一道有關(guān)圓的試題的多種思路

☉湖北省武漢市左嶺第一初級中學(xué) 王曉霞

波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》序言中說：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練.”他還有一句膾炙人口的名言：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題.”解題教學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中占有極其重要的地位，一題多解是培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性與創(chuàng)造性的重要途徑.筆者對武漢市2017年元月調(diào)考第21題進(jìn)行研究，有些心得，現(xiàn)整理如下：

一、原題呈現(xiàn)

（2017年武漢市元月調(diào)考第21題）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD是∠ABC的角平分線，以點(diǎn)D為圓心，DA為半徑的⊙D與AC相交于點(diǎn)E．

（1）求證：BC是⊙D的切線；

（2）若AB=5，BC=13，求CE的長．

圖1

二、試題總體評析

該題涉及的主要知識點(diǎn)有：角平分線的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、切線的判斷方法、切線長定理、勾股定理、比例的計(jì)算等；涉及的基本方法有：線段、角之間的關(guān)系的轉(zhuǎn)化，列表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算，考查學(xué)生對基礎(chǔ)幾何問題的邏輯推理、規(guī)范書寫及簡單計(jì)算的能力.本題的定位雖然是一道基礎(chǔ)幾何題，涉及的知識點(diǎn)也并不復(fù)雜，但是從最后的閱卷報(bào)告中發(fā)現(xiàn)，滿分為8分的試題，實(shí)際平均分才4.82分，得分率僅為60.25%，滿分率也只有44.57%.由此可見，學(xué)生對于此類幾何邏輯推理題的掌握并不理想，部分學(xué)生的書寫缺乏規(guī)范性，與此同時(shí)，也涌現(xiàn)出了不同的解題思路.

三、典型錯(cuò)誤及成因分析

該題要求學(xué)生正確、完整地寫出解答過程，考查學(xué)生的幾何推理能力、簡單計(jì)算能力及規(guī)范書寫能力.筆者將典型錯(cuò)誤歸類如下：

1.第（1）題的典型錯(cuò)誤及分析

錯(cuò)證1：如圖2，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，直接將∠ABC當(dāng)成60°，然后DF=BD，同時(shí)ADBD，得到DF=AD，然后得到結(jié)論BC是⊙D的切線.

圖2

【分析】這種錯(cuò)誤主要是沒有認(rèn)真審題，僅依靠自己的主觀感受，盲目判斷造成的.題目中并未給出∠ABC=60°這個(gè)條件，出現(xiàn)這種錯(cuò)誤的考生相當(dāng)于把題目中的條件特殊化了，這種做法是不符合嚴(yán)格推理要求的.

錯(cuò)證2：如圖2，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，使DF=AD，得到結(jié)論BC是⊙D的切線.

【分析】這種錯(cuò)誤屬于人為造條件，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，即線段DF的長度已經(jīng)確定了，如何使DF=AD？這種錯(cuò)誤就屬于隨意制造條件.

2.第（2）題的典型錯(cuò)誤及分析

錯(cuò)解1：利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算時(shí)，解錯(cuò)方程，得到錯(cuò)誤的結(jié)論.

錯(cuò)解2：利用相似處理時(shí)，三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)沒有寫對，導(dǎo)致對應(yīng)邊錯(cuò)位，得到錯(cuò)誤的結(jié)論.

【分析】第（2）題的錯(cuò)解1是由于學(xué)生的計(jì)算功底不扎實(shí)，或者還沒有熟練掌握初中階段應(yīng)該掌握的各種類型方程的解法，基本技能不過關(guān).第（2）題的錯(cuò)解2是由于答題時(shí)缺乏規(guī)范性，導(dǎo)致得不到正確解而失分.這兩種錯(cuò)誤都屬于比較低級的錯(cuò)誤，但是在實(shí)際的考試中學(xué)生經(jīng)常犯這樣的錯(cuò)誤，所以一定要抓好“雙基”的落實(shí)，嚴(yán)格要求學(xué)生解題時(shí)要規(guī)范.

四、多種思路及其分析

筆者重點(diǎn)對第（2）題的求解進(jìn)行分析.

思路1：如圖2，設(shè)圓的半徑為r，根據(jù)第（1）題的輔助線，在Rt△DFC中，CD=12-r，DF=r，CF=13-5=8，利用勾股定理建立方程82+r2=（12-r）2，解得r=，則CE=12-2r=

【分析】思路1是命題者在命制試題時(shí)的意圖，也是學(xué)生解題時(shí)的自然思路.設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理建立等量關(guān)系，解方程，這種解法是學(xué)生比較熟悉的方法，大部分學(xué)生都用到了該思路.

思路4：如圖3，過點(diǎn)C作圓的切線與BA的延長線交于點(diǎn)H，連接DH，過點(diǎn)D作DG⊥CH于點(diǎn)G，則點(diǎn)G為切點(diǎn).

圖3

【分析】思路2～4都利用了等積法，但是思路4較思路2和3稍顯復(fù)雜，需要作的線太多，而且作了一條不經(jīng)常用的輔助線，即作切線，暫且不論繁簡程度，若推理過程嚴(yán)謹(jǐn)，也不失為一種好的解法，體現(xiàn)了殊途同歸的解題思維本真.

圖4

圖5

圖6

圖7

【分析】思路5、6、8均需添加輔助線，構(gòu)造相似，利用相似得到比例線段，從而求出關(guān)鍵線段，達(dá)到解決問題的目的.思路7利用平行線分線段成比例定理計(jì)算圓的半徑，從而解決問題.其中涉及四點(diǎn)共圓、同弧所對的圓周角相等、切線長定理、證兩三角形相似的方法、平行線分線段成比例等基礎(chǔ)知識儲(chǔ)備.

圖8

【分析】思路9需要一定的知識儲(chǔ)備，即要熟悉三角形的角平分線定理，對比前幾種思路，不易想到.但仔細(xì)想來，仍然是作平行線構(gòu)造相似，得到比例線段的關(guān)系.聯(lián)系平時(shí)的教學(xué)，教師在教學(xué)中如能讓學(xué)生多掌握一種思路，就能拓寬學(xué)生的思維，從而使學(xué)生能夠高屋建瓴地理解問題、解決問題.

五、反思

一題多解的探尋可以拓寬學(xué)生的思維寬度，使學(xué)生思考問題的角度更多，發(fā)散學(xué)生的思維，同時(shí)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.本題作為一個(gè)比較基礎(chǔ)的題目，仍然涉及轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、方程、建模等思想，通過數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)能力才會(huì)有大幅度的提高.掌握數(shù)學(xué)思想，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓，促進(jìn)學(xué)生思維的可持續(xù)發(fā)展.W