對(duì)課本一些例題解法的探討

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浙教版八年級(jí)（下）第二章《一元二次方程》中，如P35例7的解法筆者認(rèn)為值得商榷。

例7已知4x2+8 （n+1）x+16n是一個(gè)關(guān)于x的完全平方式，求常數(shù)n的值。

解：4x2+8（n+1）x+16

=4[x2+2（n+1）x]+16n

=4[x2+2（n+1）x+（n+1）2]-4（n+1）2+16n

已知4x2+8（n+1）x+16是一個(gè)完全平方式，則– 4（n+1）2+16n=0

化簡(jiǎn)，得n2-2n+1=0，

解得n=n=1

所以常數(shù)n的值為1

本題已經(jīng)說明n為常數(shù)，代數(shù)式4x2+8（n+1）x+16n是關(guān)于x一個(gè)完全平方式，也就是說它是關(guān)于x的一個(gè)二次三項(xiàng)式，二次項(xiàng)系數(shù)為4，一次項(xiàng)系數(shù)為8（n+1），常數(shù)項(xiàng)為16n，那么，這個(gè)二次三項(xiàng)式可以化為4（a±b）2的形式。而4=22，那么x2+2（n+1）x+4n一定是一個(gè)完全平方式，一個(gè)二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式應(yīng)該滿足：一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方等于常數(shù)項(xiàng)，即（n+1）2=4n。

筆者有以下解法：

解：4x2+8（n+1）x+16

=4[x2+2（n+1）x+4n]

∵4=22

∴x2+2（n+1）x+4n也是一個(gè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式

∴（n+1）2=4n（一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方等于常數(shù)項(xiàng)）

化簡(jiǎn)，得n2-2n+1=0，

解得n1=n2=1

又如課本P36對(duì)一元二次方程求根公式是基于配方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行推導(dǎo)，在這個(gè)過程中應(yīng)當(dāng)要進(jìn)行兩次討論，具體過程如下：

對(duì)于ax2+bx+c=0（a≠0），兩邊同除以a，得x2+x+=0移項(xiàng)得x2+x=-；

方程兩邊同時(shí)加上（）2，得x2+x+（）2=（）2-即（x+）2=

若b2-4ac≥0，可得x+=±

∴x+=±，由于前面有±號(hào)，所以不管a取值如何，x+=±，

∴x=±，即x=

很明顯，當(dāng)b=c=0時(shí)，x=0；當(dāng)c=0時(shí)，x1=0；x2=-；當(dāng)b=0時(shí)，且a、c同號(hào)時(shí)，此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，a、c異號(hào)時(shí)，此方程的解為x1=-；x2=。

其實(shí)，對(duì)一元二次方程求根公式的推導(dǎo)也可以從完全平方公式入手，比如：

在ax2+bx+c=0（a≠0）兩邊同乘以4a，得到4a2x2+4abx+4ac=0（a≠0），移項(xiàng)，得

4a2x2+4abx=-4ac，兩邊同時(shí)加上b2，得

4a2x2+4abx+b2=b2-4ac

∴（2ax+b）2=b2-4ac

以下部分解法同上，這樣的推導(dǎo)對(duì)各項(xiàng)系數(shù)的討論可以減弱。

實(shí)際上課本中有多處可以商討的地方，這些只是我個(gè)人的看法，有不周之處還望指正。

（作者單位：浙江寧波七中）

浙教版八年級(jí)（下）第二章《一元二次方程》中，如P35例7的解法筆者認(rèn)為值得商榷。

例7已知4x2+8 （n+1）x+16n是一個(gè)關(guān)于x的完全平方式，求常數(shù)n的值。

解：4x2+8（n+1）x+16

=4[x2+2（n+1）x]+16n

=4[x2+2（n+1）x+（n+1）2]-4（n+1）2+16n

已知4x2+8（n+1）x+16是一個(gè)完全平方式，則– 4（n+1）2+16n=0

化簡(jiǎn)，得n2-2n+1=0，

解得n=n=1

所以常數(shù)n的值為1

本題已經(jīng)說明n為常數(shù)，代數(shù)式4x2+8（n+1）x+16n是關(guān)于x一個(gè)完全平方式，也就是說它是關(guān)于x的一個(gè)二次三項(xiàng)式，二次項(xiàng)系數(shù)為4，一次項(xiàng)系數(shù)為8（n+1），常數(shù)項(xiàng)為16n，那么，這個(gè)二次三項(xiàng)式可以化為4（a±b）2的形式。而4=22，那么x2+2（n+1）x+4n一定是一個(gè)完全平方式，一個(gè)二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式應(yīng)該滿足：一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方等于常數(shù)項(xiàng)，即（n+1）2=4n。

筆者有以下解法：

解：4x2+8（n+1）x+16

=4[x2+2（n+1）x+4n]

∵4=22

∴x2+2（n+1）x+4n也是一個(gè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式

∴（n+1）2=4n（一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方等于常數(shù)項(xiàng)）

化簡(jiǎn)，得n2-2n+1=0，

解得n1=n2=1

又如課本P36對(duì)一元二次方程求根公式是基于配方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行推導(dǎo)，在這個(gè)過程中應(yīng)當(dāng)要進(jìn)行兩次討論，具體過程如下：

對(duì)于ax2+bx+c=0（a≠0），兩邊同除以a，得x2+x+=0移項(xiàng)得x2+x=-；

方程兩邊同時(shí)加上（）2，得x2+x+（）2=（）2-即（x+）2=

若b2-4ac≥0，可得x+=±

∴x+=±，由于前面有±號(hào)，所以不管a取值如何，x+=±，

∴x=±，即x=

很明顯，當(dāng)b=c=0時(shí)，x=0；當(dāng)c=0時(shí)，x1=0；x2=-；當(dāng)b=0時(shí)，且a、c同號(hào)時(shí)，此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，a、c異號(hào)時(shí)，此方程的解為x1=-；x2=。

其實(shí)，對(duì)一元二次方程求根公式的推導(dǎo)也可以從完全平方公式入手，比如：

在ax2+bx+c=0（a≠0）兩邊同乘以4a，得到4a2x2+4abx+4ac=0（a≠0），移項(xiàng)，得

4a2x2+4abx=-4ac，兩邊同時(shí)加上b2，得

4a2x2+4abx+b2=b2-4ac

∴（2ax+b）2=b2-4ac

以下部分解法同上，這樣的推導(dǎo)對(duì)各項(xiàng)系數(shù)的討論可以減弱。

實(shí)際上課本中有多處可以商討的地方，這些只是我個(gè)人的看法，有不周之處還望指正。

（作者單位：浙江寧波七中）

浙教版八年級(jí)（下）第二章《一元二次方程》中，如P35例7的解法筆者認(rèn)為值得商榷。

例7已知4x2+8 （n+1）x+16n是一個(gè)關(guān)于x的完全平方式，求常數(shù)n的值。

解：4x2+8（n+1）x+16

=4[x2+2（n+1）x]+16n

=4[x2+2（n+1）x+（n+1）2]-4（n+1）2+16n

已知4x2+8（n+1）x+16是一個(gè)完全平方式，則– 4（n+1）2+16n=0

化簡(jiǎn)，得n2-2n+1=0，

解得n=n=1

所以常數(shù)n的值為1

本題已經(jīng)說明n為常數(shù)，代數(shù)式4x2+8（n+1）x+16n是關(guān)于x一個(gè)完全平方式，也就是說它是關(guān)于x的一個(gè)二次三項(xiàng)式，二次項(xiàng)系數(shù)為4，一次項(xiàng)系數(shù)為8（n+1），常數(shù)項(xiàng)為16n，那么，這個(gè)二次三項(xiàng)式可以化為4（a±b）2的形式。而4=22，那么x2+2（n+1）x+4n一定是一個(gè)完全平方式，一個(gè)二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式應(yīng)該滿足：一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方等于常數(shù)項(xiàng)，即（n+1）2=4n。

筆者有以下解法：

解：4x2+8（n+1）x+16

=4[x2+2（n+1）x+4n]

∵4=22

∴x2+2（n+1）x+4n也是一個(gè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式

∴（n+1）2=4n（一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方等于常數(shù)項(xiàng)）

化簡(jiǎn)，得n2-2n+1=0，

解得n1=n2=1

又如課本P36對(duì)一元二次方程求根公式是基于配方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行推導(dǎo)，在這個(gè)過程中應(yīng)當(dāng)要進(jìn)行兩次討論，具體過程如下：

對(duì)于ax2+bx+c=0（a≠0），兩邊同除以a，得x2+x+=0移項(xiàng)得x2+x=-；

方程兩邊同時(shí)加上（）2，得x2+x+（）2=（）2-即（x+）2=

若b2-4ac≥0，可得x+=±

∴x+=±，由于前面有±號(hào)，所以不管a取值如何，x+=±，

∴x=±，即x=

很明顯，當(dāng)b=c=0時(shí)，x=0；當(dāng)c=0時(shí)，x1=0；x2=-；當(dāng)b=0時(shí)，且a、c同號(hào)時(shí)，此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，a、c異號(hào)時(shí)，此方程的解為x1=-；x2=。

其實(shí)，對(duì)一元二次方程求根公式的推導(dǎo)也可以從完全平方公式入手，比如：

在ax2+bx+c=0（a≠0）兩邊同乘以4a，得到4a2x2+4abx+4ac=0（a≠0），移項(xiàng)，得

4a2x2+4abx=-4ac，兩邊同時(shí)加上b2，得

4a2x2+4abx+b2=b2-4ac

∴（2ax+b）2=b2-4ac

以下部分解法同上，這樣的推導(dǎo)對(duì)各項(xiàng)系數(shù)的討論可以減弱。

實(shí)際上課本中有多處可以商討的地方，這些只是我個(gè)人的看法，有不周之處還望指正。

（作者單位：浙江寧波七中）