錐齒輪齒根應(yīng)力有限元模型和分析

摘要： 從齒輪加工原理出發(fā)，利用漸開(kāi)線和齒根過(guò)渡曲線方程生成輪齒的精確齒形，建立2種等效直齒錐齒輪三維輪齒幾何模型，研究漸開(kāi)線直齒錐齒輪的精確建模方法.分別使用h單元和p單元分析計(jì)算直齒錐齒輪齒根應(yīng)力，建立直齒錐齒輪三維輪齒齒根應(yīng)力有限元計(jì)算模型和計(jì)算基準(zhǔn).計(jì)算結(jié)果與ISO國(guó)標(biāo)公式比較，證明模型的正確性、精確性和可靠性.

關(guān)鍵詞： 直齒錐齒輪； 有限元； 三維輪齒； 幾何模型； 齒根應(yīng)力； CAE

中圖分類號(hào)： U4文獻(xiàn)標(biāo)志碼： B

Abstract： From the principle of cutting bevel gear process， the precision tooth shape of a gear is generated by involute and root fillet equation， two types of the 3D tooth geometry model of straight bevel gears are built equivalently， and the precision modeling method of involute straight bevel gear is studied. The root stresses of bevel gears are computed respectively by helement and pelement. The finite element computation model and benchmark of root stresses of a bevel gear are created. The computation result is compared with the result calculated by ISO equations， and the correctness， accuracy and reliability of the model is tested.

Key words： straight bevel gear； finite element； 3D tooth； geometry modeling； root stress； CAE

引言

通過(guò)國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃（“八六三”計(jì)劃）項(xiàng)目，我國(guó)成功制造出大型錐齒輪自動(dòng)化加工設(shè)備，為制造業(yè)振興和齒輪傳動(dòng)技術(shù)的創(chuàng)新發(fā)展建立新的基礎(chǔ).錐齒輪作為齒輪傳動(dòng)的重要零件，歷來(lái)是設(shè)計(jì)和研究的重點(diǎn).由于錐齒輪的獨(dú)特性，建模有一定困難：首先，需要三維CAD/CAE軟件；其次，模型復(fù)雜性需要空間思維并開(kāi)發(fā)專用程序.因此，對(duì)圓錐齒輪的研究比對(duì)圓柱齒輪（直齒輪和斜齒輪）的研究要少.面向直齒輪的齒根應(yīng)力和CAE的研究已有很深的基礎(chǔ)，有使用ANSYS軟件的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)，但是面向錐齒輪齒根應(yīng)力和CAE的研究沒(méi)有正規(guī)的模型和計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)，因此需要對(duì)錐齒輪模型和應(yīng)力計(jì)算的正確性、精確性和可靠性進(jìn)行研究.本文研究直齒錐齒輪的精確建模方法，提出2種模型方法，并對(duì)這2種模型方法的齒根應(yīng)力計(jì)算進(jìn)行比較.

有限元法的出現(xiàn)使齒輪應(yīng)力分析變得方便，計(jì)算精度更可靠.與傳統(tǒng)計(jì)算方法相比，有限元法能處理較復(fù)雜的載荷工況和邊界條件，較全面地反映齒輪體的應(yīng)力場(chǎng)、齒根應(yīng)力集中和輪齒變形等.隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，三維模型和分析越來(lái)越容易，為錐齒輪齒根應(yīng)力計(jì)算和研究提供方便.文獻(xiàn)[1]建立直齒錐齒輪單齒三維有限元計(jì)算模型，但計(jì)算的正確率和準(zhǔn)確度都不高.也有人進(jìn)行直齒錐齒輪齒根應(yīng)力計(jì)算，使用近似齒根圓角或使用h單元，但由于計(jì)算有幾何誤差和離散誤差，計(jì)算模型的精確度和可靠性較差.本文研究漸開(kāi)線直齒錐齒輪的精確建模方法，從錐齒輪加工原理出發(fā)，實(shí)現(xiàn)將二維直齒輪模型轉(zhuǎn)換為三維直齒錐齒輪，不僅模型的構(gòu)造過(guò)程簡(jiǎn)單，而且準(zhǔn)確性得到保證.考慮直齒錐齒輪齒根應(yīng)力的計(jì)算載荷和分布、加載位置、輪緣厚度以及輪轂和周向齒數(shù)，分別使用h單元和p單元計(jì)算，研究計(jì)算模型的精確性，將計(jì)算結(jié)果與ISO和國(guó)標(biāo)公式計(jì)算結(jié)果比較，驗(yàn)證模型的正確性和可靠性.

1直齒錐齒輪幾何模型

直齒錐齒輪的齒廓曲線是球面曲線（球面漸開(kāi)線），而齒根過(guò)渡曲線更復(fù)雜，因此齒廓曲線和齒廓曲面的產(chǎn)生相對(duì)復(fù)雜.但是，錐齒輪傳動(dòng)很容易等效為錐齒輪背錐的當(dāng)量齒輪傳動(dòng)，而當(dāng)量齒輪傳動(dòng)是一對(duì)直齒輪傳動(dòng).因此，考慮把當(dāng)量齒輪的輪齒二維模型轉(zhuǎn)變?yōu)槿S錐齒輪輪齒模型.

1.1錐齒輪背錐單齒幾何模型

在ANSYS中使用2種單元的2種方法求解：一種使用h單元，通過(guò)網(wǎng)格加密h方法求解；另一種是使用p單元，通過(guò)提高單元形函數(shù)的多項(xiàng)式級(jí)數(shù)p方法求解.通過(guò)應(yīng)用可知：通常h單元計(jì)算有比較大的計(jì)算誤差，而p單元計(jì)算誤差很小，網(wǎng)格密度要求不是很高.早在1971年，ZIENKIEWICZ等[4]提出分級(jí)有限元的概念，并以此為基礎(chǔ)推出有限元的h型加密和p型加密方法.在有限元法中結(jié)構(gòu)位移u的近似式為u≈u～=ni=1Niai（6）如果n增加至n+1時(shí)形函數(shù)Ni（i=1，2，…，n）不變，這個(gè)近似式就稱為分級(jí)的.顯然單元細(xì)分同時(shí)也就引進(jìn)完全不同的形函數(shù)，因此標(biāo)準(zhǔn)有限元表達(dá)式不是分級(jí)的，如等參單元：20節(jié)點(diǎn)三維實(shí)體等參單元形函數(shù)的多項(xiàng)式n=20.在ANSYS中應(yīng)用h型加密略顯復(fù)雜，不如直接網(wǎng)格加密，p型加密要簡(jiǎn)單些，網(wǎng)格不變，直接提高形函數(shù)的多項(xiàng)式次數(shù)，程序可自動(dòng)執(zhí)行.

2.1h單元計(jì)算

三維分析使用三維20節(jié)點(diǎn)實(shí)體單元.在ANSYS中h單元實(shí)際上就是等參單元.模型分別為僅輪緣和包括輪轂的3齒模型，載荷分別作用在齒頂和單齒最高嚙合點(diǎn).建立2種幾何模型劃分網(wǎng)格，網(wǎng)格劃分完全一樣.計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2.在表2中，模型1為齒向10個(gè)單元模型，模型2為齒向20個(gè)單元模型，模型1和2都是背錐面為錐面的幾何模型.由表2可知，使用h單元計(jì)算可靠性不夠，包括輪轂和僅輪緣的3齒模型計(jì)算結(jié)果基本一致，載荷作用在齒頂時(shí)齒根應(yīng)力誤差很小，而在最高嚙合點(diǎn)應(yīng)力誤差較大.h單元載荷可以作用在中間節(jié)點(diǎn)，p單元只能作用在單元節(jié)點(diǎn).中間節(jié)點(diǎn)載荷為單元載荷的2/3，其他節(jié)點(diǎn)為1/6，可以減少載荷分布誤差.計(jì)算載荷為等效線性分布載荷，載荷等效作用在單元節(jié)點(diǎn)（不包括中間節(jié)點(diǎn)）上，計(jì)算的直齒錐齒輪齒根應(yīng)力分布見(jiàn)圖4～6.圖4表明網(wǎng)格模型有一定離散誤差，模型精度不高，在單齒最高嚙合點(diǎn)計(jì)算結(jié)果有誤差，且計(jì)算模型在齒向離散誤差較大；圖5中計(jì)算誤差明顯減少；圖6比圖5齒根應(yīng)力分布更合理，計(jì)算精度進(jìn)一步提高.

3結(jié)束語(yǔ)

直齒錐齒輪的建模比較復(fù)雜，利用直齒輪二維模型在三維空間變換，建立直齒錐齒輪輪齒模型，將構(gòu)造模型的過(guò)程簡(jiǎn)單化，從而構(gòu)造錐齒輪齒根應(yīng)力的計(jì)算模型.使用背錐面為錐面和球面構(gòu)造的輪齒模型計(jì)算的齒根應(yīng)力大小和分布基本一致，誤差很小.在ANSYS中使用傳統(tǒng)h單元，計(jì)算結(jié)果能夠反映模型之間的差別和離散計(jì)算誤差，計(jì)算數(shù)值有誤差，計(jì)算結(jié)果的可靠性低.使用p單元計(jì)算能夠精確可靠地得到計(jì)算結(jié)果，但計(jì)算代價(jià)比較大，需合理安排網(wǎng)格才能夠減少計(jì)算費(fèi)用.使用h單元增加計(jì)算模型的節(jié)點(diǎn)和單元數(shù)量也能夠得到與p單元計(jì)算相同的結(jié)果，但計(jì)算量和費(fèi)用更高.[8]

直齒錐齒輪齒根應(yīng)力計(jì)算結(jié)果與ISO公式計(jì)算結(jié)果比較說(shuō)明有限元計(jì)算結(jié)果的正確性，也反映錐齒輪的特殊性.本文計(jì)算模型和結(jié)果正確、可靠、精確，但由于錐齒輪三維模型為曲面，單元網(wǎng)格有奇異性，網(wǎng)格質(zhì)量不高，載荷作用有方向性和分布性，減小模型的誤差還需要進(jìn)一步研究，模型的可靠性需要進(jìn)一步證實(shí).

直齒錐齒輪齒根應(yīng)力精確計(jì)算為分析等效模型的誤差和精度打下基礎(chǔ)，是錐齒輪標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)和優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ).同時(shí)，為正確精確分析齒輪參數(shù)對(duì)齒根應(yīng)力的影響和比較不同齒輪（斜齒和螺旋齒）齒根應(yīng)力大小、實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新設(shè)計(jì)做好準(zhǔn)備.

隨著直齒錐齒輪齒根應(yīng)力有限元模型研究的發(fā)展，進(jìn)一步研究一對(duì)錐齒輪三維嚙合接觸模型，螺旋錐齒輪三維模型及其齒根應(yīng)力和接觸應(yīng)力分析，等高齒錐齒輪模型和分析等，錐齒輪的有限元分析和CAE將會(huì)進(jìn)一步發(fā)展.ANSYS在錐齒輪幾何模型方面還需要進(jìn)一步開(kāi)發(fā)研究，對(duì)由曲面構(gòu)成體的操作能力需要發(fā)展.參考文獻(xiàn)：

[1]周延澤， 吳繼澤. 直齒錐齒輪齒根應(yīng)力的有限元分析[J]. 北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)， 1996， 22（1）： 8889.

ZHOU Yanze， WU Jize. Finite element analysis of tooth root stress of straight bevel gear[J]. J Beijing Univ Aeronautics & Astronautics， 1996， 22（1）： 8889.

[2]吳繼澤， 王統(tǒng). 齒根過(guò)渡曲線和齒根應(yīng)力[M]. 北京： 國(guó)防工業(yè)出版社， 1989： 1128.

[3]秦建旭， 賀敬良. 錐齒輪彎曲強(qiáng)度有限元分析精確模型的研究[J]. 機(jī)械設(shè)計(jì)， 2009， 26（7）： 937.

QIN Jianxu， HE Jingliang. Dynamic modeling of rotor in noninertia system[J]. J Machine Des， 2009， 26（7）： 937.

[4]ZIENKIEWICZ O C， GAGO J P D S R， KELLY DW. The hierarchical concept in finite element analysis[J]. Computers & Structures， 1983， 16（14）： 5365.

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[8]楊生華， 李根國(guó). 齒輪齒根應(yīng)力和輪齒變形的三維整輪仿真[J]. 計(jì)算機(jī)輔助工程， 2013， 22（2）： 3640.

YANG Shenghua， LI Genguo. 3D simulation on root stresses and tooth deformations of whole gear[J]. Comput Aided Eng， 2013， 22（2）： 3640.（編輯武曉英）

3結(jié)束語(yǔ)

直齒錐齒輪的建模比較復(fù)雜，利用直齒輪二維模型在三維空間變換，建立直齒錐齒輪輪齒模型，將構(gòu)造模型的過(guò)程簡(jiǎn)單化，從而構(gòu)造錐齒輪齒根應(yīng)力的計(jì)算模型.使用背錐面為錐面和球面構(gòu)造的輪齒模型計(jì)算的齒根應(yīng)力大小和分布基本一致，誤差很小.在ANSYS中使用傳統(tǒng)h單元，計(jì)算結(jié)果能夠反映模型之間的差別和離散計(jì)算誤差，計(jì)算數(shù)值有誤差，計(jì)算結(jié)果的可靠性低.使用p單元計(jì)算能夠精確可靠地得到計(jì)算結(jié)果，但計(jì)算代價(jià)比較大，需合理安排網(wǎng)格才能夠減少計(jì)算費(fèi)用.使用h單元增加計(jì)算模型的節(jié)點(diǎn)和單元數(shù)量也能夠得到與p單元計(jì)算相同的結(jié)果，但計(jì)算量和費(fèi)用更高.[8]

直齒錐齒輪齒根應(yīng)力計(jì)算結(jié)果與ISO公式計(jì)算結(jié)果比較說(shuō)明有限元計(jì)算結(jié)果的正確性，也反映錐齒輪的特殊性.本文計(jì)算模型和結(jié)果正確、可靠、精確，但由于錐齒輪三維模型為曲面，單元網(wǎng)格有奇異性，網(wǎng)格質(zhì)量不高，載荷作用有方向性和分布性，減小模型的誤差還需要進(jìn)一步研究，模型的可靠性需要進(jìn)一步證實(shí).

直齒錐齒輪齒根應(yīng)力精確計(jì)算為分析等效模型的誤差和精度打下基礎(chǔ)，是錐齒輪標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)和優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ).同時(shí)，為正確精確分析齒輪參數(shù)對(duì)齒根應(yīng)力的影響和比較不同齒輪（斜齒和螺旋齒）齒根應(yīng)力大小、實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新設(shè)計(jì)做好準(zhǔn)備.

隨著直齒錐齒輪齒根應(yīng)力有限元模型研究的發(fā)展，進(jìn)一步研究一對(duì)錐齒輪三維嚙合接觸模型，螺旋錐齒輪三維模型及其齒根應(yīng)力和接觸應(yīng)力分析，等高齒錐齒輪模型和分析等，錐齒輪的有限元分析和CAE將會(huì)進(jìn)一步發(fā)展.ANSYS在錐齒輪幾何模型方面還需要進(jìn)一步開(kāi)發(fā)研究，對(duì)由曲面構(gòu)成體的操作能力需要發(fā)展.參考文獻(xiàn)：

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[8]楊生華， 李根國(guó). 齒輪齒根應(yīng)力和輪齒變形的三維整輪仿真[J]. 計(jì)算機(jī)輔助工程， 2013， 22（2）： 3640.

YANG Shenghua， LI Genguo. 3D simulation on root stresses and tooth deformations of whole gear[J]. Comput Aided Eng， 2013， 22（2）： 3640.（編輯武曉英）

3結(jié)束語(yǔ)

直齒錐齒輪的建模比較復(fù)雜，利用直齒輪二維模型在三維空間變換，建立直齒錐齒輪輪齒模型，將構(gòu)造模型的過(guò)程簡(jiǎn)單化，從而構(gòu)造錐齒輪齒根應(yīng)力的計(jì)算模型.使用背錐面為錐面和球面構(gòu)造的輪齒模型計(jì)算的齒根應(yīng)力大小和分布基本一致，誤差很小.在ANSYS中使用傳統(tǒng)h單元，計(jì)算結(jié)果能夠反映模型之間的差別和離散計(jì)算誤差，計(jì)算數(shù)值有誤差，計(jì)算結(jié)果的可靠性低.使用p單元計(jì)算能夠精確可靠地得到計(jì)算結(jié)果，但計(jì)算代價(jià)比較大，需合理安排網(wǎng)格才能夠減少計(jì)算費(fèi)用.使用h單元增加計(jì)算模型的節(jié)點(diǎn)和單元數(shù)量也能夠得到與p單元計(jì)算相同的結(jié)果，但計(jì)算量和費(fèi)用更高.[8]

直齒錐齒輪齒根應(yīng)力計(jì)算結(jié)果與ISO公式計(jì)算結(jié)果比較說(shuō)明有限元計(jì)算結(jié)果的正確性，也反映錐齒輪的特殊性.本文計(jì)算模型和結(jié)果正確、可靠、精確，但由于錐齒輪三維模型為曲面，單元網(wǎng)格有奇異性，網(wǎng)格質(zhì)量不高，載荷作用有方向性和分布性，減小模型的誤差還需要進(jìn)一步研究，模型的可靠性需要進(jìn)一步證實(shí).

直齒錐齒輪齒根應(yīng)力精確計(jì)算為分析等效模型的誤差和精度打下基礎(chǔ)，是錐齒輪標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)和優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ).同時(shí)，為正確精確分析齒輪參數(shù)對(duì)齒根應(yīng)力的影響和比較不同齒輪（斜齒和螺旋齒）齒根應(yīng)力大小、實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新設(shè)計(jì)做好準(zhǔn)備.

隨著直齒錐齒輪齒根應(yīng)力有限元模型研究的發(fā)展，進(jìn)一步研究一對(duì)錐齒輪三維嚙合接觸模型，螺旋錐齒輪三維模型及其齒根應(yīng)力和接觸應(yīng)力分析，等高齒錐齒輪模型和分析等，錐齒輪的有限元分析和CAE將會(huì)進(jìn)一步發(fā)展.ANSYS在錐齒輪幾何模型方面還需要進(jìn)一步開(kāi)發(fā)研究，對(duì)由曲面構(gòu)成體的操作能力需要發(fā)展.參考文獻(xiàn)：

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QIN Jianxu， HE Jingliang. Dynamic modeling of rotor in noninertia system[J]. J Machine Des， 2009， 26（7）： 937.

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YANG Shenghua. Finite element analysis of gear contact[J]. Chin J Comput Mech， 2003， 20（2）： 189194.

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YANG Shenghua， LI Genguo. 3D simulation on root stresses and tooth deformations of whole gear[J]. Comput Aided Eng， 2013， 22（2）： 3640.（編輯武曉英）