李群理論創(chuàng)立中切觸變換的作用

閻晨光 鄧明立

(1.河北科技大學(xué)理學(xué)院，石家莊 050018;2.中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所，北京 100190;3.河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，石家莊 050024)

縱觀19、20世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展，對數(shù)學(xué)整體影響最廣泛最深刻的就是群論。著名數(shù)學(xué)家外爾(H.Weyl，1885～1955)曾說:“沒有群就不可能理解近代數(shù)學(xué)?！?［1］，534頁)李群(Lie group)是一種有著深刻意義、在數(shù)學(xué)及物理學(xué)上有著重要應(yīng)用的群，尤其是李群的表示理論，在分析學(xué)、微分幾何、拓?fù)鋵W(xué)以及物理學(xué)的量子力學(xué)中都有廣泛而重要的應(yīng)用。關(guān)于李群思想演變的研究也一直是科學(xué)史相關(guān)領(lǐng)域的熱點(diǎn)之一。

李群肇始于挪威數(shù)學(xué)家李(M.S.Lie，1842～1899)，他的最初動機(jī)是把伽羅瓦(E.Galois，1811～1832)的代數(shù)方程可解性理論拓展到微分方程上來。受普呂克爾(J.Plücker，1801～1868)幾何思想的影響，李逐漸產(chǎn)生了切觸變換(contact transformation)的思想，在1874年創(chuàng)立了切觸變換的不變量理論［2］，并建立了一階偏微分方程的積分理論［3，4］。隨后，李陸續(xù)發(fā)表多篇文章［5—10］，逐步建立起系統(tǒng)的變換群理論。在恩格爾(F.Engel，1861 ～1941)幫助下，1888 年到1893 年李出版了三大卷《變換群理論》［11—13］，開創(chuàng)了連續(xù)變換群的新領(lǐng)域，其給出的三大定理至今仍被視為李群理論的基礎(chǔ)?？梢钥吹?，切觸變換在李群理論早期起著重要作用。

切觸變換源于幾何及分析學(xué)，與微分幾何及微分方程關(guān)系密切?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)將切觸變換納入更為抽象的流形理論產(chǎn)生了切觸流形(contact manifold)，與微分幾何、微分拓?fù)?、微分流形等若干現(xiàn)代數(shù)學(xué)領(lǐng)域都有密切關(guān)系。切觸流形中最重要的拓?fù)鋵W(xué)問題是考慮什么樣的流形能夠容許某切觸結(jié)構(gòu)，繼而對該流形上的切觸結(jié)構(gòu)進(jìn)行分類［14］。

一些研究文獻(xiàn)探討了切觸變換與李群的關(guān)系，如美國數(shù)學(xué)史家霍金斯(T.Hawkins，1938～)主要論述了李的切觸變換不變量研究［15］，布爾巴基在討論李群歷史時(shí)也述及切觸變換［16］。一些研究僅指出切觸變換肇始于李，并未涉及李創(chuàng)立切觸變換的原因和過程［17］。

其實(shí)李的早期成果——切觸變換和李球幾何(Lie sphere geometry)體現(xiàn)了當(dāng)時(shí)幾何學(xué)研究的主要特色，并最終導(dǎo)向了變換群理論，這段歷史是李群理論研究中不可缺失也不應(yīng)該被忽視的環(huán)節(jié)，本文意在為李創(chuàng)立的切觸變換給出清晰的思路，明確其在李群起源中的作用，更好地理解李的原創(chuàng)思想與現(xiàn)代李群理論的差別，這也是本文的最終目的。

1 李關(guān)于切觸變換的研究

1.1 李研究切觸變換的緣由

受到普呂克爾幾何思想的影響，李接受了將直線看作空間基本元素的做法，并將線幾何看作是對幾何學(xué)，尤其是笛卡爾(R.Descartes，1596～1650)創(chuàng)立的解析幾何學(xué)局限性的哲學(xué)思考。李在1872年的博士論文前言中寫到:

本世紀(jì)幾何學(xué)的快速發(fā)展與笛卡爾幾何性質(zhì)的哲學(xué)觀點(diǎn)有著緊密聯(lián)系，并嚴(yán)重依賴于此，也就是普呂克爾在早期的數(shù)學(xué)研究中所闡述的具有最一般形式的哲學(xué)觀點(diǎn)。

那些深刻地理解了普呂克爾數(shù)學(xué)工作本質(zhì)的人，對將任意的三參數(shù)曲線當(dāng)作空間基本元素的想法，不會感到陌生。但據(jù)我所知，沒有人將這種想法付諸實(shí)施，原因有可能是人們很難看到這樣做能帶來的直接好處。

在這方面我已經(jīng)進(jìn)行了廣泛而一般的研究，從而發(fā)現(xiàn)通過一種比較奇妙的變換方式①指線球變換。，可以將通常的主切線理論轉(zhuǎn)變成為相應(yīng)的曲率理論。(［18］，156～157頁)

深刻地理解了普呂克爾的幾何思想，李構(gòu)造出和普呂克爾的線幾何類似的球幾何，即李球幾何。在這種情況下，新構(gòu)造的幾何系統(tǒng)與原有幾何系統(tǒng)的關(guān)系就至關(guān)重要。李試圖去證明這些幾何系統(tǒng)都是相容的，甚至在某種意義下是等價(jià)的。這就需要在射影意義(乃至更廣泛的意義)下空間元素之間的“等價(jià)”變換，其實(shí)就是廣義的“對偶原理”。于是，李開始研究各種空間元素之間的變換，如點(diǎn)和直線的變換〔彭賽萊(J-V.Poncelet，1788～1867)等研究過的對偶變換〕、線球變換等，這方面的研究直接導(dǎo)致李創(chuàng)立了一般意義上的切觸變換。

另一方面，早在1872年李就將幾何變換與微分方程緊密地聯(lián)系在一起。數(shù)學(xué)中經(jīng)常用坐標(biāo)變換來化簡微分方程，用來證明一類微分方程等價(jià)于某一標(biāo)準(zhǔn)形式或典范形式。在此過程中，切觸變換是主要的實(shí)現(xiàn)方法。

在李群理論發(fā)展初期(1870～1880)，李的研究主要集中在切觸變換和一階偏微分方程。他在1874年創(chuàng)立了切觸變換的不變量理論，逐漸建立起了系統(tǒng)的變換群理論，并于1888年到1893年出版了三大卷兩千余頁的《變換群理論》。這三卷本《變換群理論》常被列為該領(lǐng)域主要原始文獻(xiàn)和參考書目。但在這三卷巨著中，我們很難發(fā)現(xiàn)李創(chuàng)立李群理論的主要?jiǎng)訖C(jī)，也無法領(lǐng)略到李的幾何思想。對此李的好友、德國數(shù)學(xué)家克萊因(C.F.Klein，1849～1925)在1893年的演講中有著精辟論述，他說:“要全面了解索福斯·李的數(shù)學(xué)天賦，我們不能去看他和恩格爾新近共同出版的著作，而是要去看他在科學(xué)研究生涯初期發(fā)表的文章，那些顯示出李是一個(gè)純粹的幾何學(xué)家。”［19］其中“新近出版的著作”指的便是李和恩格爾在1888年到1893年間出版的三大卷《變換群理論》。

李也曾在Math.Ann.雜志發(fā)表文章說:

我在偏微分方程和切觸變換方面的數(shù)學(xué)研究，可參見發(fā)表在本雜志第九卷的文章，這是我最好的文章之一。其次可以參考我在本雜志第八卷上的文章，接下來是本篇文章①這里的三篇文章按順序分別對應(yīng)本文參考文獻(xiàn)的［3］、［2］、［4］。。(［4］，464頁)

對此筆者認(rèn)為，要詳細(xì)了解某一理論的誕生過程，就必須探尋能體現(xiàn)該領(lǐng)域最初思想和方法的早期論文，而不應(yīng)僅局限于后期系統(tǒng)專著。因此，本文對李在切觸變換方面的研究主要集中于他19世紀(jì)70年代發(fā)表的幾篇文章，即參考文獻(xiàn)［2］、［3］、［4］。

1.2 對切觸變換的定義

文獻(xiàn)［2］中，李對切觸變換給出若干定義，有的用文字描述方式給出，不甚嚴(yán)謹(jǐn)。如其中一個(gè)定義為:

定義1.對于n個(gè)獨(dú)立自變量x1，…，xn的函數(shù)z，z關(guān)于自變量的偏導(dǎo)數(shù)為p1，…，pn，同樣可以得到另一個(gè)系統(tǒng) z'，x'1，…，x'n，p'1，…，p'n，則從 z，x1，…，xn，p1，…，pn和z'，x'1，…，x'n，p'1，…，p'n中的一個(gè)變?yōu)榱硪粋€(gè)的變換就稱作切觸變換。(［2］，220頁)

李認(rèn)為這個(gè)定義“不太清楚”，隨即給出了嚴(yán)謹(jǐn)而“能體現(xiàn)切觸變換本質(zhì)”的定義:

定義 2. 若 Z，X1，…，Xn，P1，…，Pn為 z，x1，…，xn，p1，…，pn的函數(shù)，恒有

則方程z'=Z，x'i=Xi，p'i=Pi所定義的變換就稱作切觸變換。(［2］，220頁)

相比較而言，定義2比定義1更明確，也更好地體現(xiàn)了“切觸”二字的幾何意義。

法國數(shù)學(xué)家古爾薩(E-J-B.Goursat，1858～1936)在著名的微積分教材中對切觸變換也有過不同的描述，他給出的定義如下:

如果將變換 X=f(x，y，y')，Y=φ(x，y，y')應(yīng)用于在點(diǎn)(x，y)處相切的兩條曲線 c和c'，則所得到曲線C和C'也有一個(gè)公共點(diǎn)(X，Y)，但并不一定在此點(diǎn)處相切。曲線 C 和 C'在公共點(diǎn)(X，Y)處也相切的充要條件是變換 X=f(x，y，y')，Y= φ(x，y，y')

對比李和古爾薩關(guān)于切觸變換的定義，我們發(fā)現(xiàn):

(1)很明顯古爾薩的定義局限于曲線和二元函數(shù)范圍，李的定義更為廣泛和一般，并不僅限于二元函數(shù)。

(2)古爾薩根據(jù)“曲線相切”的先驗(yàn)條件定義了切觸變換，并將其理解為保持曲線間的相切關(guān)系不變的變換。李則從微分方程出發(fā)，根據(jù)雅可比(C.G.J.Jacobi，1804～1851)的理論，在微分方程不變性限制下得出了充要條件，由李的條件可以推出古爾薩的條件。

(3)造成以上不同的原因是多方面的，與數(shù)學(xué)家的知識背景、研究方法都不無關(guān)系。古爾薩是法國分析學(xué)派的典型代表，他從純粹分析角度來定義切觸變換，其觀點(diǎn)仍然是處理與變量密切相關(guān)的函數(shù)及其關(guān)系等問題，屬典型的分析學(xué)派。而正如克萊因所言，李是幾何學(xué)家，受到普呂克爾幾何思想的影響，他不再拘泥于坐標(biāo)間關(guān)系的限制，并將普呂克爾的線幾何推廣為李球幾何。李定義的切觸變換使一般的平面幾何、普呂克爾的線幾何和李球幾何具有了切觸變換意義下的等價(jià)性和相容性。

1.3 李對切觸變換的研究

在文獻(xiàn)［2］的第一部分中，李專門研究了切觸變換(［2］，218～248頁)。這一部分共八節(jié)，前六節(jié)分別為:

§1.切觸變換的定義

§2.任意的切觸變換的確定

§3. 將 x1，…，xn，p1，…，pn的函數(shù)變換成 x'1，…，x'n，p'1，…，p'n的函數(shù)的切觸變換

§4.特征的某種關(guān)系的確定

§5.齊次切觸變換

§6.無窮小的齊次切觸變換以上這些均以切觸變換本身為研究對象，其中很大一部分都是特殊的切觸變換，如齊次切觸變換、無窮小齊次切觸變換等。

將李關(guān)于切觸變換的工作與前人比較，我們發(fā)現(xiàn):

(1)李所創(chuàng)立的切觸變換與前人的定義保持了某些統(tǒng)一性。

從歷史上看，勒讓德(A.M.Legendre，1752～1833)引入勒讓德變換將歐拉—拉格朗日方程化為線性方程，普法夫(J.F.Pfaff，1765～1825)則將n變元的偏微分方程變換為2n變元的方程。雅可比也得到了與普法夫類似的結(jié)果，并創(chuàng)立了雅可比第一方法。從勒讓德、普法夫、雅可比給出的變換到李所給出的定義，變換形式越來越一般，而應(yīng)用范圍卻越來越廣。更重要的是李將前人關(guān)于切觸變換的零星的特殊研究統(tǒng)一起來，使進(jìn)一步的研究及統(tǒng)一結(jié)論成為可能。

(2)在研究目的、定義方式、研究方法等方面，李的切觸變換與前人有著明顯不同。在李的研究出現(xiàn)之前，切觸變換只是被當(dāng)作一種應(yīng)用工具，很少有數(shù)學(xué)家去關(guān)注其自身性質(zhì)，而只是在某種實(shí)際問題的特殊要求(為了使微分方程更好求解，或?yàn)榱耸刮⒎址匠叹哂心撤N一致的對稱性等)下，尋找某種特殊變換;即使所得到的變換具有某種一般性，但既沒有出現(xiàn)統(tǒng)一定義，也沒有體現(xiàn)出統(tǒng)一性質(zhì)。李對切觸變換的研究則與前人迥然不同，體現(xiàn)在以下方面。

首先是研究目的不同。李最初研究切觸變換的目的也是尋求偏微分方程的某種不變性，但在給出切觸變換的定義后，李轉(zhuǎn)而研究其自身性質(zhì)，其目的是變換自身的某種不變性，而不僅是其他數(shù)學(xué)對象在切觸變換之下的不變性。這種轉(zhuǎn)變是最本質(zhì)、最具決定性的。

其次是定義方式不同。李之前的各種切觸變換定義帶有明顯的應(yīng)用特征，李不僅真正給出切觸變換嚴(yán)格的現(xiàn)代定義，還給出了切觸變換的充要條件。其定義更基本、更一般，涵蓋范圍也更廣泛。

第三是研究方法不同。李依據(jù)將特定偏微分方程化為全微分方程的條件，確定能夠?qū)崿F(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的切觸變換，分析該切觸變換滿足的充要條件，并由此開創(chuàng)了一整套研究方法。

1.4 李群理論的誕生背景

一般認(rèn)為，真正將李引導(dǎo)到連續(xù)變換群的是他1869～1872年的工作以及和克萊因的一些合作［21］?，F(xiàn)有研究文獻(xiàn)，或以人物及其工作為研究主線，如［15］，或從不同數(shù)學(xué)分支分述，如［16］，或兩者并重，如［22］，但少有文獻(xiàn)注意到切觸變換基礎(chǔ)上無窮小變換與微分方程的關(guān)系。其實(shí)切觸變換和無窮小變換與微分方程都有密切聯(lián)系，在李的變換群理論創(chuàng)立中起著舉足輕重的作用。

早在1871年克萊因和李就開始研究無窮小變換及其形成的“封閉系統(tǒng)”(［23］，54頁)，并首次將無窮小變換與微分方程聯(lián)系起來。對于齊次微分方程，引入變換，則方程變?yōu)榭煞蛛x變量方程，并可通過積分求解。克萊因和李對于方程的這種性質(zhì)非常著迷，認(rèn)為容許一個(gè)變換才是該方程化為可分離變量方程的真正原因。他們寫到:

我們想要探尋方程具有這種性質(zhì)的真正的內(nèi)在原因。(［23］，81頁)

1876年李連續(xù)發(fā)表了兩篇文章“變換群理論”(I，II)［6，7］，給出了無窮小變換的具體表示，并得到了微分算子及微分算子的關(guān)系式:后來他直接將微分算子Ak(f)稱作無窮小變換dxi=Xkidt(1≤i≤n)的“象征”。(［7］，165頁)不久便將微分算子Ak(f)本身稱作“無窮小變換”(［24］，588～589頁)。

另外，切觸變換理論和無窮小變換通過微分方程發(fā)生了聯(lián)系，進(jìn)一步促使李產(chǎn)生了變換群的思想。1876年李證明每一個(gè)r-參數(shù)群包含了r個(gè)相互獨(dú)立的無窮小變換，并用如下的記號來表示一個(gè)無窮小變換:

如果一個(gè)變換可以寫為x'i=xi+δtX(x1，…，xn)，其中δt為一個(gè)無窮小量，則將該變換稱為無窮小變換。我們經(jīng)常將上方程寫為δxi=δtXi(x1，…，xn)。(［7］，155～156頁)

2 李創(chuàng)立的變換群理論

1872年10月克萊因發(fā)表了愛爾蘭根綱領(lǐng)(Erlanger Programm)，主要討論了幾何圖形在變換群之下的不變性質(zhì)，不僅一舉解決了當(dāng)時(shí)若爾當(dāng)(C.Jordan，1838～1922)考慮的問題，還將其結(jié)果納入自己的研究綱領(lǐng)，開創(chuàng)了用群論研究幾何的新時(shí)期。李的變換群理論也正肇始于此時(shí)期。本部分以切觸變換為中心，從變換群概念的誕生方面進(jìn)行論述。

2.1 “群”的觀念

其實(shí)李早就有了群的觀念，只是在早期研究中沒有給出“變換群”的定義，也沒有對“群(Gruppe)”加以定義和說明①在他的工作中明確出現(xiàn)“群”的概念是在1874年的文章［2］中。，而僅是研究了滿足某些帶有“群”的特征的集合。

1870年李首次使用了“群”這個(gè)術(shù)語，但并沒有事先定義“群”的概念。這里的“群”和現(xiàn)代意義上的“群”相去甚遠(yuǎn)，僅指對應(yīng)某一線叢的幾何圖形的全體，大多數(shù)情況下僅具有“集合”的意義［25］。

在1871年的論文中［23］，李和克萊因用“封閉系統(tǒng)”來表示滿足封閉性的某種變換的集合。這時(shí)他們已經(jīng)有了變換群的觀念，并研究了群的某些性質(zhì)，只是由于概念和工具限制②一方面缺乏群的表述方法，只能從具體的變換入手，從而未能得出一般性結(jié)果;另一方面隨處可見的幾何解釋，也阻礙了他們結(jié)果的推廣。，他們的理論缺乏一般性而難以推廣。

在1872年的文章中［26］，“群”出現(xiàn)了10次，同樣李也沒有定義和解釋“群”的概念，“群”的含義與1870年的情形大致相同。

在1874年的文章中李明確給出了“群”的概念，該文第二部分的標(biāo)題就是“群論”(Theorie der Gruppen)(［2］，248頁)。但他定義的“群”只是滿足一定條件的變換的集合，并沒有特別強(qiáng)調(diào)該集合應(yīng)該滿足的封閉等性質(zhì)。因此，從“群”的角度來說，將1874年文章第二部分出現(xiàn)的“變換群”稱作特殊的“變換組”則更為合適一些。

1874年到1880年李發(fā)表了十幾篇關(guān)于變換群的文章，這里的“群”充其量只是具有了封閉性的特殊函數(shù)或某些變換的集合，并不能真正稱得上“群”。

在李看來，連續(xù)變換群概念必須要滿足以下性質(zhì):(1)它是一類切觸變換;(2)在此種切觸變換下，偏微分方程具有某種不變性;(3)這種切觸變換最好是由一個(gè)無窮小生成的變換或稱作與一個(gè)無窮小增量所對應(yīng)的變換;(4)所有切觸變換的集合依賴于r個(gè)參數(shù)，就形成了一個(gè)連續(xù)變換群。正因?yàn)檫B續(xù)變換群承載了如此多的含義和作用，真正意義上的“連續(xù)變換群”概念的產(chǎn)生必然是一個(gè)緩慢而漸進(jìn)的過程。

2.2 變換群概念的出現(xiàn)

眾所周知，群中單位元素(在變換群里即為恒等變換)和逆元素(在變換群里即為逆變換)的存在非常重要。由于要研究在合成作用下穩(wěn)定的所有變換的集合，李逐漸意識到恒等變換與逆變換的重要性。

1876年李認(rèn)為能夠證明在具有封閉性的變換的集合中必定先驗(yàn)地存在恒等變換及一個(gè)無窮小變換，并假設(shè)所研究的變換群總可以成對的表示為變換及其逆變換。［6］

1880年李正式給出了“變換群”的定義，不過這里給出的定義也僅僅是滿足了合成法則的特殊的變換組。他給出的變換群的定義如下:

定義.滿足如下條件的一組變換x'=f(x，a1，…，ar)就成為一個(gè)變換群，其中x為初始變量，x'為新的變量，ai為參數(shù)，如果這組變換中兩個(gè)變換的相繼作用和另一個(gè)變換作用等價(jià)，即由 x'=f(x，a1，…，ar)和 x″=f(x'，b1，…，br)可以推出 x″=f(x，c1，…，cr)，其中 ci為 ai和 bi的函數(shù)。(［28］，442 頁)

眾所周知，置換理論中已經(jīng)證明:一個(gè)置換群的元素與其逆元素可以認(rèn)為是成對出現(xiàn)的。而置換群和變換群理論的不同點(diǎn)僅在于，前者含有有限元，而后者則包含有無限個(gè)變換。不過很自然(將上述做法推廣)認(rèn)為變換群的一個(gè)變換與其逆變換也是成對出現(xiàn)的。(［28］，444～445頁)

1884年恩格爾構(gòu)造了一個(gè)有限連續(xù)群，不包含恒等變換，其元素也并不總能成對的表示為變換及逆變換(［11］，174～175頁)。由此李意識到之前假設(shè)是錯(cuò)誤的，并證明引入新的參數(shù)以及解析延拓后，總可以達(dá)到他最早給出的論斷。(［16］，414頁)

定義了變換群后，李進(jìn)一步定義了兩變換群相似的概念。隨后，李和恩格爾于1888～1893年出版了三大卷的《變換群理論》，在第一卷總結(jié)得到了李代數(shù)的三條基本定理，給出了李群的局部特征的表示。此外，李也研究了連續(xù)變換群的分類和同構(gòu)問題，最早嘗試對李群進(jìn)行分類，為基靈(W.Killing，1847～1923)和嘉當(dāng)(é.Cartan，1869～1951)李代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究開啟了大門。

3 切觸變換在李群理論中的作用

本部分我們試圖對以下問題進(jìn)行初步探索:李創(chuàng)立連續(xù)變換群的主要目的是什么?或者說出于什么動機(jī)?李是沿著何種路線如何達(dá)到這些目的?切觸變換在其中究竟起到什么作用?

3.1 以微分方程為中心的研究目的

李曾在克里斯蒂安尼亞大學(xué)(今奧斯陸大學(xué))受教于希羅(P.L.Sylow，1832～1918)。希羅則是當(dāng)時(shí)歐洲大陸能夠讀懂伽羅瓦理論的少數(shù)數(shù)學(xué)家之一。李意識到了伽羅瓦理論強(qiáng)大的力量，希望將代數(shù)方程的伽羅瓦理論推廣用來解決微分方程，并考慮偏微分方程的解在切觸變換下的不變性。他自豪地宣稱要將連續(xù)群的概念應(yīng)用到微分方程上去。(［27］，60頁)

眾所周知，伽羅瓦理論的一個(gè)基本結(jié)果為:代數(shù)方程可根式解的充要條件是該方程的伽羅瓦群是可解群。與此相類似，在皮卡-韋西奧理論中，引入了線性齊次常微分方程的伽羅瓦群，并將之稱作微分伽羅瓦群，而線性齊次常微分方程可用積分解的充要條件就是其微分伽羅瓦群是可解群。

李則更多地從分析的角度來考慮問題，即:對于一個(gè)給定的微分方程組，考慮使該微分方程組保持穩(wěn)定的底空間的微分同胚群，也就是考慮該微分方程組的解的置換。布爾巴基曾比較貼切地評論道:

實(shí)際上，對李來說，變換群的理論就像是微分方程的積分工具一樣，就像代數(shù)方程中的伽羅瓦理論一樣重要。(［16］，416～417頁)

盡管李的目的和出發(fā)點(diǎn)受到伽羅瓦理論的強(qiáng)烈影響，但他對伽羅瓦理論的理解卻值得我們思考。在李1874年寫給邁耶(A.Mayer，1839～1908)的信中說:

在伽羅瓦之前，代數(shù)方程理論的問題是:是否方程可以根式解，如何解?伽羅瓦之后的問題是，用根式解方程的最簡單方法是什么?…我相信是時(shí)候應(yīng)該在微分方程領(lǐng)域也進(jìn)行類似的工作了。(［24］，586頁)

在李看來伽羅瓦理論對代數(shù)方程的最直接影響是給出了根式解方程的最簡單方法，這與我們現(xiàn)在的看法多少有些不同?，F(xiàn)在認(rèn)為:對代數(shù)方程來說，伽羅瓦理論最要緊之處是給出代數(shù)方程可解性的判據(jù)。

另一方面，對“群結(jié)構(gòu)”的不斷探索深化了人們關(guān)于“抽象群”的認(rèn)識，李在這方面也作出了嘗試。1880年他寫道:

我們的問題可以表述為:確定一個(gè)流形的所有r參數(shù)群。(［28］，443頁)。他將自己的目標(biāo)描述為:

發(fā)展出一套關(guān)于變換的一般理論，并將其應(yīng)用到微分方程上去。一方面要尋找能將一個(gè)給定的微分方程或者是解析表達(dá)式變成給定形式的變換的存在條件，另一方面則在其存在時(shí)求出該變換。(［29］，538頁)

事實(shí)上，用變換來研究給定微分方程的方法已出現(xiàn)在歐拉(L.Euler，1707～1783)、拉格朗日(J-L.Lagrange，1736～1813)和勒讓德的著作中。但這些數(shù)學(xué)家從未想過研究這些變換的自身性質(zhì)，也沒有建立包含所使用的特殊變換的一般理論，更很少對這些變換分類。他們只是將變換當(dāng)做解微分方程的一種工具，更不要說從群的角度來研究微分方程。

李的研究動機(jī)和目的顯而易見，即:將連續(xù)變換群應(yīng)用到微分方程上去，為微分方程發(fā)展出一套積分理論，其中包含了一種變換理論，它可以判斷一個(gè)微分方程能否變成給定的形式，并求出該變換。正是通過這種變換理論，李發(fā)展出了解微分方程的理論，該理論通過尋求微分方程在變換下的不變性而簡化求解過程。在這個(gè)過程中，切觸變換和無窮小變換兩個(gè)概念起重要作用，這也正是他研究的出發(fā)點(diǎn)。

3.2 以切觸變換為基礎(chǔ)的研究方案

在1884年的文章中，李詳細(xì)的介紹了他的思路:

首先建立切觸變換的理論基礎(chǔ)，然后引入無窮小變換的重要概念。首要目標(biāo)是建立切觸變換的不變量，也就是說研究微分方程在所有切觸變換(或所有的點(diǎn)變換)之下的不變性。

第二步是建立帶有有限參數(shù)的連續(xù)變換群理論，并建立將其應(yīng)用到微分方程上去的一般理論。(［29］，538頁)

在此基礎(chǔ)上，李研究了微分方程在切觸變換下的不變性和該不變性與無窮小變換的關(guān)系。

1871年他開始研究使得微分方程不變的無窮小變換，并考慮了可交換的變換及其形成的群，這就有可能“或者由此得到一些積分方法，或者可以將問題分成幾個(gè)更簡單的問題?！?［29］，547 頁)

首先，李將對微分方程的研究轉(zhuǎn)變?yōu)閷κ乖摲匠滩蛔兊那杏|變換的研究;借助無窮小變換與切觸變換的關(guān)系，形成變換群的概念。由此對于微分方程的分類就相當(dāng)于對變換群的分類。對此，李認(rèn)為:

給定任意階的兩變量的微分方程，它可能容許一個(gè)將自身變?yōu)樽陨淼那杏|變換，而這些切觸變換形成的群一定屬于上面列出中的某一個(gè)。在此基礎(chǔ)上，可以對這些方程進(jìn)行分類，……也就給出了對其進(jìn)行積分的一個(gè)正確理論。(［4］，541頁)

作為應(yīng)用，李將一個(gè)平面切觸變換的所有有限連續(xù)群化為典范形式，同時(shí)研究了屬于這些群的一階、二階和三階微分方程的不變量。以此為基礎(chǔ)就可以原則上解決微分方程的分類問題，從而大大簡化微分方程的積分理論。(［4］，529～542頁)

由此我們總結(jié)得到李的研究方案，并得出切觸變換在李群創(chuàng)立過程中的中心作用:

(1)研究切觸變換，建立切觸變換的不變量理論，研究微分方程在切觸變換下的不變性;

(2)將無窮小變換的概念與微分方程聯(lián)系起來，探尋微分方程在切觸變換下不變性的真正原因，并將結(jié)果應(yīng)用于微分方程的積分理論的研究中;

(3)將微分方程所容許的變換與無窮小變換結(jié)合，產(chǎn)生有限參數(shù)的連續(xù)變換群的概念;研究將任意的變換群化為典范形式的方法，或研究能否將典范群變換成給定的變換群，在此基礎(chǔ)上構(gòu)造典范群的不變微分方程，對變換群進(jìn)行分類;

(4)將有限參數(shù)的連續(xù)變換群的性質(zhì)歸結(jié)為無窮小變換的性質(zhì);通過相互獨(dú)立的無窮小變換的個(gè)數(shù)對變換群分類，從而對微分方程分類;在此基礎(chǔ)上建立微分方程的系統(tǒng)理論。

4 結(jié)語

一段時(shí)期內(nèi)(19世紀(jì)70年代)，李群理論幾乎完全依賴于李個(gè)人的研究工作。一方面李開創(chuàng)了一般意義上的切觸變換理論，將其由一種應(yīng)用工具上升為數(shù)學(xué)研究對象及理論，另一方面將切觸變換應(yīng)用于微分方程，通過無窮小變換，在初步的“群”的觀念下，研究使微分方程不變的某些切觸變換所形成的“群”及無窮小變換的關(guān)系，從而創(chuàng)立了連續(xù)變換群理論。更重要的是，在應(yīng)用于微分方程的指引下，李將問題導(dǎo)向了對變換群的分類。由此，該領(lǐng)域有了獨(dú)立的研究對象——連續(xù)變換群，產(chǎn)生了相對獨(dú)立的研究方法，出現(xiàn)了推動該領(lǐng)域發(fā)展的主要問題——對連續(xù)變換群進(jìn)行分類。由此，李群理論正式宣告誕生。

當(dāng)然，任何數(shù)學(xué)領(lǐng)域的創(chuàng)建都不是一朝一夕之功，也很難僅憑一人之力維持發(fā)展，隨著三大卷《變換群理論》的出版，李群理論的接力棒交到了基靈和嘉當(dāng)手中?；`和嘉當(dāng)在19世紀(jì)末期使李代數(shù)形成了自己的研究方法，而嘉當(dāng)在20世紀(jì)初的一系列研究則加強(qiáng)了上述方法，并形成了李代數(shù)最開始的中心問題:復(fù)和實(shí)的有限維李代數(shù)的結(jié)構(gòu)及表示理論。由此形成了早期李群的中心問題:李群及其李代數(shù)的結(jié)構(gòu)和分類問題(也涉及李群的線性表示問題)，從19世紀(jì)70年代李創(chuàng)立連續(xù)變換群理論直到1925年，這個(gè)主題從未改變。

1925年外爾創(chuàng)立整體李群理論，發(fā)展出真正融合了幾何、代數(shù)和分析的李群表示理論。以此為標(biāo)志李群理論進(jìn)入了真正意義上的現(xiàn)代李群發(fā)展階段，數(shù)學(xué)學(xué)科也進(jìn)入了一個(gè)飛速發(fā)展時(shí)代。在與其他數(shù)學(xué)分支乃至其他學(xué)科不斷的交叉滲透下，到20世紀(jì)50年代中期，李群李代數(shù)理論不僅成為了數(shù)學(xué)科學(xué)的中心，還對物理、化學(xué)等學(xué)科影響頗深，在理論和應(yīng)用上也產(chǎn)生了多方面重要影響。這為數(shù)學(xué)史、科學(xué)史工作者提供了大量研究素材，同時(shí)也為我們提出了許多更加深刻和重要的研究課題。

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