深度開發(fā)習(xí)題，有效放飛思維

包永紅

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》如約到達(dá)我們手上。新課標(biāo)的解讀工作如火如荼地開展。實施建議中指出：學(xué)生獲得知識，必須建立在自己思考的基礎(chǔ)上，學(xué)生在獲得知識技能的過程中，只有親身參與教師精心設(shè)計的教學(xué)活動，才能在數(shù)學(xué)思考、問題解決和情感態(tài)度方面得到發(fā)展。解讀到這里，使我想起了我曾經(jīng)在課堂上處理習(xí)題時的一個教學(xué)片段：

習(xí)題原貌：

1、畫一個長6厘米，寬4厘米的長方形。

（1）這個長方形的長和寬分別增加后12，各是多少厘米？先算一算，再畫一畫。（2）現(xiàn)在長方形的面積是多少平方厘米？現(xiàn)在的長方形的面積是原來的幾分之幾？

2、任意畫一個長方形，再把長方形的長和寬分別增加12。先算出現(xiàn)在長方形的長和寬，再算出現(xiàn)在長方形的面積是原來的幾分之幾。

比較上面兩題的計算結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？

仔細(xì)分析，此題約160個字，信息量偏大，內(nèi)容繁雜，大量的信息給學(xué)生理解題意設(shè)置了許多障礙。而且問題過于細(xì)化，題目由扶到放，由淺入深，步步為營，思維空間狹窄，學(xué)生按部就班的解決，沒有真正獲得自主探索的空間。于是，我將習(xí)題進(jìn)行了改編。

習(xí)題新顏：

一個長方形的長與寬分別增加12，現(xiàn)在長方形的面積是原來的幾分之幾？（如果你覺得有困難，請完成習(xí)題集中第34頁第3題）

課堂情形：

學(xué)生獨立練習(xí)，3分鐘后交流。

我問：誰來說說問題的答案？

生1：我知道，現(xiàn)在長方形的面積是原來的94。

師：同意的請舉手。（全班有近20人同意）能說說你是怎樣得到這個結(jié)果的嗎？

生1繼續(xù)說：我先舉例，假設(shè)原來長方形的長是10厘米，寬是8厘米，它的面積是80平方厘米；長與寬分別增加12后，長與寬分別是15厘米和12厘米，面積是180平方厘米，現(xiàn)在長方形的面積是原來長方形的180÷80 =94。

師：很棒！ 方法合適，思維清晰。其他同學(xué)呢，你們是怎樣想的？

生2：我也是舉例的。但我假設(shè)長是6厘米，寬是4厘米，面積就是24平方厘米；長與寬分別增加12后，就是9厘米和6厘米，面積就是54平方厘米，現(xiàn)在的長方形的面積是原來長方形的54÷24 =94。

師：你們所舉的數(shù)據(jù)不同，而結(jié)果卻是相同的。對此你有沒有受到什么啟發(fā)？

生3：我想，長與寬不管是幾，答案應(yīng)該還是94。

師：很大膽的猜想，有沒有辦法證明？

生4：如果我假設(shè)長方形的長是a厘米，寬是b厘米，長與寬分別增加12后，就是32a厘米與32b厘米，現(xiàn)在長方形的面積就是94ab平方厘米，94ab÷ab=94。

師：多妙的想法！你用代數(shù)思想很好地驗證了這個結(jié)論。舉例的方法可以解決這個問題，還有別的方法嗎？

生5：我是畫圖的。

師：那你能上來說說嗎？

生5：我先畫一個長方形，如果長增加12，我就把長平均分成2份，長增加了這樣的1份，寬同樣也是如此。這樣，相當(dāng)于把原來的長方形平均分成4份（如圖1），圖1圖2現(xiàn)在的長方形就有這樣的9份（如圖2），現(xiàn)在的長方形的面積就是原來長方形的94。

同學(xué)們自覺得鼓起掌來。

師：掌聲就是對你最大的肯定！同學(xué)們，你們能理解9份的來龍去脈嗎？（大部分學(xué)生說能）

師：畫圖可以把較為抽象的數(shù)學(xué)信息直觀化，這是數(shù)形結(jié)合的典型例子。當(dāng)然，我知道還有部分同學(xué)結(jié)合習(xí)題中的具體要求也獲得了成功?，F(xiàn)在，讓我們共同回憶一下解決這一問題用了哪些數(shù)學(xué)方法與思想？

生：我們用了舉例與畫圖的方法。

生：我還知道了變與不變、數(shù)形結(jié)合的知識。

師：像這些舉例與畫示意圖，我們可以稱之為數(shù)學(xué)方法或策略，它是解決問題的關(guān)鍵。像代數(shù)表示法、變與不變、數(shù)形結(jié)合等，這些稱之為數(shù)學(xué)思想，它是解決問題的靈魂。

師：那你們又分哪幾個步驟完成的？

生：先假設(shè)原來長方形的長與寬，算出它們的面積，再求出現(xiàn)在的長與寬，算出現(xiàn)在長方形的面積，最后得出問題的答案。

……

后續(xù)思考：

一、思維反省，方法的提煉

在很多教學(xué)中，我們往往喜歡把解決問題作為教學(xué)的最終目標(biāo)，當(dāng)問題解決以后，此題的教學(xué)任務(wù)也隨之結(jié)束。從知識層面來看，這無可厚非，但從學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展來看，這是不完備的。

在解題的過程中，學(xué)生的思維很多時候處于具體形象階段，思維層次較低，需要深入和提煉。而有些思維則帶有一定的即時性，是感性經(jīng)驗的瞬時觸發(fā)，如果不及時、有效地點擊與回顧，這些尚不清晰地方法和步驟很有可能隨著解題的結(jié)束而消逝，我們教師就失去了建構(gòu)數(shù)學(xué)思想與方法的最佳時機(jī)。在剛才的教學(xué)片段中，兩個學(xué)生通過兩個不同的數(shù)據(jù)得出了同一個答案，此時學(xué)生的思維尚處于一種具體的形象思維階段，還未抽象出結(jié)論。當(dāng)老師追問：“我們所舉的數(shù)據(jù)不同，而結(jié)果卻相同。對此你有沒有受到什么啟發(fā)？”學(xué)生的思維頓時活躍起來，他們通過比較、猜想、抽象、概括，思維向縱深推進(jìn)，由具體走向了抽象，得到了有效地拓展和提升。在解決完整個問題以后，我又一次組織學(xué)生反省解題過程，讓學(xué)生回憶與梳理，提煉與概括這些即使的、感性的經(jīng)驗，使之系統(tǒng)化、條理化，進(jìn)而讓學(xué)生建構(gòu)自己的數(shù)學(xué)方法和思想。

二、分層要求，全體的發(fā)展

此題的深度開發(fā)滿足了部分學(xué)有余力學(xué)生的探究欲和成功欲，他們的思維能得到有效地開發(fā)。但如果就這樣一改了之，對部分學(xué)困生來說會遇到較大的障礙，帶來一些負(fù)面影響。這樣的改編與“促進(jìn)全體學(xué)生的發(fā)展”的理念不符。為保證全體學(xué)生的參與，在出示題目以后，我還做了具體的分層要求：如果你覺得有困難，請完成習(xí)題集中第34頁第3題。在學(xué)生獨立練習(xí)時，我發(fā)現(xiàn)有一部分學(xué)生打開了習(xí)題集，這些學(xué)生在題目的安排下順利解決了問題?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》給我們的教學(xué)指明了方向，標(biāo)準(zhǔn)指出：義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程應(yīng)突出體現(xiàn)基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性，使數(shù)學(xué)教育面向全體學(xué)生，實現(xiàn)“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”。不同的練習(xí)要求，既實現(xiàn)了教學(xué)的基礎(chǔ)性，又較好的體現(xiàn)了發(fā)展性，今后的教學(xué)中，我們要經(jīng)常嘗試這樣的處理，使教學(xué)素材適合、適當(dāng)、適度又不失原意。

參考文獻(xiàn)：

[1]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》