探究同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用

趙靜

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式tanx=sinxcosx與sin2x+cos2x=1，反映了同一個角的不同三角函數(shù)之間的必然聯(lián)系.這些基本關(guān)系式的主要應(yīng)用體現(xiàn)在三角函數(shù)的求值、化簡、證明中.而在利用關(guān)系式解決問題的過程中，其突出的特點是：運算量大，變化靈活，思想豐富等.那么，如何準(zhǔn)確快速地解題呢？下面筆者淺談一下三角函數(shù)基本關(guān)系式在應(yīng)用中常見的解題思想和變形方法.

一、求值

1.已知一個角的某個三角函數(shù)值，求其余的三角函數(shù)值

【例1】 已知tanθ=34，求sinθ，cosθ.

解：由同角函數(shù)關(guān)系式知sinθ=±35.

當(dāng)θ為第一象限角時，sinθ=35，cosθ=45.

當(dāng)θ為第三象限角時，sinθ=-35，cosθ=-45.

解題決策：利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系式解題時，若開方，需根據(jù)θ的象限分類討論來確定結(jié)果的正負(fù)號.

2.已知tanα的值，求代數(shù)式的值

3.已知sinθ+cosθ，sinθ-cosθ，sinθcosθ其中一個式子的值，求其他值

解題決策：此題運用“和積轉(zhuǎn)換”思想.對sinθ+cosθ，sinθ-cosθ，sinθcosθ三者建立聯(lián)系.求值過程中要注意開方結(jié)果正負(fù)號的判斷，這是避免錯誤的關(guān)鍵.

二、化簡

【例4】 化簡1+sinα1-sinα-1-sinα1+sinα（α為第二象限角）.

解題決策：巧用“1”代換，直奔主題是解題關(guān)鍵.

在同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用中，把握三個核心原則：知識體系系統(tǒng)化；考題模式明確化；解題方式熟練化.解題時，緊鎖目標(biāo)，緊扣條件，靈活運用常規(guī)解法（切弦互化、“1”的代換、和積轉(zhuǎn)換法等）才能收到準(zhǔn)確、快速的解題效果.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）

從另一個角度解考點之“直線與平面區(qū)域”

廣東潮州韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)系（521041） 張志欣

廣東潮州韓山師范學(xué)院化學(xué)系（521041） 謝意純

“直線與平面區(qū)域”是中學(xué)數(shù)學(xué)一個比較重要的幾何關(guān)系，用于表述直線與平面區(qū)域之間的動態(tài)關(guān)系.它作為廣東高考改革后的一個重要的知識點，從2010年廣東高考分文理科以來，每年的高考卷，無論是文科數(shù)學(xué)，還是理科數(shù)學(xué)，都會出現(xiàn)直線與平面區(qū)域的幾何關(guān)系，且一般以單項選擇題的形式出現(xiàn).對于這個知識點的解題方法有很多，但本文用另一種解法解“直線與平面區(qū)域”，旨在為考生和教師提供一定的參考.

一、直線ax+by+c=0的平面區(qū)域結(jié)構(gòu)及其相關(guān)推論

首先，我們來討論直線ax+by+c=0的平面區(qū)域的結(jié)構(gòu)問題.若點落在直線ax+by+c=0，顯然代入方程等于0.若點不落在直線上，將不等于0.那么是大于0，還是小于0呢？是否與a，b，c有關(guān)系呢？

二、從另一角度解“直線與平面區(qū)域”的相關(guān)問題

圖2目標(biāo)函數(shù)z=ax+by+c有可能穿過約束條件所包含的區(qū)域，也有可能未穿過，不妨一一進(jìn)行討論.

下方，端點B距離直線最遠(yuǎn)，B點就是所求最值點.若取直線上方，最值點可能是C點或整條AC直線.

【例2】 （2013年珠海市高三摸底）設(shè)變量x，y，滿足約束條件x-y+1>0

解析：若取最小值，如圖5，A點離直線最近，所以A（1，0）是最小值.若取最大值，因為x+y-4=0與z=x+y平行，取直線BC上的正數(shù)點（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，0），共5個整點為最大值.故可確定5+1=6條不同的直線.

上述是本人總結(jié)出的解“直線與平面區(qū)域”的另一種方法，希望能為廣大師生提供一定的幫助.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）endprint

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式tanx=sinxcosx與sin2x+cos2x=1，反映了同一個角的不同三角函數(shù)之間的必然聯(lián)系.這些基本關(guān)系式的主要應(yīng)用體現(xiàn)在三角函數(shù)的求值、化簡、證明中.而在利用關(guān)系式解決問題的過程中，其突出的特點是：運算量大，變化靈活，思想豐富等.那么，如何準(zhǔn)確快速地解題呢？下面筆者淺談一下三角函數(shù)基本關(guān)系式在應(yīng)用中常見的解題思想和變形方法.

一、求值

1.已知一個角的某個三角函數(shù)值，求其余的三角函數(shù)值

【例1】 已知tanθ=34，求sinθ，cosθ.

解：由同角函數(shù)關(guān)系式知sinθ=±35.

當(dāng)θ為第一象限角時，sinθ=35，cosθ=45.

當(dāng)θ為第三象限角時，sinθ=-35，cosθ=-45.

解題決策：利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系式解題時，若開方，需根據(jù)θ的象限分類討論來確定結(jié)果的正負(fù)號.

2.已知tanα的值，求代數(shù)式的值

3.已知sinθ+cosθ，sinθ-cosθ，sinθcosθ其中一個式子的值，求其他值

解題決策：此題運用“和積轉(zhuǎn)換”思想.對sinθ+cosθ，sinθ-cosθ，sinθcosθ三者建立聯(lián)系.求值過程中要注意開方結(jié)果正負(fù)號的判斷，這是避免錯誤的關(guān)鍵.

二、化簡

【例4】 化簡1+sinα1-sinα-1-sinα1+sinα（α為第二象限角）.

解題決策：巧用“1”代換，直奔主題是解題關(guān)鍵.

在同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用中，把握三個核心原則：知識體系系統(tǒng)化；考題模式明確化；解題方式熟練化.解題時，緊鎖目標(biāo)，緊扣條件，靈活運用常規(guī)解法（切弦互化、“1”的代換、和積轉(zhuǎn)換法等）才能收到準(zhǔn)確、快速的解題效果.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）

從另一個角度解考點之“直線與平面區(qū)域”

廣東潮州韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)系（521041） 張志欣

廣東潮州韓山師范學(xué)院化學(xué)系（521041） 謝意純

“直線與平面區(qū)域”是中學(xué)數(shù)學(xué)一個比較重要的幾何關(guān)系，用于表述直線與平面區(qū)域之間的動態(tài)關(guān)系.它作為廣東高考改革后的一個重要的知識點，從2010年廣東高考分文理科以來，每年的高考卷，無論是文科數(shù)學(xué)，還是理科數(shù)學(xué)，都會出現(xiàn)直線與平面區(qū)域的幾何關(guān)系，且一般以單項選擇題的形式出現(xiàn).對于這個知識點的解題方法有很多，但本文用另一種解法解“直線與平面區(qū)域”，旨在為考生和教師提供一定的參考.

一、直線ax+by+c=0的平面區(qū)域結(jié)構(gòu)及其相關(guān)推論

首先，我們來討論直線ax+by+c=0的平面區(qū)域的結(jié)構(gòu)問題.若點落在直線ax+by+c=0，顯然代入方程等于0.若點不落在直線上，將不等于0.那么是大于0，還是小于0呢？是否與a，b，c有關(guān)系呢？

二、從另一角度解“直線與平面區(qū)域”的相關(guān)問題

圖2目標(biāo)函數(shù)z=ax+by+c有可能穿過約束條件所包含的區(qū)域，也有可能未穿過，不妨一一進(jìn)行討論.

下方，端點B距離直線最遠(yuǎn)，B點就是所求最值點.若取直線上方，最值點可能是C點或整條AC直線.

【例2】 （2013年珠海市高三摸底）設(shè)變量x，y，滿足約束條件x-y+1>0

解析：若取最小值，如圖5，A點離直線最近，所以A（1，0）是最小值.若取最大值，因為x+y-4=0與z=x+y平行，取直線BC上的正數(shù)點（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，0），共5個整點為最大值.故可確定5+1=6條不同的直線.

上述是本人總結(jié)出的解“直線與平面區(qū)域”的另一種方法，希望能為廣大師生提供一定的幫助.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）endprint

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式tanx=sinxcosx與sin2x+cos2x=1，反映了同一個角的不同三角函數(shù)之間的必然聯(lián)系.這些基本關(guān)系式的主要應(yīng)用體現(xiàn)在三角函數(shù)的求值、化簡、證明中.而在利用關(guān)系式解決問題的過程中，其突出的特點是：運算量大，變化靈活，思想豐富等.那么，如何準(zhǔn)確快速地解題呢？下面筆者淺談一下三角函數(shù)基本關(guān)系式在應(yīng)用中常見的解題思想和變形方法.

一、求值

1.已知一個角的某個三角函數(shù)值，求其余的三角函數(shù)值

【例1】 已知tanθ=34，求sinθ，cosθ.

解：由同角函數(shù)關(guān)系式知sinθ=±35.

當(dāng)θ為第一象限角時，sinθ=35，cosθ=45.

當(dāng)θ為第三象限角時，sinθ=-35，cosθ=-45.

解題決策：利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系式解題時，若開方，需根據(jù)θ的象限分類討論來確定結(jié)果的正負(fù)號.

2.已知tanα的值，求代數(shù)式的值

3.已知sinθ+cosθ，sinθ-cosθ，sinθcosθ其中一個式子的值，求其他值

解題決策：此題運用“和積轉(zhuǎn)換”思想.對sinθ+cosθ，sinθ-cosθ，sinθcosθ三者建立聯(lián)系.求值過程中要注意開方結(jié)果正負(fù)號的判斷，這是避免錯誤的關(guān)鍵.

二、化簡

【例4】 化簡1+sinα1-sinα-1-sinα1+sinα（α為第二象限角）.

解題決策：巧用“1”代換，直奔主題是解題關(guān)鍵.

在同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用中，把握三個核心原則：知識體系系統(tǒng)化；考題模式明確化；解題方式熟練化.解題時，緊鎖目標(biāo)，緊扣條件，靈活運用常規(guī)解法（切弦互化、“1”的代換、和積轉(zhuǎn)換法等）才能收到準(zhǔn)確、快速的解題效果.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）

從另一個角度解考點之“直線與平面區(qū)域”

廣東潮州韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)系（521041） 張志欣

廣東潮州韓山師范學(xué)院化學(xué)系（521041） 謝意純

“直線與平面區(qū)域”是中學(xué)數(shù)學(xué)一個比較重要的幾何關(guān)系，用于表述直線與平面區(qū)域之間的動態(tài)關(guān)系.它作為廣東高考改革后的一個重要的知識點，從2010年廣東高考分文理科以來，每年的高考卷，無論是文科數(shù)學(xué)，還是理科數(shù)學(xué)，都會出現(xiàn)直線與平面區(qū)域的幾何關(guān)系，且一般以單項選擇題的形式出現(xiàn).對于這個知識點的解題方法有很多，但本文用另一種解法解“直線與平面區(qū)域”，旨在為考生和教師提供一定的參考.

一、直線ax+by+c=0的平面區(qū)域結(jié)構(gòu)及其相關(guān)推論

首先，我們來討論直線ax+by+c=0的平面區(qū)域的結(jié)構(gòu)問題.若點落在直線ax+by+c=0，顯然代入方程等于0.若點不落在直線上，將不等于0.那么是大于0，還是小于0呢？是否與a，b，c有關(guān)系呢？

二、從另一角度解“直線與平面區(qū)域”的相關(guān)問題

圖2目標(biāo)函數(shù)z=ax+by+c有可能穿過約束條件所包含的區(qū)域，也有可能未穿過，不妨一一進(jìn)行討論.

下方，端點B距離直線最遠(yuǎn)，B點就是所求最值點.若取直線上方，最值點可能是C點或整條AC直線.

【例2】 （2013年珠海市高三摸底）設(shè)變量x，y，滿足約束條件x-y+1>0

解析：若取最小值，如圖5，A點離直線最近，所以A（1，0）是最小值.若取最大值，因為x+y-4=0與z=x+y平行，取直線BC上的正數(shù)點（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，0），共5個整點為最大值.故可確定5+1=6條不同的直線.

上述是本人總結(jié)出的解“直線與平面區(qū)域”的另一種方法，希望能為廣大師生提供一定的幫助.

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