三角函數(shù)圖像的應用

張久霞

摘 要：三角函數(shù)是高中數(shù)學中的一種很重要的常用函數(shù)，與其他常用函數(shù)一樣，我們要研究他的定義域、值域、單調(diào)性以及奇偶性。而三角函數(shù)的一個特殊性質(zhì)—— 周期性使得三角函數(shù)變得與眾不同，尤其使其圖像具有了周而復始的規(guī)律性和數(shù)學美感。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù) 規(guī)律性 特殊性

中圖分類號：G633.64 文獻標識碼：A 文章編號1674-098X（2014）06（b）-0211-01

三角函數(shù)是高中數(shù)學中的一種很重要的常用函數(shù)，與其他常用函數(shù)一樣，我們要研究他的定義域、值域、單調(diào)性以及奇偶性。而三角函數(shù)的一個特殊性質(zhì)—— 周期性使得三角函數(shù)變得與眾不同，尤其使其圖像具有了周而復始的規(guī)律性和數(shù)學美感。以下是正弦函數(shù)圖象、余弦函數(shù)圖像、正切函數(shù)圖象的簡圖，讓我們先來欣賞一下如圖1～3。

而隨著新一輪教材改革的實施，高中數(shù)學教材三角函數(shù)這一章的教學重點已由以前的三角函數(shù)式的恒等變形轉(zhuǎn)變?yōu)槿呛瘮?shù)的圖像與性質(zhì)，而三角函數(shù)的作圖和圖像的平移、求值和最值、求周期與判斷函數(shù)的單調(diào)性是三角函數(shù)性質(zhì)中的重點內(nèi)容，因而在數(shù)學教學中我們更看重三角函數(shù)的圖像在解題中的應用。三角函數(shù)圖像主要由以下幾方面的應用。

1 比較三角函數(shù)值的大小

在三角函數(shù)一章中比較兩個或多個三角函數(shù)值的大小是一種常見題型，這種題往往采取界值法或把幾個三角函數(shù)值化同名，進而再轉(zhuǎn)化到同一段單調(diào)區(qū)間上，結(jié)合圖像的特征得出函數(shù)值的大小關(guān)系。實例分析：

例1. 已知：

，比較、、的大小。

解析：根據(jù)兩角和的正弦公式，=

由二倍角公式，又結(jié)合圖像知正弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

又，

所以，即。

2 求三角函數(shù)在某個區(qū)間的值域、最值

用整體代換法，比如求sin（2x+6）在某個區(qū)間的值域，把2x+6看做一個整體t，再求sint的值域。實例分析如圖4。

例2：已知函數(shù)f（x）=sin（π-ωx）cos ωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期為π.（1）求ω的值。

（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的12，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，π16]上的最小值。

解析： （1）因為f（x）=sin（π-ωx）cos ωx+cos2ωx，所以f（x）=sin ωxcos ωx+1+cos 2ωx2。

=12sin 2ωx+12cos 2ωx+12=22sinrc2ωx+π4+12。

由于ω>0，依題意得2π2ω=π，所以ω=1。

（2）由（1）知f（x）=22sinrc2x+π4+12，所以g（x）=f（2x）=22sinrc4x+π4+12.

當0≤x≤π16時，π4≤4x+π4≤π2，所以22≤sinrc4x+π4≤1.因此1≤g（x）≤1+22。

故g（x）在區(qū)間0，π16上的最小值為1.

3 求三角函數(shù)的表達式

題目一般給定圖象的一部分，由圖象中表達出的各種信息，得出解析式中的待求參數(shù)，進而可求出函數(shù)的解析式。

例3.已知函數(shù)f（x）=Atan（ωx+φ）（ω>0，|φ|<），y=f（x）的部分圖象如圖所示，求f（x）的解析式，并求f 。

【解析】由圖象可知，此正切函數(shù)的半周期等于π-π=π=π，即周期為π，∴ω=2。

由2×π+φ=kπ，k∈Z，|φ|<，知φ=。

由f（0）=1，知A=1。

因此f（x）=tan，故f=tan=tan=。endprint

摘 要：三角函數(shù)是高中數(shù)學中的一種很重要的常用函數(shù)，與其他常用函數(shù)一樣，我們要研究他的定義域、值域、單調(diào)性以及奇偶性。而三角函數(shù)的一個特殊性質(zhì)—— 周期性使得三角函數(shù)變得與眾不同，尤其使其圖像具有了周而復始的規(guī)律性和數(shù)學美感。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù) 規(guī)律性 特殊性

中圖分類號：G633.64 文獻標識碼：A 文章編號1674-098X（2014）06（b）-0211-01

三角函數(shù)是高中數(shù)學中的一種很重要的常用函數(shù)，與其他常用函數(shù)一樣，我們要研究他的定義域、值域、單調(diào)性以及奇偶性。而三角函數(shù)的一個特殊性質(zhì)—— 周期性使得三角函數(shù)變得與眾不同，尤其使其圖像具有了周而復始的規(guī)律性和數(shù)學美感。以下是正弦函數(shù)圖象、余弦函數(shù)圖像、正切函數(shù)圖象的簡圖，讓我們先來欣賞一下如圖1～3。

而隨著新一輪教材改革的實施，高中數(shù)學教材三角函數(shù)這一章的教學重點已由以前的三角函數(shù)式的恒等變形轉(zhuǎn)變?yōu)槿呛瘮?shù)的圖像與性質(zhì)，而三角函數(shù)的作圖和圖像的平移、求值和最值、求周期與判斷函數(shù)的單調(diào)性是三角函數(shù)性質(zhì)中的重點內(nèi)容，因而在數(shù)學教學中我們更看重三角函數(shù)的圖像在解題中的應用。三角函數(shù)圖像主要由以下幾方面的應用。

1 比較三角函數(shù)值的大小

在三角函數(shù)一章中比較兩個或多個三角函數(shù)值的大小是一種常見題型，這種題往往采取界值法或把幾個三角函數(shù)值化同名，進而再轉(zhuǎn)化到同一段單調(diào)區(qū)間上，結(jié)合圖像的特征得出函數(shù)值的大小關(guān)系。實例分析：

例1. 已知：

，比較、、的大小。

解析：根據(jù)兩角和的正弦公式，=

由二倍角公式，又結(jié)合圖像知正弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

又，

所以，即。

2 求三角函數(shù)在某個區(qū)間的值域、最值

用整體代換法，比如求sin（2x+6）在某個區(qū)間的值域，把2x+6看做一個整體t，再求sint的值域。實例分析如圖4。

例2：已知函數(shù)f（x）=sin（π-ωx）cos ωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期為π.（1）求ω的值。

（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的12，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，π16]上的最小值。

解析： （1）因為f（x）=sin（π-ωx）cos ωx+cos2ωx，所以f（x）=sin ωxcos ωx+1+cos 2ωx2。

=12sin 2ωx+12cos 2ωx+12=22sinrc2ωx+π4+12。

由于ω>0，依題意得2π2ω=π，所以ω=1。

（2）由（1）知f（x）=22sinrc2x+π4+12，所以g（x）=f（2x）=22sinrc4x+π4+12.

當0≤x≤π16時，π4≤4x+π4≤π2，所以22≤sinrc4x+π4≤1.因此1≤g（x）≤1+22。

故g（x）在區(qū)間0，π16上的最小值為1.

3 求三角函數(shù)的表達式

題目一般給定圖象的一部分，由圖象中表達出的各種信息，得出解析式中的待求參數(shù)，進而可求出函數(shù)的解析式。

例3.已知函數(shù)f（x）=Atan（ωx+φ）（ω>0，|φ|<），y=f（x）的部分圖象如圖所示，求f（x）的解析式，并求f 。

【解析】由圖象可知，此正切函數(shù)的半周期等于π-π=π=π，即周期為π，∴ω=2。

由2×π+φ=kπ，k∈Z，|φ|<，知φ=。

由f（0）=1，知A=1。

因此f（x）=tan，故f=tan=tan=。endprint

摘 要：三角函數(shù)是高中數(shù)學中的一種很重要的常用函數(shù)，與其他常用函數(shù)一樣，我們要研究他的定義域、值域、單調(diào)性以及奇偶性。而三角函數(shù)的一個特殊性質(zhì)—— 周期性使得三角函數(shù)變得與眾不同，尤其使其圖像具有了周而復始的規(guī)律性和數(shù)學美感。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù) 規(guī)律性 特殊性

中圖分類號：G633.64 文獻標識碼：A 文章編號1674-098X（2014）06（b）-0211-01

三角函數(shù)是高中數(shù)學中的一種很重要的常用函數(shù)，與其他常用函數(shù)一樣，我們要研究他的定義域、值域、單調(diào)性以及奇偶性。而三角函數(shù)的一個特殊性質(zhì)—— 周期性使得三角函數(shù)變得與眾不同，尤其使其圖像具有了周而復始的規(guī)律性和數(shù)學美感。以下是正弦函數(shù)圖象、余弦函數(shù)圖像、正切函數(shù)圖象的簡圖，讓我們先來欣賞一下如圖1～3。

而隨著新一輪教材改革的實施，高中數(shù)學教材三角函數(shù)這一章的教學重點已由以前的三角函數(shù)式的恒等變形轉(zhuǎn)變?yōu)槿呛瘮?shù)的圖像與性質(zhì)，而三角函數(shù)的作圖和圖像的平移、求值和最值、求周期與判斷函數(shù)的單調(diào)性是三角函數(shù)性質(zhì)中的重點內(nèi)容，因而在數(shù)學教學中我們更看重三角函數(shù)的圖像在解題中的應用。三角函數(shù)圖像主要由以下幾方面的應用。

1 比較三角函數(shù)值的大小

在三角函數(shù)一章中比較兩個或多個三角函數(shù)值的大小是一種常見題型，這種題往往采取界值法或把幾個三角函數(shù)值化同名，進而再轉(zhuǎn)化到同一段單調(diào)區(qū)間上，結(jié)合圖像的特征得出函數(shù)值的大小關(guān)系。實例分析：

例1. 已知：

，比較、、的大小。

解析：根據(jù)兩角和的正弦公式，=

由二倍角公式，又結(jié)合圖像知正弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

又，

所以，即。

2 求三角函數(shù)在某個區(qū)間的值域、最值

用整體代換法，比如求sin（2x+6）在某個區(qū)間的值域，把2x+6看做一個整體t，再求sint的值域。實例分析如圖4。

例2：已知函數(shù)f（x）=sin（π-ωx）cos ωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期為π.（1）求ω的值。

（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的12，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，π16]上的最小值。

解析： （1）因為f（x）=sin（π-ωx）cos ωx+cos2ωx，所以f（x）=sin ωxcos ωx+1+cos 2ωx2。

=12sin 2ωx+12cos 2ωx+12=22sinrc2ωx+π4+12。

由于ω>0，依題意得2π2ω=π，所以ω=1。

（2）由（1）知f（x）=22sinrc2x+π4+12，所以g（x）=f（2x）=22sinrc4x+π4+12.

當0≤x≤π16時，π4≤4x+π4≤π2，所以22≤sinrc4x+π4≤1.因此1≤g（x）≤1+22。

故g（x）在區(qū)間0，π16上的最小值為1.

3 求三角函數(shù)的表達式

題目一般給定圖象的一部分，由圖象中表達出的各種信息，得出解析式中的待求參數(shù)，進而可求出函數(shù)的解析式。

例3.已知函數(shù)f（x）=Atan（ωx+φ）（ω>0，|φ|<），y=f（x）的部分圖象如圖所示，求f（x）的解析式，并求f 。

【解析】由圖象可知，此正切函數(shù)的半周期等于π-π=π=π，即周期為π，∴ω=2。

由2×π+φ=kπ，k∈Z，|φ|<，知φ=。

由f（0）=1，知A=1。

因此f（x）=tan，故f=tan=tan=。endprint