面積法讓你柳暗花明

楊全明　張曉艷

所謂面積法是指借助圖形面積自身相等的性質(zhì)、可拆分的性質(zhì)和可比的性質(zhì)進行解題的一種方法.在中學(xué)階段它是數(shù)學(xué)中一種常用的解題方法，并且具有解題便捷快速、簡單易懂等特點.現(xiàn)分類舉例如下：

一、利用面積自身相等的性質(zhì)解題

例1.如圖，在直角△ABC中，AB=13，AC=12，BC=5，求AB邊上的高CD的長.

小結(jié)：利用圖形面積相等的性質(zhì)解題，就是從不同的角度使用面積公式來表示同一個圖形的面積，列出等式求出未知的量.

二、利用面積的可比性解題

例2.如圖在△ABC中，D是BC上一點，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，DE=DF，求證AB∶AC=BD∶DC

解析：過A做BC上的高AG，過D分別作AB，AC的垂線

由于底邊相等的三角形，高的比等于面積的比

高相等的三角形，底邊的比等于面積的比

所以，S△ABD∶S△ADC=BD∶DC=AB∶AC

小結(jié)：我們知道等底等高的兩三角形的面積相等，等底不等高的兩三角形面積的比等于其對應(yīng)高的比，等高而不等底的兩三角形面積的比等于其對應(yīng)底的比.

三、利用面積的可分性解題

解析：連接PA、PB、PC，由題意得S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC，所以 ■BC·PD+■AC·PE+■AB·PF=■BC·h，又因為AB=AC=BC，

所以，PD+PE+PF=h.

小結(jié)：用面積的可分性解題，一般要將圖形分成若干個小三角形，利用其整體等于部分之和建立關(guān)于條件和結(jié)論的關(guān)系式，從而方便快捷地解決問題.

許多數(shù)學(xué)問題，表面上看來似乎與面積無關(guān)，但靈活運用面積法，往往能使問題順利獲解，下面舉例介紹面積法的巧妙運用，會讓你有柳暗花明之感.

1.如圖，已知在△ABC中，BD∶DC=2∶1，E為AD的中點，連結(jié)BE并延長交AC于F，求AF∶FC.

按以往的解題經(jīng)驗，使用面積法就要先做高.

這道題就向我們反映了使用面積法不必非得做高.

解：連接EC

設(shè)△EDC的面積為x

∵BD∶DC=2∶1

∴△BED的面積為2x

同理：△AEB的面積也等于2x

△AEC的面積為x

設(shè)△EFC的面積為y

則△AEF的面積就是x-y

即：△ABF的面積就是2x+x-y=3x-y 同理，△BFC的面積是3x+y

∴AF∶FC=3x-y∶3x+y

又∵AF∶FC=x-y∶y

故：AF∶FC=x-y∶y=3x-y∶3x+y

化簡：x=5/3y

把x=5/3y帶入AF∶FC=x-y∶y

就得到：AF∶FC=2∶3

我們知道，三角形的面積的求法不只是用底和高那一種，還可以用三角函數(shù)解決.

三角形的面積等于兩邊之積乘以夾角的正弦值。既然三角形的面積我們可以用三角函數(shù)解決，那么在面積比的問題中，是不是也可以借用一下三角函數(shù)呢？

2.例：在矩形ABCD中，有一個菱形BFDE（點E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上），DE2=BD·EF，求證：DF=2AD

解析：易得DE2=2DE2·sin∠EDF

即DF=2AD

面積法雖然在做題中有很多妙用，但一定要分清題目的特征，從題目的已知和所求問題中找到切入點，才能活用.在此中考前夕我寫下此法望能夠起到拋磚引玉之效，望同行斧正.

（作者單位 湖北省鄖西縣店子初級中學(xué)）

？誗編輯 溫雪蓮