基于曲線擬合的水聲換能器轉(zhuǎn)移阻抗測量

馮 飛，楊 博

（1.91388部隊，廣東 湛江 524022；2.東南大學(xué)，江蘇 南京 210096）

0 引 言

水聲換能器是水下各種發(fā)射、接收測量用傳感器的總稱，它將水下的聲信號轉(zhuǎn)換成電信號（接收換能器即水聽器），或?qū)㈦娦盘栟D(zhuǎn)換成水下的聲信號（發(fā)射換能器）。換能器是聲納的重要組成部分，在水聲工程起著關(guān)鍵作用，許多發(fā)達國家都投入巨大的力量進行研究[1]。水聲換能器必須定期進行校準(zhǔn)以保證其可靠性。采用基于虛擬儀器技術(shù)的換能器自動校準(zhǔn)系統(tǒng)可以在節(jié)約人力資源的同時提高校準(zhǔn)效率。

對水聲換能器的校準(zhǔn)來說，可歸為如何準(zhǔn)確測量換能器-水聽器的轉(zhuǎn)移阻抗[2]。傳統(tǒng)上，對其測量多采用譜分析法。針對譜分析法存在頻譜泄漏及柵欄效應(yīng)，以及存在多種限制條件的問題，本文提出一種基于Levenberg-Marquardt（L-M）算法的曲線擬合法，實現(xiàn)對傳統(tǒng)方法的改進。

1 校準(zhǔn)原理

水聲換能器的主要性能參數(shù)有自由場（電壓）靈敏度、發(fā)送電流響應(yīng)、發(fā)送電壓響應(yīng)、指向性函數(shù)等。根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)[3]，自由場靈敏度通?？刹捎们蛎娌ㄗ杂蓤龌ヒ追?、柱面波自由場互易法、球面波自由場比較法、柱面波自由場比較法、噪聲均勻場比較法等。發(fā)送響應(yīng)通常采取比較法測量。

1.1 互易法校準(zhǔn)

互易法校準(zhǔn)是根據(jù)互易換能器遵守的電聲互易原理進行校準(zhǔn)的一種絕對校準(zhǔn)方法[4]。該法采用3個換能器，其中至少有一個互易換能器（H），另兩個是發(fā)射器（F）和水聽器（J）。在自由場遠(yuǎn)場中按圖1所示組合，做3次測量，分別測量每換能器對輸入發(fā)射器的電流i和水聽器的開路電壓u或其電轉(zhuǎn)移阻抗，就能獲得水聽器J和互易換能器H的自由場靈敏度。計算公式為式（1）、式（2）。

圖1 互易法校準(zhǔn)

式中：MfJ，MfH——水聽器J和互易換能器H在頻率f下的自由場靈敏度；

dXY——兩換能器的聲中心之間的距離；

ZXY——每隊換能器間的轉(zhuǎn)移阻抗，定義為接收端開路電壓和發(fā)送端發(fā)送電流的比值。

1.2 比較法校準(zhǔn)

比較法校準(zhǔn)是與標(biāo)準(zhǔn)水聽器或標(biāo)準(zhǔn)聲源比較的一種相對校準(zhǔn)方法[3]：將發(fā)射器（F）、標(biāo)準(zhǔn)水聽器（P）及待校水聽器（X）按圖2所示排列，分別測量換能器對（F-P）、（F-X）的電轉(zhuǎn)移阻抗模|ZFP|和|ZFX|，則待校水聽器的自由場靈敏度MX為

從換能器各項主要參數(shù)的獲得方法[3]可以看出，校準(zhǔn)換能器的關(guān)鍵是獲得換能器的轉(zhuǎn)移阻抗ZXY，即水聽器的開路電壓與發(fā)射換能器的輸入電流之間的復(fù)數(shù)比值。

2 基于譜分析法的轉(zhuǎn)移阻抗測量

基于譜分析法的轉(zhuǎn)移阻抗測量主要采用以下3種方法[5]：（1）譜分析法。該方法首先對采樣信號做傅里葉變換，然后以離散傅里葉變換（DFT）進行計算即可得到信號幅值。（2）加窗譜分析法。該方法對信號直接進行截斷以進行DFT的計算，相當(dāng)于對給信號加矩形窗，變換不同的窗函數(shù)形式，可以使得對信號幅值的估值精度有很大提高，是對譜分析法的改進，解決了非整周期采樣造成的頻譜泄漏問題。（3）Prony采樣法。采用該方法，是為了實現(xiàn)對正弦信號的整周期采樣，亦稱同步采樣法。

圖2 比較法校準(zhǔn)

譜分析法在理論和實踐中主要存在以下問題：

（1）計算原因引起的估值誤差；（2）頻率分辨力有限的問題；（3）非整周期采樣引入的誤差；（4）水聽器的接收信號有一個穩(wěn)定過程，傳統(tǒng)上，由人工選取穩(wěn)定區(qū)域，再由計算機進行計算，這就導(dǎo)致了穩(wěn)定區(qū)域選擇的不確定性，從而產(chǎn)生了譜分析法結(jié)果的不確定性。

加窗譜分析法可以在很大程度上提高非整周期采樣時對信號幅值的估計精度，Prony采樣法實現(xiàn)了信號頻率與采樣頻率的同步，從而實現(xiàn)了整周期采樣。然而，這兩種方法都無法同時解決上述4個問題。

3 基于曲線擬合法的轉(zhuǎn)移阻抗的測量

3.1 算法原理

曲線擬合法采用如式（4）的信號模型。將信號幅值A(chǔ)、相位φ和頻率f看作隨機變量，為換能器接收信號建模。根據(jù)一系列采樣值（t，f（t）），以最小二乘準(zhǔn)則，采用非線性擬合的L-M算法求解模型參數(shù)，最后以參數(shù)的估計值計算轉(zhuǎn)移阻抗。曲線擬合采用Levenberg-Marquardt算法進行參數(shù)求解：

3.2 Levenberg-Marquardt算法

在非線性問題的迭代求解過程中，高斯牛頓迭代具有二階的收斂速度，但迭代過程中的Hessian矩陣又可能變成奇異陣，出現(xiàn)迭代無法進行的局面，因而穩(wěn)定性較差。Levenberg-Marquardt（L-M）算法則是在高斯牛頓法和梯度下降法之間進行平滑調(diào)和，在遠(yuǎn)離最小值時逐漸切換到高斯牛頓法。它既有高斯牛頓法的局部收斂性，又具有梯度下降法的全局特性[6]。由于L-M算法利用了近似的二階導(dǎo)數(shù)信息，它比梯度法快得多。設(shè)x（k）表示第k次迭代的權(quán)值和閾值所組成的向量，新的權(quán)值和閾值組成的向量x（k+1）可根據(jù)下面的規(guī)則求得：

設(shè)誤差函數(shù)為

式中：E（x）——誤差；

Q——目標(biāo)向量元素數(shù)目。

那么

式中：▽E（x）——梯度；

▽2E（x）——E（x）的Hessian矩陣；

對于高斯牛頓法有：

式中：μ——比例系數(shù)，常數(shù)；

Ⅰ——單位矩陣。

從該式可看出，如果μ=0，則為高斯牛頓法；如果μ取值很大，則L-M算法接近梯度下降法，每迭代成功一步，則μ減小一些，這樣在接近誤差目標(biāo)的時候，逐漸與高斯牛頓法相似。實踐證明，采用L-M及其改進算法，速度可以比原梯度下降法提高幾十甚至上百倍[7-8]。

4 對比實驗

實驗以NI PXI-5412信號發(fā)生器發(fā)射不同頻率的正弦信號，以NI PXI-6133數(shù)據(jù)采集卡對其進行采集，然后對幅值進行估計。實驗?zāi)M了在實際校準(zhǔn)中采樣點數(shù)的不確定性。如前文所述，采樣點數(shù)的不同將造成FFT計算時補零個數(shù)的不同。

4.1 測量精度

為了對比測量精度，實驗以5412信號發(fā)生器，發(fā)射幅值為1V，頻率為1～79.5kHz的正弦信號，信號頻率步長為500Hz，用6133數(shù)據(jù)采集卡對信號采樣，采樣時間t為滿足1ms

從圖3、圖4中可以看到：（1）譜分析法和Prony采樣法，對于信號的采樣長度與FFT的點數(shù)的對應(yīng)程度（即需補零的個數(shù)）非常敏感，而加窗譜分析法可以有效地改善這一情況，能夠給出較準(zhǔn)確的幅值估計。對于曲線擬合法而言，這一情況對于幅值的估計不會造成影響，計算精度要高于基于譜分析的各種方法。（2）對于1～2kHz的頻段，加窗譜分析法產(chǎn)生了較大的誤差，這是由于采得的信號周期過少所致，而曲線擬合法對此情況有很好的適應(yīng)性。（3）曲線擬合法在50kHz的頻率點上出現(xiàn)了較大的誤差。此時，采樣頻率正好為信號頻率的2倍，而信號發(fā)生器產(chǎn)生的信號初相為0，從而導(dǎo)致所有采樣數(shù)據(jù)均為0，曲線擬合法不能給出準(zhǔn)確的估計。對于這種情況，在工程應(yīng)用中，只需調(diào)整采樣頻率即可。本文將采樣頻率調(diào)整為110 kHz后，可以準(zhǔn)確得到50 kHz信號的幅度的估值。（4）在欠采樣的條件下（頻段為50.5～79.5 kHz），曲線擬合法仍然可以給出準(zhǔn)確的估值。

圖3 無噪聲時的測量值

圖4 無噪聲時的測量誤差

為了研究曲線擬合法對噪聲的魯棒性，對信號加入高斯噪聲（σ2=0.03），仍采用前述實驗條件，對信號幅值進行估計，結(jié)果如圖5、圖6所示。

可以看出，曲線擬合法對噪聲有很好的適應(yīng)能力，可以滿足實際校準(zhǔn)的需要。

4.2 測量不確定度

測量不確定度是表征合理地賦予被測量之值的分散性，與測量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)[9]。校準(zhǔn)結(jié)果的不確定度反映了對被校量值認(rèn)識的不確定性，在水聲領(lǐng)域中通常用作對校準(zhǔn)結(jié)果的可靠性度量，是測試方法有效性的重要判據(jù)[10]。在4.1節(jié)所述條件下，進行了對幅值估計的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的比對實驗。標(biāo)準(zhǔn)不確定度定義為式（11），測試結(jié)果見圖7和圖8。

圖5 加入高斯噪聲(σ2=0.03)后的測量值

圖6 加入高斯噪聲（σ2=0.03）后的測量誤差

圖7 無噪聲時的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

圖8 加入高斯噪聲(σ2=0.03)后的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

可以看出：（1）加窗譜分析法和曲線擬合法有較小的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，譜分析法和Prony采樣法的不確定度變化較大。（2）在加入噪聲后，譜分析法、加窗譜分析法和Prony采樣法的標(biāo)準(zhǔn)不確定度均有不同幅度的提高，而曲線擬合法的標(biāo)準(zhǔn)不確定度幾乎沒有變化。（3）在50kHz的頻率點上，曲線擬合法出現(xiàn)了較大的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，原因亦為采樣頻率正好為信號頻率的兩倍所致，改變采樣頻率為110kHz后，標(biāo)準(zhǔn)不確定度減小。

5 結(jié)束語

基于L-M算法的曲線擬合法，在對水聲換能器的轉(zhuǎn)移阻抗進行測量計算時，測量精度高，標(biāo)準(zhǔn)不確定度小，在測量計算時，受限條件少，不需滿足基于譜分析法的各種方法所需的計算條件，在欠采樣的情況下，依然可以獲得很高的估算精度和很小的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。同時，具有較強的魯棒性，對噪聲適應(yīng)能力較強，可以滿足實際測試校準(zhǔn)工作的需求，具有一定的優(yōu)越性。

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