一種連續(xù)信號卷積的代數(shù)方法探究

田淙海，楊宗帥

(1．山西省氣象局 山西省氣象服務中心，太原 030002;2．北京愛潔隆技術(shù)有限公司 成都分公司，成都 610041)

《信號與系統(tǒng)》課程作為通信電子類專業(yè)必修的基礎(chǔ)課程，很多學生反映入門較難［1］。主要原因在于:(1)初次接觸這門課程，還沒有和自己已有的知識體系關(guān)聯(lián);(2)理論抽象;(3)公式繁瑣，較難理解。卷積是信號與系統(tǒng)理論的基礎(chǔ)和靈魂。在線性時不變系統(tǒng)(linear time－invariant systems，LTI)中，我們把連續(xù)域中的卷積稱為卷積積分，離散域中的卷積稱為卷積和。然而，要正確地計算卷積并不容易，多數(shù)教材總是借助信號的移動來進行圖解，不過需要花費大量的時間，且易遺漏或者出錯。本文對一種計算連續(xù)信號卷積的代數(shù)方法進行了探究［2－5］。

1 卷積的定義

在連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析中，一個重要的數(shù)學工具是一種特殊的積分運算，我們稱之為卷積積分，簡稱卷積［6－8］。

設(shè)f1(t)和f2(t)是定義在(－∞，∞)區(qū)間上的兩個連續(xù)時間信號，我們將積分

定義為f1(t)和f2(t)的卷積(convolution)，簡記為

式(1)中:τ為虛設(shè)的積分變量。積分的結(jié)果為另一個新的連續(xù)時間信號。

2 卷積的運算

圖像法計算卷積的優(yōu)點是易于理解，計算分段信號的卷積非常實用，但缺點是計算時間長、易出錯，而且對于很難畫出圖形的信號卷積，則無能為力［9－10］。

計算卷積的實質(zhì)就是計算定積分?，F(xiàn)舉例對計算連續(xù)信號卷積的代數(shù)方法進行說明，并歸納計算連續(xù)信號卷積代數(shù)方法的步驟。

例1 計算(t+1)*ε(t－2)

例2 計算 f1(t)=e－tε(t)，f2(t)=tε(t)，求f1(t)*f2(t)。

計算y(t)=f1(t)*f2(t)。

上式定積分，臨界有意義的點有:t=－7，t=1，t=－1，t=7。

1)當t＜－7或t≥7時，y(t)=0;

2)當－7≤t＜－1時，

3)當－1≤t＜1時，

4)當1≤t≤7時，

綜上所述，

從上面的3個例子可以看出，計算連續(xù)信號卷積的代數(shù)方法比較簡單，更重要的是我們對定積分的運算非常熟悉，理解起來相對容易，且計算不易出錯。計算連續(xù)信號卷積的代數(shù)方法的步驟可分為三步:(1)根據(jù)卷積的定義代換，t→τ，t→t－τ;(2)化為定積分，找出使ε(τ)為1的τ的范圍，當然τ可以為一個代數(shù)式;(3)找出定積分有意義的臨界t值，分段計算定積分。

3 結(jié)束語

實現(xiàn)連續(xù)信號卷積的方法有很多，而且各有特點。本文對一種計算連續(xù)信號卷積的代數(shù)方法進行了探究，發(fā)現(xiàn)計算連續(xù)信號卷積的代數(shù)方法運用起來非常簡單、方便，更為重要的是可以將卷積運算直接轉(zhuǎn)化為我們熟悉的定積分運算。

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