運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)進(jìn)行化歸，解決幾何最值問(wèn)題

韓江

未知問(wèn)題可化歸為已知問(wèn)題，復(fù)雜問(wèn)題可化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題. 化歸是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法，只要掌握了化歸的方法，一切問(wèn)題都將迎刃而解. 本文以軸對(duì)稱(chēng)變換為例，與同學(xué)們談?wù)動(dòng)没瘹w思想解決幾何最值問(wèn)題.

一、 兩個(gè)數(shù)學(xué)基本事實(shí)

兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短. 如圖1，線段AB最短. 把這個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)稱(chēng)為“模型1”，簡(jiǎn)稱(chēng)“模1”.

在直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短. 如圖2，垂線段PH最短. 把這個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)稱(chēng)為“模型2”，簡(jiǎn)稱(chēng)“模2”.

很多幾何最值問(wèn)題，都可以通過(guò)化歸的方法與這兩個(gè)數(shù)學(xué)模型聯(lián)系起來(lái). 最經(jīng)典的莫過(guò)于“將軍飲馬問(wèn)題”.

唐朝詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題. 如圖3，詩(shī)中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊飲馬后再到B點(diǎn)宿營(yíng). 請(qǐng)問(wèn)怎樣走才能使總路程最短？

【解析】 如圖4，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B交直線l于點(diǎn)P，連接PA、PB，此時(shí)PA+PB最短. 數(shù)學(xué)原理：點(diǎn)A、B是定點(diǎn)，點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′仍是定點(diǎn)，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)得PA=PA′，從而PA+PB=PA′+PB，問(wèn)題就化歸為“模1”，所以圖4中A-P-B為最短路徑，如果點(diǎn)P取在其他位置，都將違背“兩點(diǎn)之間，線段最短”.

把“將軍飲馬問(wèn)題”稱(chēng)為“模型3”，簡(jiǎn)稱(chēng)“模3”. “模3”的特點(diǎn)是有兩個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，兩個(gè)定點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)所在直線的同一側(cè).

二、 具體應(yīng)用

1. 單動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題

例1 如圖5，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是1，以AB為一邊作等邊△ABE，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為_(kāi)_____.

本題是一個(gè)較復(fù)雜的問(wèn)題，它是“模1”與“模3”相結(jié)合的一個(gè)典型，熟知這兩種模型，通過(guò)化歸的方法，得到了一個(gè)解決此問(wèn)題的好方法.

三、 基本策略

運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)進(jìn)行化歸，解決幾何最值問(wèn)題，基本策略是先找到一個(gè)定點(diǎn)（如果沒(méi)有，可找一個(gè)合適的動(dòng)點(diǎn)），再作此點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，從而將某些線段通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)進(jìn)行位置變換，通常都可以將問(wèn)題化歸為文中的3種模型.

同學(xué)們，初中數(shù)學(xué)的幾何最值問(wèn)題還有很多類(lèi)型，比如還可以通過(guò)其他圖形的變換進(jìn)行化歸，或者還可以用函數(shù)的方法解決，限于篇幅，本文不作贅述. 化歸的方法和策略也有很多，希望通過(guò)本文能夠拋磚引玉，引導(dǎo)你們歸納有用的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)體悟，能夠?qū)⒛吧臄?shù)學(xué)問(wèn)題化歸為已知的數(shù)學(xué)問(wèn)題. 只要掌握了化歸的方法，你就找到了解決問(wèn)題的鑰匙.

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校）