基礎(chǔ)：在小專(zhuān)題復(fù)習(xí)中重建

段賽花

應(yīng)用題是江蘇高考必考項(xiàng)目，怎樣復(fù)習(xí)更加有效？高三二輪復(fù)習(xí)中如何以小專(zhuān)題的形式上好復(fù)習(xí)課？為此蘇州市園區(qū)學(xué)科聯(lián)盟做了應(yīng)用題專(zhuān)題的研究，在園區(qū)范圍內(nèi)展示應(yīng)用題復(fù)習(xí)課的模式.本文借《三角函數(shù)專(zhuān)題》這一小專(zhuān)題復(fù)習(xí)課，與大家一起探討應(yīng)用題復(fù)習(xí)課應(yīng)如何高效、簡(jiǎn)潔地在一節(jié)課中解決一類(lèi)問(wèn)題.

一、 高考要求

應(yīng)用題考查學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法來(lái)分析、解決問(wèn)題的能力.涉及數(shù)學(xué)模型有：數(shù)列模型、函數(shù)模型、幾何模型、不等式模型、三角模型、概率模型等.靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題一直是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn).

二、 教學(xué)設(shè)計(jì)

【教學(xué)目標(biāo)】

1. 掌握一類(lèi)三角函數(shù)應(yīng)用題的求法；

2. 強(qiáng)化“審清問(wèn)題”和“探求思路”的訓(xùn)練.

【教學(xué)重點(diǎn)】一類(lèi)三角函數(shù)應(yīng)用題的求法.

【教學(xué)難點(diǎn)】讓學(xué)生弄清各變?cè)g的關(guān)系.

【教學(xué)過(guò)程】具體教學(xué)操作：從給定變?cè)x擇變?cè)?；從給定模式→背景變換（變式教學(xué)）；從單一主元→多參變?cè)?

（一） 小題熱身

教師點(diǎn)評(píng)這樣設(shè)變?cè)⒑瘮?shù)模型，的確比較繁瑣，可見(jiàn)選擇變?cè)苡兄v究；當(dāng)然，也可以運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，讓他們課后完成（限理科學(xué)生）.有學(xué)生設(shè)AE+FC=x，和上面一樣也有無(wú)理根式，運(yùn)算不方便. 教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，我們考慮例2應(yīng)比例1更有挑戰(zhàn)性，讓學(xué)生根據(jù)條件自主選擇變?cè)?，并在解答遇阻時(shí)適當(dāng)點(diǎn)撥，指出“好變?cè)钡奶卣鳎豪靡阎R(shí)能快速方便解決問(wèn)題的就是好變?cè)?

例3如圖6，金雞湖O有南北走向的星湖街，為了解決新園二的交通問(wèn)題，園區(qū)管委會(huì)決定修建兩條公路：延伸從金雞湖O出發(fā)北偏西60°方向的陽(yáng)澄湖大道至B點(diǎn)；在金雞湖O正南方向星湖街上選取A點(diǎn)，在A，B間修建中環(huán).

（1） 如果在A點(diǎn)處看金雞湖O和B點(diǎn)視角的正弦值為35，求在B點(diǎn)處看金雞湖O和A點(diǎn)視角的余弦值；

（2） 如果△AOB區(qū)域作為保護(hù)區(qū)，已知保護(hù)區(qū)的面積為1543 km2，A點(diǎn)距金雞湖O的距離為3 km，求中環(huán)的長(zhǎng)度；

（3） 如果設(shè)計(jì)要求金雞湖O到中環(huán)AB段的距離為4 km，且中環(huán)AB最短，請(qǐng)你確定A，B兩點(diǎn)的位置.

學(xué)生解答（1） ∠AOB=23π，sin∠BAO=35，∠BAO是銳角，得cos∠BAO=45，cos∠OBA=cosπ3-∠BAO=4+3310；

（2） OA=3，S△OAB=12OB·OA·sin23π=1543得OB=5，cos23π=52+32-AB22·5·3得AB=7（km）；

（3） 12AB·4=12OA·OB·sin∠AOB得OA·OB=833AB.AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos120°=OA2+OB2+OA·OB≥3OA·OB=83，AB得AB≥83，當(dāng)且僅當(dāng)OA=OB=8時(shí)等號(hào)成立.

答：（1） 余弦值4+3310；（2）中環(huán)長(zhǎng)度7 km；（3） 當(dāng)AB最短時(shí)，A，B距金雞湖O分別為8 km.

教師點(diǎn)評(píng)背景復(fù)雜的應(yīng)用題給足學(xué)生閱讀時(shí)間，找出關(guān)鍵字詞，把問(wèn)題抽象、簡(jiǎn)化為O，A，B點(diǎn)，順利建模.本題難點(diǎn)是（3），利用等面積法和不等關(guān)系，學(xué)生很陌生，小題探究（3）的安排在這里起到承上啟下的作用.等面積法的應(yīng)用是熱點(diǎn)更是難點(diǎn)，結(jié)合書(shū)本習(xí)題改編的如下變題可以拓寬學(xué)生的思維，讓二輪復(fù)習(xí)的深度和廣度得到有效加強(qiáng).

變題（蘇教版必修5P24，7改編題）已知∠A=60°，P，Q分別是∠A的兩邊上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AP=x，AQ=y.

（1） 如圖7（1），若PQ=3，求△APQ面積的最大值，并求取得最大值時(shí)x，y的值；

（2） 如圖7（2），設(shè)∠MAP=α，∠MAQ=β（α，β為定值），M在線段PQ上，且AM=32，求x+y的最小值，并求取得最小值時(shí)x，y的值.

教師點(diǎn)評(píng)回歸書(shū)本，以本為本.學(xué)會(huì)受變題影響普遍使用上述解法.教師可以讓學(xué)生思考：改成填空題，一眼看穿法？善用面積公式靈活解決應(yīng)用問(wèn)題.既然是二輪復(fù)習(xí)，我們更應(yīng)強(qiáng)調(diào)快速解題.在一輪復(fù)習(xí)一題多解的基礎(chǔ)上最終回歸書(shū)本回到一題一解，既強(qiáng)調(diào)通解更珍惜優(yōu)解.

學(xué)生思路PQ為定值，角A在如圖9所示的圓周上運(yùn)動(dòng)，要使△APQ面積最大只要PQ邊上的高最大，則A運(yùn)動(dòng)到和PQ垂直的圓的直徑上時(shí)，利用S△APQ=12PQ·h可求解（其中h是A到PQ線段的距離）.

（三） 挑戰(zhàn)高考

（2013年江蘇卷三角應(yīng)用解答題（略）.

教師點(diǎn)評(píng)

再練2013年的江蘇高考題，讓學(xué)生感受高考，勇于挑戰(zhàn).

（四） 善于思考，尋找規(guī)律（請(qǐng)您留下寶貴經(jīng)驗(yàn)）

奇思異想，展示風(fēng)采（請(qǐng)您留下精彩題目）

高三二輪復(fù)習(xí)時(shí)間短，任務(wù)重.如何高效解決一類(lèi)問(wèn)題需要我們教師有更多的思考.學(xué)生的學(xué)習(xí)效果是檢驗(yàn)我們教學(xué)效果的最好工具.教師是主持人，引領(lǐng)、拓展、升華，借助這樣的小專(zhuān)題，讓學(xué)生取得更高成績(jī).

（江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)第二高級(jí)中學(xué)）endprint

應(yīng)用題是江蘇高考必考項(xiàng)目，怎樣復(fù)習(xí)更加有效？高三二輪復(fù)習(xí)中如何以小專(zhuān)題的形式上好復(fù)習(xí)課？為此蘇州市園區(qū)學(xué)科聯(lián)盟做了應(yīng)用題專(zhuān)題的研究，在園區(qū)范圍內(nèi)展示應(yīng)用題復(fù)習(xí)課的模式.本文借《三角函數(shù)專(zhuān)題》這一小專(zhuān)題復(fù)習(xí)課，與大家一起探討應(yīng)用題復(fù)習(xí)課應(yīng)如何高效、簡(jiǎn)潔地在一節(jié)課中解決一類(lèi)問(wèn)題.

一、 高考要求

應(yīng)用題考查學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法來(lái)分析、解決問(wèn)題的能力.涉及數(shù)學(xué)模型有：數(shù)列模型、函數(shù)模型、幾何模型、不等式模型、三角模型、概率模型等.靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題一直是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn).

二、 教學(xué)設(shè)計(jì)

【教學(xué)目標(biāo)】

1. 掌握一類(lèi)三角函數(shù)應(yīng)用題的求法；

2. 強(qiáng)化“審清問(wèn)題”和“探求思路”的訓(xùn)練.

【教學(xué)重點(diǎn)】一類(lèi)三角函數(shù)應(yīng)用題的求法.

【教學(xué)難點(diǎn)】讓學(xué)生弄清各變?cè)g的關(guān)系.

【教學(xué)過(guò)程】具體教學(xué)操作：從給定變?cè)x擇變?cè)?；從給定模式→背景變換（變式教學(xué)）；從單一主元→多參變?cè)?

（一） 小題熱身

教師點(diǎn)評(píng)這樣設(shè)變?cè)⒑瘮?shù)模型，的確比較繁瑣，可見(jiàn)選擇變?cè)苡兄v究；當(dāng)然，也可以運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，讓他們課后完成（限理科學(xué)生）.有學(xué)生設(shè)AE+FC=x，和上面一樣也有無(wú)理根式，運(yùn)算不方便. 教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，我們考慮例2應(yīng)比例1更有挑戰(zhàn)性，讓學(xué)生根據(jù)條件自主選擇變?cè)⒃诮獯鹩鲎钑r(shí)適當(dāng)點(diǎn)撥，指出“好變?cè)钡奶卣鳎豪靡阎R(shí)能快速方便解決問(wèn)題的就是好變?cè)?

例3如圖6，金雞湖O有南北走向的星湖街，為了解決新園二的交通問(wèn)題，園區(qū)管委會(huì)決定修建兩條公路：延伸從金雞湖O出發(fā)北偏西60°方向的陽(yáng)澄湖大道至B點(diǎn)；在金雞湖O正南方向星湖街上選取A點(diǎn)，在A，B間修建中環(huán).

（1） 如果在A點(diǎn)處看金雞湖O和B點(diǎn)視角的正弦值為35，求在B點(diǎn)處看金雞湖O和A點(diǎn)視角的余弦值；

（2） 如果△AOB區(qū)域作為保護(hù)區(qū)，已知保護(hù)區(qū)的面積為1543 km2，A點(diǎn)距金雞湖O的距離為3 km，求中環(huán)的長(zhǎng)度；

（3） 如果設(shè)計(jì)要求金雞湖O到中環(huán)AB段的距離為4 km，且中環(huán)AB最短，請(qǐng)你確定A，B兩點(diǎn)的位置.

學(xué)生解答（1） ∠AOB=23π，sin∠BAO=35，∠BAO是銳角，得cos∠BAO=45，cos∠OBA=cosπ3-∠BAO=4+3310；

（2） OA=3，S△OAB=12OB·OA·sin23π=1543得OB=5，cos23π=52+32-AB22·5·3得AB=7（km）；

（3） 12AB·4=12OA·OB·sin∠AOB得OA·OB=833AB.AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos120°=OA2+OB2+OA·OB≥3OA·OB=83，AB得AB≥83，當(dāng)且僅當(dāng)OA=OB=8時(shí)等號(hào)成立.

答：（1） 余弦值4+3310；（2）中環(huán)長(zhǎng)度7 km；（3） 當(dāng)AB最短時(shí)，A，B距金雞湖O分別為8 km.

教師點(diǎn)評(píng)背景復(fù)雜的應(yīng)用題給足學(xué)生閱讀時(shí)間，找出關(guān)鍵字詞，把問(wèn)題抽象、簡(jiǎn)化為O，A，B點(diǎn)，順利建模.本題難點(diǎn)是（3），利用等面積法和不等關(guān)系，學(xué)生很陌生，小題探究（3）的安排在這里起到承上啟下的作用.等面積法的應(yīng)用是熱點(diǎn)更是難點(diǎn)，結(jié)合書(shū)本習(xí)題改編的如下變題可以拓寬學(xué)生的思維，讓二輪復(fù)習(xí)的深度和廣度得到有效加強(qiáng).

變題（蘇教版必修5P24，7改編題）已知∠A=60°，P，Q分別是∠A的兩邊上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AP=x，AQ=y.

（1） 如圖7（1），若PQ=3，求△APQ面積的最大值，并求取得最大值時(shí)x，y的值；

（2） 如圖7（2），設(shè)∠MAP=α，∠MAQ=β（α，β為定值），M在線段PQ上，且AM=32，求x+y的最小值，并求取得最小值時(shí)x，y的值.

教師點(diǎn)評(píng)回歸書(shū)本，以本為本.學(xué)會(huì)受變題影響普遍使用上述解法.教師可以讓學(xué)生思考：改成填空題，一眼看穿法？善用面積公式靈活解決應(yīng)用問(wèn)題.既然是二輪復(fù)習(xí)，我們更應(yīng)強(qiáng)調(diào)快速解題.在一輪復(fù)習(xí)一題多解的基礎(chǔ)上最終回歸書(shū)本回到一題一解，既強(qiáng)調(diào)通解更珍惜優(yōu)解.

學(xué)生思路PQ為定值，角A在如圖9所示的圓周上運(yùn)動(dòng)，要使△APQ面積最大只要PQ邊上的高最大，則A運(yùn)動(dòng)到和PQ垂直的圓的直徑上時(shí)，利用S△APQ=12PQ·h可求解（其中h是A到PQ線段的距離）.

（三） 挑戰(zhàn)高考

（2013年江蘇卷三角應(yīng)用解答題（略）.

教師點(diǎn)評(píng)

再練2013年的江蘇高考題，讓學(xué)生感受高考，勇于挑戰(zhàn).

（四） 善于思考，尋找規(guī)律（請(qǐng)您留下寶貴經(jīng)驗(yàn)）

奇思異想，展示風(fēng)采（請(qǐng)您留下精彩題目）

高三二輪復(fù)習(xí)時(shí)間短，任務(wù)重.如何高效解決一類(lèi)問(wèn)題需要我們教師有更多的思考.學(xué)生的學(xué)習(xí)效果是檢驗(yàn)我們教學(xué)效果的最好工具.教師是主持人，引領(lǐng)、拓展、升華，借助這樣的小專(zhuān)題，讓學(xué)生取得更高成績(jī).

（江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)第二高級(jí)中學(xué)）endprint

應(yīng)用題是江蘇高考必考項(xiàng)目，怎樣復(fù)習(xí)更加有效？高三二輪復(fù)習(xí)中如何以小專(zhuān)題的形式上好復(fù)習(xí)課？為此蘇州市園區(qū)學(xué)科聯(lián)盟做了應(yīng)用題專(zhuān)題的研究，在園區(qū)范圍內(nèi)展示應(yīng)用題復(fù)習(xí)課的模式.本文借《三角函數(shù)專(zhuān)題》這一小專(zhuān)題復(fù)習(xí)課，與大家一起探討應(yīng)用題復(fù)習(xí)課應(yīng)如何高效、簡(jiǎn)潔地在一節(jié)課中解決一類(lèi)問(wèn)題.

一、 高考要求

應(yīng)用題考查學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法來(lái)分析、解決問(wèn)題的能力.涉及數(shù)學(xué)模型有：數(shù)列模型、函數(shù)模型、幾何模型、不等式模型、三角模型、概率模型等.靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題一直是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn).

二、 教學(xué)設(shè)計(jì)

【教學(xué)目標(biāo)】

1. 掌握一類(lèi)三角函數(shù)應(yīng)用題的求法；

2. 強(qiáng)化“審清問(wèn)題”和“探求思路”的訓(xùn)練.

【教學(xué)重點(diǎn)】一類(lèi)三角函數(shù)應(yīng)用題的求法.

【教學(xué)難點(diǎn)】讓學(xué)生弄清各變?cè)g的關(guān)系.

【教學(xué)過(guò)程】具體教學(xué)操作：從給定變?cè)x擇變?cè)?；從給定模式→背景變換（變式教學(xué)）；從單一主元→多參變?cè)?

（一） 小題熱身

教師點(diǎn)評(píng)這樣設(shè)變?cè)⒑瘮?shù)模型，的確比較繁瑣，可見(jiàn)選擇變?cè)苡兄v究；當(dāng)然，也可以運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，讓他們課后完成（限理科學(xué)生）.有學(xué)生設(shè)AE+FC=x，和上面一樣也有無(wú)理根式，運(yùn)算不方便. 教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，我們考慮例2應(yīng)比例1更有挑戰(zhàn)性，讓學(xué)生根據(jù)條件自主選擇變?cè)?，并在解答遇阻時(shí)適當(dāng)點(diǎn)撥，指出“好變?cè)钡奶卣鳎豪靡阎R(shí)能快速方便解決問(wèn)題的就是好變?cè)?

例3如圖6，金雞湖O有南北走向的星湖街，為了解決新園二的交通問(wèn)題，園區(qū)管委會(huì)決定修建兩條公路：延伸從金雞湖O出發(fā)北偏西60°方向的陽(yáng)澄湖大道至B點(diǎn)；在金雞湖O正南方向星湖街上選取A點(diǎn)，在A，B間修建中環(huán).

（1） 如果在A點(diǎn)處看金雞湖O和B點(diǎn)視角的正弦值為35，求在B點(diǎn)處看金雞湖O和A點(diǎn)視角的余弦值；

（2） 如果△AOB區(qū)域作為保護(hù)區(qū)，已知保護(hù)區(qū)的面積為1543 km2，A點(diǎn)距金雞湖O的距離為3 km，求中環(huán)的長(zhǎng)度；

（3） 如果設(shè)計(jì)要求金雞湖O到中環(huán)AB段的距離為4 km，且中環(huán)AB最短，請(qǐng)你確定A，B兩點(diǎn)的位置.

學(xué)生解答（1） ∠AOB=23π，sin∠BAO=35，∠BAO是銳角，得cos∠BAO=45，cos∠OBA=cosπ3-∠BAO=4+3310；

（2） OA=3，S△OAB=12OB·OA·sin23π=1543得OB=5，cos23π=52+32-AB22·5·3得AB=7（km）；

（3） 12AB·4=12OA·OB·sin∠AOB得OA·OB=833AB.AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos120°=OA2+OB2+OA·OB≥3OA·OB=83，AB得AB≥83，當(dāng)且僅當(dāng)OA=OB=8時(shí)等號(hào)成立.

答：（1） 余弦值4+3310；（2）中環(huán)長(zhǎng)度7 km；（3） 當(dāng)AB最短時(shí)，A，B距金雞湖O分別為8 km.

教師點(diǎn)評(píng)背景復(fù)雜的應(yīng)用題給足學(xué)生閱讀時(shí)間，找出關(guān)鍵字詞，把問(wèn)題抽象、簡(jiǎn)化為O，A，B點(diǎn)，順利建模.本題難點(diǎn)是（3），利用等面積法和不等關(guān)系，學(xué)生很陌生，小題探究（3）的安排在這里起到承上啟下的作用.等面積法的應(yīng)用是熱點(diǎn)更是難點(diǎn)，結(jié)合書(shū)本習(xí)題改編的如下變題可以拓寬學(xué)生的思維，讓二輪復(fù)習(xí)的深度和廣度得到有效加強(qiáng).

變題（蘇教版必修5P24，7改編題）已知∠A=60°，P，Q分別是∠A的兩邊上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AP=x，AQ=y.

（1） 如圖7（1），若PQ=3，求△APQ面積的最大值，并求取得最大值時(shí)x，y的值；

（2） 如圖7（2），設(shè)∠MAP=α，∠MAQ=β（α，β為定值），M在線段PQ上，且AM=32，求x+y的最小值，并求取得最小值時(shí)x，y的值.

教師點(diǎn)評(píng)回歸書(shū)本，以本為本.學(xué)會(huì)受變題影響普遍使用上述解法.教師可以讓學(xué)生思考：改成填空題，一眼看穿法？善用面積公式靈活解決應(yīng)用問(wèn)題.既然是二輪復(fù)習(xí)，我們更應(yīng)強(qiáng)調(diào)快速解題.在一輪復(fù)習(xí)一題多解的基礎(chǔ)上最終回歸書(shū)本回到一題一解，既強(qiáng)調(diào)通解更珍惜優(yōu)解.

學(xué)生思路PQ為定值，角A在如圖9所示的圓周上運(yùn)動(dòng)，要使△APQ面積最大只要PQ邊上的高最大，則A運(yùn)動(dòng)到和PQ垂直的圓的直徑上時(shí)，利用S△APQ=12PQ·h可求解（其中h是A到PQ線段的距離）.

（三） 挑戰(zhàn)高考

（2013年江蘇卷三角應(yīng)用解答題（略）.

教師點(diǎn)評(píng)

再練2013年的江蘇高考題，讓學(xué)生感受高考，勇于挑戰(zhàn).

（四） 善于思考，尋找規(guī)律（請(qǐng)您留下寶貴經(jīng)驗(yàn)）

奇思異想，展示風(fēng)采（請(qǐng)您留下精彩題目）

高三二輪復(fù)習(xí)時(shí)間短，任務(wù)重.如何高效解決一類(lèi)問(wèn)題需要我們教師有更多的思考.學(xué)生的學(xué)習(xí)效果是檢驗(yàn)我們教學(xué)效果的最好工具.教師是主持人，引領(lǐng)、拓展、升華，借助這樣的小專(zhuān)題，讓學(xué)生取得更高成績(jī).

（江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)第二高級(jí)中學(xué)）endprint