納希瞬時(shí)單位線參數(shù)優(yōu)化研究

馬海波 董曉華 劉 冀

（三峽大學(xué) 水利與環(huán)境學(xué)院，湖北 宜昌 443002）

瞬時(shí)單位線由納希1957年提出，指在流域上分布均勻的一個(gè)單位瞬時(shí)脈沖入流，在流域出口斷面所形成的地面徑流過(guò)程線，也就是流域降雨徑流系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)［1－6］.與經(jīng)驗(yàn)單位線相比，瞬時(shí)單位線理論性強(qiáng)，數(shù)學(xué)推導(dǎo)嚴(yán)密，在一定程度上反映了流域的匯流特性，且該單位線只有兩個(gè)參數(shù)，并且適用于資料缺乏地區(qū)，從而利于進(jìn)行流域降雨徑流關(guān)系的理論研究，且模型的地區(qū)綜合實(shí)用性非常強(qiáng)，目前在國(guó)內(nèi)外許多流域都得到了廣泛的應(yīng)用［5，7－8］.

目前納希瞬時(shí)單位線的推求方法主要是采用統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)中的矩法，由于矩法本身受計(jì)算時(shí)段長(zhǎng)度的影響較大，導(dǎo)致利用該方法計(jì)算出來(lái)的瞬時(shí)單位線經(jīng)過(guò)S曲線轉(zhuǎn)換得到的時(shí)段單位線，進(jìn)行還原洪水計(jì)算時(shí)，計(jì)算得到的洪水過(guò)程與實(shí)測(cè)的洪水過(guò)程差別較大，這在很大程度上限制了瞬時(shí)單位線的進(jìn)一步應(yīng)用［8－9］.為了解決這一問(wèn)題，目前有學(xué)者提出了應(yīng)用遺傳算法求解瞬時(shí)單位線的參數(shù)，計(jì)算結(jié)果表明，利用這種方法得到的瞬時(shí)單位線對(duì)地面徑流過(guò)程的還原效果要優(yōu)于應(yīng)用矩法推得的瞬時(shí)單位線還原效果.但是較之矩法，遺傳算法的計(jì)算繁瑣，且計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，計(jì)算效率不高.為了解決目前單位線優(yōu)化方法精度、效率不高的問(wèn)題，本研究擬建立一套對(duì)瞬時(shí)單位線參數(shù)優(yōu)化的方法：即先由矩法分析出參數(shù)的大致取值，然后再由梯度搜索法在參數(shù)的大致取值范圍內(nèi)對(duì)參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，最后通過(guò)實(shí)例分析驗(yàn)證本方法的可靠性.

1 瞬時(shí)單位線的參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題

1.1 由瞬時(shí)單位線計(jì)算S曲線

目前，流域洪水預(yù)報(bào)中常用的納西瞬時(shí)單位線模型為［1，10－11］

式中，u（t）為瞬時(shí)單位線與時(shí)間t相對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)；t為時(shí)間；n，k為模型的兩個(gè)參數(shù)，n的物理意義為瞬時(shí)單位線定義設(shè)定的線性調(diào)解水庫(kù)的個(gè)數(shù)；K的物理意義為瞬時(shí)單位線定義的線性水庫(kù)的傳播時(shí)間；Γ（n）為伽馬函數(shù)，其定義為Γ（n）＝dt；e為自然對(duì)數(shù)的底.

實(shí)際應(yīng)用中，一般是先把瞬時(shí)單位線u（0，t）轉(zhuǎn)化為S（t）曲線，然后由S（t）曲線推求無(wú)因次時(shí)段單位線u（Δt，t），再由無(wú)因次時(shí)段單位線u（Δt，t）推求時(shí)段單位線q（Δt，t），具體推算公式為

本次研究中，對(duì)瞬時(shí)單位線積分在Matlab平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)，Matlab函數(shù)庫(kù)提供了3種用于數(shù)值積分的函數(shù)［12］，分別為梯形法積分函數(shù)（trapz）、Simpson遞歸法積分函數(shù)（quad）以及Lobatto積分法函數(shù)（quadl），其中Lobatto積分法較之前兩種積分方法精度更高.故本次研究采用Lobatto積分法進(jìn)行計(jì)算，具體算法實(shí)現(xiàn)為

1）建立瞬時(shí)單位線函數(shù)

function y＝iuh（u）

n＝2.07；

y＝1／gamma（n）＊u.＾（n－1）.＊exp（－u）

2）對(duì)瞬時(shí)單位線進(jìn)行積分

st（j，1）＝ quadl（＇iuh＇，a，b）

式中，j為單位線時(shí)段數(shù)，a，b為積分上下限.當(dāng)S（j，1）≥0.999 9時(shí)，可停止計(jì)算，此時(shí)，由于S曲線的最大值為1［6］，因此當(dāng)積分計(jì)算停止時(shí)，若S曲線的最大值為1，則此積分結(jié)果即為S曲線；若S曲線的最大值不為1，則可在S曲線的尾部再加上一個(gè)數(shù)值1即得到最終的瞬時(shí)單位線的S曲線.

1.2 由S曲線推求時(shí)段單位線

式中，S（t－Δt）是由S（t）向后錯(cuò)Δt時(shí)間（凈雨時(shí)段長(zhǎng)）.

式中，q（Δt，t）為時(shí)段長(zhǎng)為Δt的時(shí)段單位線（m3／s）；F為流域面積（km2）.

設(shè)h（t）為地面凈雨過(guò)程，則由（4）式求得的時(shí)段單位線，可還原地面徑流過(guò)程Q（t）為

式中，hj為第j個(gè)時(shí)段的凈雨，k1、k2為對(duì)流域出口斷面流量有影響的凈雨時(shí)段的累積上下限，其值取決于地面徑流時(shí)序t與凈雨時(shí)段數(shù)m以及單位線時(shí)段數(shù)n之間的大小關(guān)系，即

1.3 匯流模型優(yōu)化問(wèn)題的提出

由于實(shí)際洪水預(yù)報(bào)中，一般對(duì)洪峰點(diǎn)附近的預(yù)報(bào)精度要求較高，因此，本研究以流域出口斷面實(shí)測(cè)流量與用瞬時(shí)單位線還原流量之間的加權(quán)殘差絕對(duì)值最小為原則，建立最優(yōu)化問(wèn)題來(lái)估計(jì)瞬時(shí)單位線的兩個(gè)參數(shù)，該最優(yōu)化問(wèn)題可以表述為

式中，Qc（t）為用瞬時(shí)單位線還原計(jì)算得到的流域出口斷面流量過(guò)程，Qs（t）為實(shí)測(cè)的流域出口斷面流量過(guò)程，w（t）為權(quán)函數(shù).

該優(yōu)化問(wèn)題用常規(guī)方法處理很困難，首先借助矩法對(duì)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行確定，然后再由梯度搜索法求解該最優(yōu)化問(wèn)題［13－14］.

2 應(yīng)用實(shí)例

表1 某站的凈雨過(guò)程、實(shí)測(cè)和還原徑流過(guò)程

圖1 瞬時(shí)單位線還原徑流過(guò)程圖

從表1及圖1可以看出，梯度搜索法優(yōu)化得到的瞬時(shí)單位線以及由矩法得到的瞬時(shí)單位線還原徑流過(guò)程與實(shí)測(cè)徑流過(guò)程絕對(duì)誤差加權(quán)之和分別為32和43，且在洪峰附近，梯度搜索法較之矩法還原的精度更高，矩法在洪峰處的還原的相對(duì)誤差為10.45，而梯度搜索法的相對(duì)誤差僅為3.85%，這對(duì)于在實(shí)際的洪水預(yù)報(bào)中準(zhǔn)確預(yù)報(bào)洪峰值具有重要意義.

3 結(jié) 論

鑒于應(yīng)用矩法得到的瞬時(shí)單位線還原洪水過(guò)程時(shí)，還原的洪水過(guò)程與同次實(shí)測(cè)洪水過(guò)程擬合效果不佳，尤其是洪峰處的擬合效果較差的現(xiàn)象，本文提出了參數(shù)優(yōu)選的最優(yōu)化模型，并提出了在應(yīng)用矩法得出基本參數(shù)的基礎(chǔ)上，用梯度搜索法來(lái)求解最優(yōu)化問(wèn)題的一套優(yōu)化瞬時(shí)單位線的方法.實(shí)例研究結(jié)果表明，該方法的計(jì)算精度高于矩法，能夠得到基本反映流域匯流特性的瞬時(shí)單位線.在Matlab平臺(tái)上，通過(guò)應(yīng)用Lobatto積分法對(duì)瞬時(shí)單位線進(jìn)行積分來(lái)求解S曲線，進(jìn)而推求時(shí)段單位線.這種方法避免了用近似數(shù)值公式以及查表帶來(lái)的誤差和不便，提高了計(jì)算效率.

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