“真經(jīng)歷”，開展“綜合與實踐”的有效手段

劉志強　伏志瑛

數(shù)學(xué)“綜合與實踐”的價值不是常規(guī)的數(shù)學(xué)課所能實現(xiàn)的，也不是普通的數(shù)學(xué)測試所能評價的。在日常教學(xué)中，由于教師對數(shù)學(xué)“綜合與實踐”的認(rèn)識不夠，目標(biāo)定位、實施難度相對較大，活動顯性成效較難呈現(xiàn)與評價，因此常常被教師視作雞肋一帶而過，甚至有教師把“綜合與實踐”理解成了綜合數(shù)學(xué)練習(xí)。如何有效開展“綜合與實踐”教學(xué)，成為當(dāng)務(wù)之急。在這樣的背景下，我們選擇杯琴為素材進(jìn)行了研究。

仔細(xì)研讀教材并查閱相關(guān)資料可知，杯琴與數(shù)學(xué)之間的關(guān)系，不僅僅體現(xiàn)在水量不一導(dǎo)致聲音不同這一現(xiàn)象上，杯琴所呈現(xiàn)的，是音律的一種外在形式，它是抽象數(shù)學(xué)的一個現(xiàn)實背景。因此，借助于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)及音樂的知識背景，利用杯琴素材引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)并提出研究問題，通過實驗、思考、再實驗，用數(shù)學(xué)的方法去研究和感受數(shù)學(xué)與音律的關(guān)系，使學(xué)生在完整經(jīng)歷不斷推進(jìn)的研究活動中能獲得一些數(shù)學(xué)研究、思考的方法，成為《美妙的杯琴》教學(xué)的目標(biāo)追求。

如何讓作為研究主體的學(xué)生真正地經(jīng)歷完整的研究過程？很顯然從現(xiàn)象的引入，問題的提出，實驗方案的設(shè)計，實驗過程的調(diào)整，研究問題的遞進(jìn)直至初步結(jié)論的得出，這樣一個循序遞進(jìn)的研究性過程不是40分鐘所能承載的，首先要打破的就是課時的限制。由此我們把《美妙的杯琴》的研究過程進(jìn)行了分段處理，把整個過程從課堂40分鐘延伸到課前與課后，精心設(shè)計，旨在引導(dǎo)學(xué)生真實、完整地進(jìn)行數(shù)學(xué)研究。

一、調(diào)查閱讀，提出問題

我們的研究從學(xué)生熟悉的樂器開始。課前三次遞進(jìn)性的問卷和兩個小實驗讓我們很清楚地看到學(xué)生主動參與度的變化，看到研究問題的產(chǎn)生、提出與提煉的過程。

1.亦步亦趨。

問卷一：你了解自己樂器的發(fā)聲原理嗎？音的高低和哪些因素有關(guān)？從反饋看，90%的孩子是通過百度進(jìn)行簡單摘抄，10%的孩子憑經(jīng)驗寫了自己的答案。之后我們組織學(xué)生觀看了視頻《聲音的產(chǎn)生》。問卷二：不局限于自己的樂器，提出自己想要了解的問題。44.1%的學(xué)生通過查閱資料，對聲音的產(chǎn)生有了進(jìn)一步了解，而且關(guān)注到聲音的傳播介質(zhì)、共振等多方面的知識；41.2%的學(xué)生動手進(jìn)行了嘗試，發(fā)現(xiàn)“不同材質(zhì)的容器裝一樣多的水會發(fā)出不同的聲音”、“同樣的容器水量不一聲音也不同”。

2.漸入佳境。

問卷三：你還想研究什么？孩子幾乎迫不及待地提出，想制作一組杯琴，定出音階來演奏樂曲。隨后教師播放了《最強大腦》的片段《聽音定水量》，學(xué)生若有所悟，提出確定音階的時候水量必須十分精確，并設(shè)計了詳細(xì)的實驗方案。

盡管方案的設(shè)計耗費了不少的課余時間，但是學(xué)生專注于設(shè)計本身，根本沒有計較時間問題。可見，學(xué)生不是沒有提出問題的能力，多數(shù)時候是沒有這樣的機會和時間。最終學(xué)生們確定了相對較為合理的方案，并通過實驗得出了結(jié)果。對于我們來說，實驗的結(jié)果是預(yù)料之中的，而提出問題和制訂方案才是更值得重視的活動。培養(yǎng)學(xué)生的問題意識、提高學(xué)生解決現(xiàn)實問題的能力是“綜合與實踐”著力達(dá)成的目標(biāo)，給學(xué)生一定的時間和嘗試的機會，他們會獲得相應(yīng)的成功。這種成功的體驗，是讓“經(jīng)歷”內(nèi)化為“經(jīng)驗”的上佳途徑，一旦學(xué)生具備相當(dāng)?shù)拇祟惤?jīng)驗，即可促進(jìn)其進(jìn)一步的學(xué)習(xí)。

二、實驗調(diào)整，突出“數(shù)學(xué)”

從知道“玻璃杯里水量不同，則音高不同”，到自己制作杯琴演奏，再到研究音律與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，恰似兩個臺階，中間有著很大的跨度。也正是這種跨度，讓孩子有了應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的機會。

片段1：

師：制作杯琴先要“定音階”，先定哪個音？怎么定？

生：先定do，并且水滿為do。因為水越少，音越高。

師：re怎么定呢？請音樂老師來聽聽空杯是什么音……（空杯是so）

生1：我先假設(shè)re要260毫升水，然后再聽音高調(diào)整。

生2：我們是從滿杯開始，先減掉一些水，不斷減少，直到調(diào)出re。

生3：我們小組認(rèn)為可以計算。滿杯為do，空杯子是so，然后……

師：你們知道他們小組是怎么算的嗎？

生4（邊畫圖邊說）：do、re、mi、fa、so之間有三個全音，一個半音，如果兩個全音之間的距離是1份，那么do和so之間的距離就是3.5份?？毡繛?，每一個全音的水量應(yīng)該是總毫升數(shù)÷3.5，re音只要減少這樣一份的水量。

師：真厲害，由音程之間的關(guān)系想到了水量之間的關(guān)系，借助于線段圖使它們的關(guān)系一目了然，果然是有理有據(jù)。

要讓學(xué)生思維觸及數(shù)學(xué)內(nèi)涵，就需要指向數(shù)學(xué)背景的問題。定好do之后，定其他的幾個音，生3主動嘗試從數(shù)學(xué)的角度尋求解決問題的方法，利用音程之間的關(guān)系來確定水量，可以看出面對實際問題，學(xué)生已初步具有了將現(xiàn)實問題抽象為數(shù)學(xué)問題的意識，它需要教師進(jìn)一步的引導(dǎo)與呵護(hù)。

片段2：

師：我們已猜出re音的水量。究竟是不是這樣呢？需要實驗的驗證。

（學(xué)生實驗操作。）

師：實驗數(shù)據(jù)和估計數(shù)據(jù)怎么不一致呢？

生1：我們只是耳朵聽，do和re不一定是最準(zhǔn)確的音高。

生2：杯子上面大些，下面小些，會不會有影響？

師：那么，實驗結(jié)果符合音變高而水減少的規(guī)律嗎？

生：是的。

師：面對猜想，我們要學(xué)會驗證；面對結(jié)果，我們還要學(xué)會反思。

師：我們剛才通過估、驗、思的步驟確定了re音。接下來，猜想mi、fa、so各應(yīng)該是多少毫升呢？能驗證嗎？

（學(xué)生按照步驟繼續(xù)試驗，調(diào)出后面的音，教師在excel表格中輸入數(shù)據(jù)。）

師：各組的數(shù)據(jù)都在這里了，有辦法清楚地比較這些數(shù)據(jù)嗎？

生：用折線統(tǒng)計圖。

（教師將表格轉(zhuǎn)換為折線統(tǒng)計圖。）

師：你能看出什么？

生1：每個小組的折線都是依次下降的。

生2：所有的實驗都符合水越多音越低，水越少音越高的規(guī)律。

首先應(yīng)注意到，孩子是愿意通過實驗來驗證猜想的。學(xué)生在活動中，既發(fā)現(xiàn)了猜想和結(jié)果之間符合的部分，又能反思差異出現(xiàn)的原因。在分析問題的過程中，學(xué)生還綜合了統(tǒng)計相關(guān)知識，合理地解釋了杯琴的制作原理。教師所要做的仍然是提供一定時間和空間。此外，教師和學(xué)生沒有避諱猜想與實驗結(jié)果之間的差異，這就是數(shù)學(xué)求真的一面。同時我們也可將整個活動看作一種數(shù)學(xué)實驗。數(shù)學(xué)作為一門科學(xué)，理應(yīng)包含猜想和實驗等實踐內(nèi)容。但現(xiàn)實是，學(xué)生獨立的實驗意識并不強，不得不說這與以往的數(shù)學(xué)教學(xué)方式有關(guān)。培養(yǎng)學(xué)生以實驗佐證猜想的意識，需要在整個數(shù)學(xué)教育的過程中予以重視。同時，實驗并不等同于操作，預(yù)先的估計，實驗后的分析，都應(yīng)當(dāng)是實驗中要關(guān)注的內(nèi)容。

三、文化滲透，拓寬思路

當(dāng)學(xué)生成功地制作出杯琴，并用杯琴演奏出一些簡單的樂曲后，研究至此結(jié)束嗎？不，杯琴只是我們研究數(shù)學(xué)和音律關(guān)系的一個引子，更重要的是通過杯琴打開一扇研究的門。歷史上有很多關(guān)于數(shù)學(xué)家研究音樂的小故事，我們把畢達(dá)哥拉斯研究音律的故事在活動中介紹給學(xué)生，以此來引導(dǎo)學(xué)生的后續(xù)思考、研究。

片段3：

師：其實人們很早就相信，音樂的背后肯定有數(shù)學(xué)規(guī)律可循，并一直在努力尋找。畢達(dá)哥拉斯是我們所知歷史上最早研究音律的數(shù)學(xué)家，請同學(xué)們一起閱讀《畢達(dá)哥拉斯琴弦律》。

（學(xué)生閱讀材料并討論單弦琴調(diào)音和杯琴的異同以及畢達(dá)哥拉斯的研究方法。）

生1：杯琴是通過調(diào)節(jié)水量來調(diào)音的，畢達(dá)哥拉斯是通過調(diào)節(jié)弦長短調(diào)音的。

生2：水量多少和琴弦長短，其實都是我們常說的數(shù)量。

師：真厲害，又看到數(shù)學(xué)了。那么畢達(dá)哥拉斯是如何研究的呢？

生：其實和我們差不多，先猜測，再驗證。

師：看來我們研究的方法確實是有點道理的。再來看這些樂器是怎么調(diào)音的？出示：木琴、豎琴、長笛發(fā)聲原理的介紹。

師：你又有什么感想？

生1：這幾樣樂器調(diào)音方法好像和杯琴以及琴弦類似。

生2：它們應(yīng)該也有數(shù)學(xué)規(guī)律。

就杯琴這一內(nèi)容而言，與數(shù)學(xué)文化的聯(lián)系至少可以體現(xiàn)為兩個方面：一是音樂中蘊含的數(shù)學(xué)原理，二是眾多數(shù)學(xué)家在音律方面付諸的大量研究。合理地使用這些素材，是拓展數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的必要手段。

四、回顧反思，延伸研究

經(jīng)歷活動的過程之后，教師理應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行回顧和反思，這是促使學(xué)生積累活動經(jīng)驗和學(xué)會理性思考的重要途徑。縱觀整個研究的過程，學(xué)生的回顧和反思至少出現(xiàn)了三次，首先在學(xué)生制訂實驗方案后，教師引導(dǎo)學(xué)生針對研究問題進(jìn)行調(diào)整；其次在學(xué)生通過“估、驗、思”的步驟確定了re音后，教師及時引導(dǎo)學(xué)生明確操作方法，展開實驗操作；最后在學(xué)生通過實驗，明確了杯琴的原理并敲出曲子之后。

師：我們終于聽到了自己的樂器發(fā)出美妙的音樂。現(xiàn)在，讓我們找一些關(guān)鍵詞，來回顧這段時間的研究。

生簡單討論后給出：問題、猜想、分析，驗證、規(guī)律……

師（小結(jié)）：我們在現(xiàn)象、實驗中發(fā)現(xiàn)問題，提出猜想。通過實驗分析，有時猜想獲到驗證，得到了規(guī)律；有時實驗結(jié)果與猜想不符，需要分析原因，調(diào)整思路；有時又會在實驗中產(chǎn)生新的問題，促使我們進(jìn)一步深入研究。

回顧和反思，一方面是完整的活動過程的一部分，另一方面更多地是為了進(jìn)一步理解知識和方法，積累活動經(jīng)驗。反思的內(nèi)容，主要是明確“發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題”的策略和方法，以及活動過程中需要改進(jìn)的問題、可供借鑒的經(jīng)驗等。

回顧整個活動的過程，始于樂器和聲音的表象，終于器樂發(fā)聲和數(shù)學(xué)的原理，并延伸至數(shù)學(xué)音樂之間的文化紐帶。教師嘗試以綜合的視野組織學(xué)習(xí)，讓學(xué)生真正經(jīng)歷了實踐活動的完整過程，獲得了實實在在的基本研究經(jīng)驗和大量的真實體驗。至此《美妙的杯琴》教學(xué)讓我們深切地感受到“真經(jīng)歷”是開展數(shù)學(xué)“綜合與實踐”的有效手段。

（作者單位：江蘇省無錫市揚名中心小學(xué)，江蘇省無錫市南長區(qū)教研室）