(zhì)不變，則梁的抗彎剛度EI不變。彎矩與梁的撓度之間存在如下關(guān)系［4］:

在梁小變形時(shí)，忽略撓度高階導(dǎo)數(shù)的微量，上式簡(jiǎn)化為:

撓度方程為一元二階線性齊次方程的解。將例1的彎矩分段方程組(1)代入式(6)，分別進(jìn)行兩次積分，可求得AB段、CD段的撓度方程組為:

積分式中有四個(gè)積分常數(shù)，四個(gè)積分常數(shù)由約束邊界條件確定。

梁為簡(jiǎn)支梁，在AB段，梁的左端為固定鉸鏈支座，撓度為零，即x=0，w=0，得一個(gè)方程。在CD段，梁的右端為活動(dòng)鉸鏈支座，撓度依然為零，即x=l，w=0，得一個(gè)方程。由于梁連續(xù)，在B點(diǎn)的撓度連續(xù)，B點(diǎn)轉(zhuǎn)角連續(xù)，上述積分式可得兩個(gè)方程。四個(gè)未知量常數(shù)由上述四個(gè)方程求解。

若彎矩方程用階梯函數(shù)統(tǒng)一表示的式(2)代入式(6)，進(jìn)行積分，得連續(xù)梁的統(tǒng)一撓度方程:

積分式中有兩個(gè)常系數(shù)C、D。梁為簡(jiǎn)支梁，有梁的邊界約束條件，梁的左端為固定鉸鏈支座，撓度為零，即x=0，w=0，代入式(8)，由階梯函數(shù)的性質(zhì)，x=0時(shí)，H(x－a)=0，則D=0。

梁的右端為活動(dòng)鉸鏈支座，撓度依然為零，即x=l，w=0，代入式(8)，由階梯函數(shù)性質(zhì)，x=l時(shí)，H(x)=1，H(x－a)=1，則

彎矩方程用階梯函數(shù)表示的統(tǒng)一式子，中間變量的確定相對(duì)簡(jiǎn)化。

將上述求解的常系數(shù)C、D代入式(8)，得連續(xù)梁撓度的統(tǒng)一方程:

從上述兩種求解方法的過程來看，彎矩方程用分段函數(shù)求解撓度，中間變量多，計(jì)算過程復(fù)雜;彎矩方程用階梯函數(shù)表示的統(tǒng)一式子求解撓度，中間變量減少一半，計(jì)算過程規(guī)整，利于簡(jiǎn)化。對(duì)于變截面系數(shù)、多載荷作用的連續(xù)梁，如例2，采用階梯函數(shù)表示的彎矩方程的統(tǒng)一式子來求解撓度問題將大大簡(jiǎn)化計(jì)算過程。

4 結(jié)束語

本文利用單位階梯函數(shù)及其性質(zhì)，對(duì)連續(xù)梁的撓度方程進(jìn)行了求解，建立了連續(xù)梁撓度的統(tǒng)一方程，它克服了原來對(duì)變載荷問題要進(jìn)行分段求解的不足，并且它的求解過程規(guī)整，有利于編制程序?qū)崿F(xiàn)電算化，為這類問題提供了新的思路和方法。單位階梯函數(shù)在力學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用還有待于進(jìn)一步的研究。

［1］ 荊振華.奇異函數(shù)在材料力學(xué)中的應(yīng)用［J］.遼寧省交通高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，1997，5(1):52－58．

［2］ 湯志浩.單位階梯函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用［J］.湖南工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，12(9):78－79．

［3］ 徐彬.奇異函數(shù)建立高層結(jié)構(gòu)分析模型的方法及應(yīng)用［J］.昆明理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，25(6):106～109．

［4］ 劉鴻文.材料力學(xué)I［M］.5版．北京:高等教育出版社，2012:175～177．