數(shù)學(xué)語(yǔ)言的“悄悄話”

陳敏　吳寶瑩

摘要數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解是數(shù)學(xué)語(yǔ)言交流和應(yīng)用的基礎(chǔ)，針對(duì)符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言三類(lèi)不同的數(shù)學(xué)語(yǔ)言有不同的理解方法與竅門(mén)，加強(qiáng)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換，不但有助于理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言，

也能有效提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與應(yīng)用能力.

關(guān)鍵詞符號(hào)語(yǔ)言文字語(yǔ)言圖表語(yǔ)言理解

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是儲(chǔ)存、傳承和加工數(shù)學(xué)思想信息的一種工具，它是以符號(hào)表達(dá)為主的高度抽象的專(zhuān)業(yè)語(yǔ)言.數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想最終要通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示出來(lái)并獲得理解、掌握、交流和應(yīng)用.顯然數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解是基礎(chǔ)，是前提.那么如何理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言呢？數(shù)學(xué)語(yǔ)言有“悄悄話”要

說(shuō)一說(shuō).

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是一種非日常和非自然的語(yǔ)言，其中一部分是被規(guī)定或定義的，用來(lái)表示理想化的數(shù)學(xué)對(duì)象，數(shù)學(xué)語(yǔ)言一般分為符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言三類(lèi).

一、 “悄悄話”之把握根本要義，適度通俗化理解文字語(yǔ)言

文字語(yǔ)言是數(shù)學(xué)化的自然語(yǔ)言，或者稱為自然語(yǔ)言中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言.自然語(yǔ)言常具有模糊性，而數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，容不得含?所以，數(shù)學(xué)中的文字語(yǔ)言不是自然語(yǔ)言的簡(jiǎn)單移植或組合，而是經(jīng)過(guò)一定的加工、改造、限定、精確化而形成的，并且這些語(yǔ)言具有數(shù)學(xué)學(xué)科特指的確定的語(yǔ)義，常以數(shù)學(xué)概念、術(shù)語(yǔ)的形式出現(xiàn).數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言的理解最重要的是把握其根本要義.

如對(duì)簡(jiǎn)易邏輯中“充分條件與必要條件”這一概念，我們感到比較抽象，尤其是必要條件的理解有困難.筆者在教學(xué)時(shí)設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)flash

笑話情境：一位數(shù)學(xué)家從一間辦公室前走過(guò)，聽(tīng)到室內(nèi)有兩人在大聲吵鬧.老板p對(duì)小秘q說(shuō)：“有我p在，就有你q吃香的喝辣的！”小秘q很不服氣，氣急敗壞地說(shuō)：“你的底細(xì)我可全清楚，我完蛋了，你也完蛋了！”兩個(gè)人都?xì)饧睌?，互不相讓?zhuān)@時(shí)數(shù)學(xué)家走上前，不緊不慢地說(shuō)：“你們所說(shuō)的正是數(shù)學(xué)邏輯學(xué)中的充分條件與必要條件問(wèn)題，

老板在是小秘吃香的喝辣的充分條件，而小秘吃香的喝辣的是老板在的必要條件.”這個(gè)小笑話在諷刺丑惡現(xiàn)象的同時(shí)，揭示了“充分條件與必要條件”概念的根本要義，若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件.這是因?yàn)橹灰猵成立，q就成立，p對(duì)q來(lái)說(shuō)就足夠了，就充分了；但是若q不成立，p就不成立，所以q對(duì)p來(lái)說(shuō)是必要的.

二、 “悄悄話”之追根溯源、類(lèi)比聯(lián)想、調(diào)整語(yǔ)序、直觀形象化理解符號(hào)語(yǔ)言

符號(hào)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)中通用的、特有的簡(jiǎn)練語(yǔ)言，是在人類(lèi)數(shù)學(xué)思維長(zhǎng)期發(fā)展過(guò)程中形成的一種語(yǔ)言表達(dá)形式.符號(hào)語(yǔ)言的理解可以用追根溯源、類(lèi)比聯(lián)想、調(diào)整語(yǔ)序、直觀形象化等方法.

首先，追根溯源，搞清符號(hào)語(yǔ)言是如何產(chǎn)生的.數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言又分為三種：象形符號(hào)語(yǔ)言、縮寫(xiě)符號(hào)語(yǔ)言以及約定符號(hào)語(yǔ)言.如幾何學(xué)中的符號(hào)△、⊙、∥、⊥、∠等都是原形的壓縮改造，屬于象形符號(hào).縮寫(xiě)符號(hào)是由數(shù)學(xué)概念的西文詞匯縮寫(xiě)或加以改造而成的符號(hào)，比如自然數(shù)

再如橢圓的離心率與橢圓形狀的關(guān)系：離心率e越小橢圓越圓，e越大橢圓越扁.對(duì)此死記硬背，容易混淆搞錯(cuò)，把這一規(guī)律形象化就簡(jiǎn)單多了.因?yàn)闄E圓離心率e∈（0，1），如圖2，e越小即越靠近0，因?yàn)?比較圓滿，所以橢圓越圓，e越大即越靠近1，因?yàn)?比較扁平，所以橢圓越扁.（可以把0和1寫(xiě)得夸張一些） 這樣橢圓的離心率與橢圓的形狀關(guān)系就形象地牢牢地“畫(huà)”在了學(xué)生的腦子里，永遠(yuǎn)不會(huì)忘記！

三、 “悄悄話”之撥開(kāi)表面迷霧，洞察問(wèn)題本質(zhì)理解圖表語(yǔ)言

圖表語(yǔ)言是指包含一定數(shù)學(xué)信息的各種圖形、圖象或表格，可細(xì)分為圖形語(yǔ)言（幾何圖形、統(tǒng)計(jì)分析圖、集合維恩圖等）、圖象語(yǔ)言（函數(shù)圖象或統(tǒng)計(jì)線圖等）和表格語(yǔ)言（統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表、分析表、框圖等），它們是數(shù)學(xué)形象思維的載體和中介，也是數(shù)學(xué)思維的重要材料和結(jié)果，

同時(shí)還是進(jìn)行抽象思維的一個(gè)重要工具.圖表語(yǔ)言是數(shù)學(xué)的一種直觀性語(yǔ)言，其特點(diǎn)是直觀形象、易于理解，但是直觀形象有時(shí)會(huì)表現(xiàn)為一種假象，理解圖表語(yǔ)言特別要撥開(kāi)表面迷霧，透過(guò)現(xiàn)象洞察問(wèn)題的本質(zhì).

如圖3，一電工沿著豎立的梯子LN往上爬，當(dāng)他爬到中點(diǎn)M處時(shí)，由于地面太滑，梯子沿墻面與地面滑下，則M點(diǎn)的軌跡是（）

由于梯子滑行的直覺(jué)表象，我們常常會(huì)選A.而實(shí)際上，根據(jù)直角三角形“斜邊中點(diǎn)到直角頂點(diǎn)距離等于斜邊長(zhǎng)的一半”，斜邊長(zhǎng)即梯子LN的長(zhǎng)度是定值，所以M點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離始終是梯子LN的長(zhǎng)度的一半，其軌跡是應(yīng)當(dāng)是以原點(diǎn)O為圓心、LN2為半徑的圓弧，應(yīng)選C.

四、 對(duì)“數(shù)學(xué)語(yǔ)言的悄悄話”的“悄悄話”

以上是如何理解符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言的“悄悄話”，事實(shí)上，這三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言各有其優(yōu)勢(shì)與不足：文字語(yǔ)言通俗、易懂，但描述起來(lái)是線性的，不易表露知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)；符號(hào)語(yǔ)言抽象，但簡(jiǎn)潔、精確；圖表語(yǔ)言直觀形象，但不嚴(yán)謹(jǐn).所以，一種數(shù)學(xué)思想內(nèi)容的表達(dá)常常是數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言的有機(jī)融合.對(duì)“數(shù)學(xué)語(yǔ)言的悄悄話”筆者想說(shuō)的“悄悄話”就是：“要靈活轉(zhuǎn)換三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言，做到揚(yáng)長(zhǎng)避短，優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)”.這一點(diǎn)在立體幾何中得到充分的體現(xiàn)，如直線與平面平行的性質(zhì)定理的文字語(yǔ)言為：

加強(qiáng)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換不但有助于理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言，也是提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與應(yīng)用能力的有效途徑.如符號(hào)語(yǔ)言“實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2=1，求x+y-2的取值范圍”，可根據(jù)其幾何意義，理解為單位圓上的任意點(diǎn)到直線x+y-2=0距離的2倍，也可以令t=x+y-2，其中t+2是平行直線系y=-x+t+2在y軸上的截距，利用線性規(guī)劃解決.這樣通過(guò)符號(hào)語(yǔ)言與圖表語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換溝通了代數(shù)與解析幾何的聯(lián)系，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易解.

（江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)）

摘要數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解是數(shù)學(xué)語(yǔ)言交流和應(yīng)用的基礎(chǔ)，針對(duì)符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言三類(lèi)不同的數(shù)學(xué)語(yǔ)言有不同的理解方法與竅門(mén)，加強(qiáng)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換，不但有助于理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言，

也能有效提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與應(yīng)用能力.

關(guān)鍵詞符號(hào)語(yǔ)言文字語(yǔ)言圖表語(yǔ)言理解

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是儲(chǔ)存、傳承和加工數(shù)學(xué)思想信息的一種工具，它是以符號(hào)表達(dá)為主的高度抽象的專(zhuān)業(yè)語(yǔ)言.數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想最終要通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示出來(lái)并獲得理解、掌握、交流和應(yīng)用.顯然數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解是基礎(chǔ)，是前提.那么如何理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言呢？數(shù)學(xué)語(yǔ)言有“悄悄話”要

說(shuō)一說(shuō).

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是一種非日常和非自然的語(yǔ)言，其中一部分是被規(guī)定或定義的，用來(lái)表示理想化的數(shù)學(xué)對(duì)象，數(shù)學(xué)語(yǔ)言一般分為符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言三類(lèi).

一、 “悄悄話”之把握根本要義，適度通俗化理解文字語(yǔ)言

文字語(yǔ)言是數(shù)學(xué)化的自然語(yǔ)言，或者稱為自然語(yǔ)言中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言.自然語(yǔ)言常具有模糊性，而數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，容不得含?所以，數(shù)學(xué)中的文字語(yǔ)言不是自然語(yǔ)言的簡(jiǎn)單移植或組合，而是經(jīng)過(guò)一定的加工、改造、限定、精確化而形成的，并且這些語(yǔ)言具有數(shù)學(xué)學(xué)科特指的確定的語(yǔ)義，常以數(shù)學(xué)概念、術(shù)語(yǔ)的形式出現(xiàn).數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言的理解最重要的是把握其根本要義.

如對(duì)簡(jiǎn)易邏輯中“充分條件與必要條件”這一概念，我們感到比較抽象，尤其是必要條件的理解有困難.筆者在教學(xué)時(shí)設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)flash

笑話情境：一位數(shù)學(xué)家從一間辦公室前走過(guò)，聽(tīng)到室內(nèi)有兩人在大聲吵鬧.老板p對(duì)小秘q說(shuō)：“有我p在，就有你q吃香的喝辣的！”小秘q很不服氣，氣急敗壞地說(shuō)：“你的底細(xì)我可全清楚，我完蛋了，你也完蛋了！”兩個(gè)人都?xì)饧睌模ゲ幌嘧專(zhuān)@時(shí)數(shù)學(xué)家走上前，不緊不慢地說(shuō)：“你們所說(shuō)的正是數(shù)學(xué)邏輯學(xué)中的充分條件與必要條件問(wèn)題，

老板在是小秘吃香的喝辣的充分條件，而小秘吃香的喝辣的是老板在的必要條件.”這個(gè)小笑話在諷刺丑惡現(xiàn)象的同時(shí)，揭示了“充分條件與必要條件”概念的根本要義，若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件.這是因?yàn)橹灰猵成立，q就成立，p對(duì)q來(lái)說(shuō)就足夠了，就充分了；但是若q不成立，p就不成立，所以q對(duì)p來(lái)說(shuō)是必要的.

二、 “悄悄話”之追根溯源、類(lèi)比聯(lián)想、調(diào)整語(yǔ)序、直觀形象化理解符號(hào)語(yǔ)言

符號(hào)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)中通用的、特有的簡(jiǎn)練語(yǔ)言，是在人類(lèi)數(shù)學(xué)思維長(zhǎng)期發(fā)展過(guò)程中形成的一種語(yǔ)言表達(dá)形式.符號(hào)語(yǔ)言的理解可以用追根溯源、類(lèi)比聯(lián)想、調(diào)整語(yǔ)序、直觀形象化等方法.

首先，追根溯源，搞清符號(hào)語(yǔ)言是如何產(chǎn)生的.數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言又分為三種：象形符號(hào)語(yǔ)言、縮寫(xiě)符號(hào)語(yǔ)言以及約定符號(hào)語(yǔ)言.如幾何學(xué)中的符號(hào)△、⊙、∥、⊥、∠等都是原形的壓縮改造，屬于象形符號(hào).縮寫(xiě)符號(hào)是由數(shù)學(xué)概念的西文詞匯縮寫(xiě)或加以改造而成的符號(hào)，比如自然數(shù)

再如橢圓的離心率與橢圓形狀的關(guān)系：離心率e越小橢圓越圓，e越大橢圓越扁.對(duì)此死記硬背，容易混淆搞錯(cuò)，把這一規(guī)律形象化就簡(jiǎn)單多了.因?yàn)闄E圓離心率e∈（0，1），如圖2，e越小即越靠近0，因?yàn)?比較圓滿，所以橢圓越圓，e越大即越靠近1，因?yàn)?比較扁平，所以橢圓越扁.（可以把0和1寫(xiě)得夸張一些） 這樣橢圓的離心率與橢圓的形狀關(guān)系就形象地牢牢地“畫(huà)”在了學(xué)生的腦子里，永遠(yuǎn)不會(huì)忘記！

三、 “悄悄話”之撥開(kāi)表面迷霧，洞察問(wèn)題本質(zhì)理解圖表語(yǔ)言

圖表語(yǔ)言是指包含一定數(shù)學(xué)信息的各種圖形、圖象或表格，可細(xì)分為圖形語(yǔ)言（幾何圖形、統(tǒng)計(jì)分析圖、集合維恩圖等）、圖象語(yǔ)言（函數(shù)圖象或統(tǒng)計(jì)線圖等）和表格語(yǔ)言（統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表、分析表、框圖等），它們是數(shù)學(xué)形象思維的載體和中介，也是數(shù)學(xué)思維的重要材料和結(jié)果，

同時(shí)還是進(jìn)行抽象思維的一個(gè)重要工具.圖表語(yǔ)言是數(shù)學(xué)的一種直觀性語(yǔ)言，其特點(diǎn)是直觀形象、易于理解，但是直觀形象有時(shí)會(huì)表現(xiàn)為一種假象，理解圖表語(yǔ)言特別要撥開(kāi)表面迷霧，透過(guò)現(xiàn)象洞察問(wèn)題的本質(zhì).

如圖3，一電工沿著豎立的梯子LN往上爬，當(dāng)他爬到中點(diǎn)M處時(shí)，由于地面太滑，梯子沿墻面與地面滑下，則M點(diǎn)的軌跡是（）

由于梯子滑行的直覺(jué)表象，我們常常會(huì)選A.而實(shí)際上，根據(jù)直角三角形“斜邊中點(diǎn)到直角頂點(diǎn)距離等于斜邊長(zhǎng)的一半”，斜邊長(zhǎng)即梯子LN的長(zhǎng)度是定值，所以M點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離始終是梯子LN的長(zhǎng)度的一半，其軌跡是應(yīng)當(dāng)是以原點(diǎn)O為圓心、LN2為半徑的圓弧，應(yīng)選C.

四、 對(duì)“數(shù)學(xué)語(yǔ)言的悄悄話”的“悄悄話”

以上是如何理解符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言的“悄悄話”，事實(shí)上，這三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言各有其優(yōu)勢(shì)與不足：文字語(yǔ)言通俗、易懂，但描述起來(lái)是線性的，不易表露知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)；符號(hào)語(yǔ)言抽象，但簡(jiǎn)潔、精確；圖表語(yǔ)言直觀形象，但不嚴(yán)謹(jǐn).所以，一種數(shù)學(xué)思想內(nèi)容的表達(dá)常常是數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言的有機(jī)融合.對(duì)“數(shù)學(xué)語(yǔ)言的悄悄話”筆者想說(shuō)的“悄悄話”就是：“要靈活轉(zhuǎn)換三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言，做到揚(yáng)長(zhǎng)避短，優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)”.這一點(diǎn)在立體幾何中得到充分的體現(xiàn)，如直線與平面平行的性質(zhì)定理的文字語(yǔ)言為：

加強(qiáng)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換不但有助于理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言，也是提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與應(yīng)用能力的有效途徑.如符號(hào)語(yǔ)言“實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2=1，求x+y-2的取值范圍”，可根據(jù)其幾何意義，理解為單位圓上的任意點(diǎn)到直線x+y-2=0距離的2倍，也可以令t=x+y-2，其中t+2是平行直線系y=-x+t+2在y軸上的截距，利用線性規(guī)劃解決.這樣通過(guò)符號(hào)語(yǔ)言與圖表語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換溝通了代數(shù)與解析幾何的聯(lián)系，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易解.

（江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)）

摘要數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解是數(shù)學(xué)語(yǔ)言交流和應(yīng)用的基礎(chǔ)，針對(duì)符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言三類(lèi)不同的數(shù)學(xué)語(yǔ)言有不同的理解方法與竅門(mén)，加強(qiáng)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換，不但有助于理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言，

也能有效提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與應(yīng)用能力.

關(guān)鍵詞符號(hào)語(yǔ)言文字語(yǔ)言圖表語(yǔ)言理解

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是儲(chǔ)存、傳承和加工數(shù)學(xué)思想信息的一種工具，它是以符號(hào)表達(dá)為主的高度抽象的專(zhuān)業(yè)語(yǔ)言.數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想最終要通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示出來(lái)并獲得理解、掌握、交流和應(yīng)用.顯然數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解是基礎(chǔ)，是前提.那么如何理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言呢？數(shù)學(xué)語(yǔ)言有“悄悄話”要

說(shuō)一說(shuō).

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是一種非日常和非自然的語(yǔ)言，其中一部分是被規(guī)定或定義的，用來(lái)表示理想化的數(shù)學(xué)對(duì)象，數(shù)學(xué)語(yǔ)言一般分為符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言三類(lèi).

一、 “悄悄話”之把握根本要義，適度通俗化理解文字語(yǔ)言

文字語(yǔ)言是數(shù)學(xué)化的自然語(yǔ)言，或者稱為自然語(yǔ)言中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言.自然語(yǔ)言常具有模糊性，而數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，容不得含?所以，數(shù)學(xué)中的文字語(yǔ)言不是自然語(yǔ)言的簡(jiǎn)單移植或組合，而是經(jīng)過(guò)一定的加工、改造、限定、精確化而形成的，并且這些語(yǔ)言具有數(shù)學(xué)學(xué)科特指的確定的語(yǔ)義，常以數(shù)學(xué)概念、術(shù)語(yǔ)的形式出現(xiàn).數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言的理解最重要的是把握其根本要義.

如對(duì)簡(jiǎn)易邏輯中“充分條件與必要條件”這一概念，我們感到比較抽象，尤其是必要條件的理解有困難.筆者在教學(xué)時(shí)設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)flash

笑話情境：一位數(shù)學(xué)家從一間辦公室前走過(guò)，聽(tīng)到室內(nèi)有兩人在大聲吵鬧.老板p對(duì)小秘q說(shuō)：“有我p在，就有你q吃香的喝辣的！”小秘q很不服氣，氣急敗壞地說(shuō)：“你的底細(xì)我可全清楚，我完蛋了，你也完蛋了！”兩個(gè)人都?xì)饧睌?，互不相讓?zhuān)@時(shí)數(shù)學(xué)家走上前，不緊不慢地說(shuō)：“你們所說(shuō)的正是數(shù)學(xué)邏輯學(xué)中的充分條件與必要條件問(wèn)題，

老板在是小秘吃香的喝辣的充分條件，而小秘吃香的喝辣的是老板在的必要條件.”這個(gè)小笑話在諷刺丑惡現(xiàn)象的同時(shí)，揭示了“充分條件與必要條件”概念的根本要義，若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件.這是因?yàn)橹灰猵成立，q就成立，p對(duì)q來(lái)說(shuō)就足夠了，就充分了；但是若q不成立，p就不成立，所以q對(duì)p來(lái)說(shuō)是必要的.

二、 “悄悄話”之追根溯源、類(lèi)比聯(lián)想、調(diào)整語(yǔ)序、直觀形象化理解符號(hào)語(yǔ)言

符號(hào)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)中通用的、特有的簡(jiǎn)練語(yǔ)言，是在人類(lèi)數(shù)學(xué)思維長(zhǎng)期發(fā)展過(guò)程中形成的一種語(yǔ)言表達(dá)形式.符號(hào)語(yǔ)言的理解可以用追根溯源、類(lèi)比聯(lián)想、調(diào)整語(yǔ)序、直觀形象化等方法.

首先，追根溯源，搞清符號(hào)語(yǔ)言是如何產(chǎn)生的.數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言又分為三種：象形符號(hào)語(yǔ)言、縮寫(xiě)符號(hào)語(yǔ)言以及約定符號(hào)語(yǔ)言.如幾何學(xué)中的符號(hào)△、⊙、∥、⊥、∠等都是原形的壓縮改造，屬于象形符號(hào).縮寫(xiě)符號(hào)是由數(shù)學(xué)概念的西文詞匯縮寫(xiě)或加以改造而成的符號(hào)，比如自然數(shù)

再如橢圓的離心率與橢圓形狀的關(guān)系：離心率e越小橢圓越圓，e越大橢圓越扁.對(duì)此死記硬背，容易混淆搞錯(cuò)，把這一規(guī)律形象化就簡(jiǎn)單多了.因?yàn)闄E圓離心率e∈（0，1），如圖2，e越小即越靠近0，因?yàn)?比較圓滿，所以橢圓越圓，e越大即越靠近1，因?yàn)?比較扁平，所以橢圓越扁.（可以把0和1寫(xiě)得夸張一些） 這樣橢圓的離心率與橢圓的形狀關(guān)系就形象地牢牢地“畫(huà)”在了學(xué)生的腦子里，永遠(yuǎn)不會(huì)忘記！

三、 “悄悄話”之撥開(kāi)表面迷霧，洞察問(wèn)題本質(zhì)理解圖表語(yǔ)言

圖表語(yǔ)言是指包含一定數(shù)學(xué)信息的各種圖形、圖象或表格，可細(xì)分為圖形語(yǔ)言（幾何圖形、統(tǒng)計(jì)分析圖、集合維恩圖等）、圖象語(yǔ)言（函數(shù)圖象或統(tǒng)計(jì)線圖等）和表格語(yǔ)言（統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表、分析表、框圖等），它們是數(shù)學(xué)形象思維的載體和中介，也是數(shù)學(xué)思維的重要材料和結(jié)果，

同時(shí)還是進(jìn)行抽象思維的一個(gè)重要工具.圖表語(yǔ)言是數(shù)學(xué)的一種直觀性語(yǔ)言，其特點(diǎn)是直觀形象、易于理解，但是直觀形象有時(shí)會(huì)表現(xiàn)為一種假象，理解圖表語(yǔ)言特別要撥開(kāi)表面迷霧，透過(guò)現(xiàn)象洞察問(wèn)題的本質(zhì).

如圖3，一電工沿著豎立的梯子LN往上爬，當(dāng)他爬到中點(diǎn)M處時(shí)，由于地面太滑，梯子沿墻面與地面滑下，則M點(diǎn)的軌跡是（）

由于梯子滑行的直覺(jué)表象，我們常常會(huì)選A.而實(shí)際上，根據(jù)直角三角形“斜邊中點(diǎn)到直角頂點(diǎn)距離等于斜邊長(zhǎng)的一半”，斜邊長(zhǎng)即梯子LN的長(zhǎng)度是定值，所以M點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離始終是梯子LN的長(zhǎng)度的一半，其軌跡是應(yīng)當(dāng)是以原點(diǎn)O為圓心、LN2為半徑的圓弧，應(yīng)選C.

四、 對(duì)“數(shù)學(xué)語(yǔ)言的悄悄話”的“悄悄話”

以上是如何理解符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言的“悄悄話”，事實(shí)上，這三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言各有其優(yōu)勢(shì)與不足：文字語(yǔ)言通俗、易懂，但描述起來(lái)是線性的，不易表露知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)；符號(hào)語(yǔ)言抽象，但簡(jiǎn)潔、精確；圖表語(yǔ)言直觀形象，但不嚴(yán)謹(jǐn).所以，一種數(shù)學(xué)思想內(nèi)容的表達(dá)常常是數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言的有機(jī)融合.對(duì)“數(shù)學(xué)語(yǔ)言的悄悄話”筆者想說(shuō)的“悄悄話”就是：“要靈活轉(zhuǎn)換三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言，做到揚(yáng)長(zhǎng)避短，優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)”.這一點(diǎn)在立體幾何中得到充分的體現(xiàn)，如直線與平面平行的性質(zhì)定理的文字語(yǔ)言為：

加強(qiáng)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換不但有助于理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言，也是提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與應(yīng)用能力的有效途徑.如符號(hào)語(yǔ)言“實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2=1，求x+y-2的取值范圍”，可根據(jù)其幾何意義，理解為單位圓上的任意點(diǎn)到直線x+y-2=0距離的2倍，也可以令t=x+y-2，其中t+2是平行直線系y=-x+t+2在y軸上的截距，利用線性規(guī)劃解決.這樣通過(guò)符號(hào)語(yǔ)言與圖表語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換溝通了代數(shù)與解析幾何的聯(lián)系，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易解.

（江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)）