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      再談圓錐曲線與通徑有關(guān)的一個統(tǒng)一性質(zhì)的證明

      2014-10-20 13:26孫占青包虎
      考試周刊 2014年71期
      關(guān)鍵詞:準(zhǔn)線極坐標(biāo)通徑

      孫占青+++包虎

      文獻(xiàn)[1]給出了圓錐曲線與通徑有關(guān)的一個統(tǒng)一性質(zhì),即:性質(zhì)1—3,在此基礎(chǔ)上歸納出如下定理:

      定理:已知圓錐曲線C,點Q是過焦點F的通徑的一個端點,點P是曲線C上的任意一點,點P在過焦點F所在的對稱軸上的射影為點M,曲線C在點Q處的切線與直線PM交于點N,則|PF|=|MN|.

      文獻(xiàn)[1]中只對圓錐曲線C分別為橢圓、雙曲線、拋物線的情形下分別給出了性質(zhì)1—3的證明,對定理沒有給出統(tǒng)一證明.下面用極坐標(biāo)給出定理的統(tǒng)一證明.

      證法1:如圖所示,以焦點F為極點,過焦點F與準(zhǔn)線n垂直的直線為極軸,建立極坐標(biāo)系,設(shè)圓錐曲線的離心率為e,焦點到準(zhǔn)線的距離為p,點E的極坐標(biāo)為(-p,0)

      則圓錐曲線的方程為■=e ①

      當(dāng)θ=■時,得Q點坐標(biāo)(ep,■),設(shè)過QE的直線上任意一點的極坐標(biāo)為(ρ,θ),

      則直線QE的方程為■=e ②

      聯(lián)立①②,解得sinθ=1,所以θ=■,ρ=ep,即直線EQ與圓錐曲線C只有一個公共點(ep,■),這說明直線EQ是圓錐曲線C在點Q處的切線。

      由△EFQ~△EMN,可得■=■=e, 所以|MN|=e|ME|=|PF|.

      證法2:先求直線l的極坐標(biāo)方程,設(shè)極點F到直線l的距離為d,由F向直線l作垂線FA,垂足為A,由極軸Fx到直線FA的角度為α,則直線l的極坐標(biāo)方程為

      ρ=■,

      當(dāng)直線l過Q(ep,■)時,得ep=■=■,

      所以直線l的方程可化為

      ρ=■.

      又曲線C的極坐標(biāo)方程為■=e,

      當(dāng)直線l為曲線C在Q點處的切線時,方程組■=eρ=■只有一個解,

      消去ρ,并化簡得sinα=(esinα+cosα)cosθ+sinαsinθ.

      此方程有且僅有一個解的充要條件是

      sin■α=(esinα+cosα)■+sin■α,

      所以esinα=-cosα.

      于是,直線l的方程再次化簡為

      ρ=-■,當(dāng)θ=π時,解得ρ=-p.

      所以曲線C在Q點處的切線經(jīng)過準(zhǔn)線n與極軸Fx所在直線的交點E.

      由△EFQ~△EMN,可得■=■=e, 得|MN|=e|ME|,

      又P為圓錐曲線C的點,|PF|=e|ME|,

      所以|MN|=|PF|.

      參考文獻(xiàn):

      [1]彭世金.圓錐曲線與通徑有關(guān)的一個統(tǒng)一性質(zhì).數(shù)學(xué)通訊,2010(8下半月).

      [2]高存明,主編.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書(數(shù)學(xué)).選修4—4.人民教育出版社,2007.endprint

      文獻(xiàn)[1]給出了圓錐曲線與通徑有關(guān)的一個統(tǒng)一性質(zhì),即:性質(zhì)1—3,在此基礎(chǔ)上歸納出如下定理:

      定理:已知圓錐曲線C,點Q是過焦點F的通徑的一個端點,點P是曲線C上的任意一點,點P在過焦點F所在的對稱軸上的射影為點M,曲線C在點Q處的切線與直線PM交于點N,則|PF|=|MN|.

      文獻(xiàn)[1]中只對圓錐曲線C分別為橢圓、雙曲線、拋物線的情形下分別給出了性質(zhì)1—3的證明,對定理沒有給出統(tǒng)一證明.下面用極坐標(biāo)給出定理的統(tǒng)一證明.

      證法1:如圖所示,以焦點F為極點,過焦點F與準(zhǔn)線n垂直的直線為極軸,建立極坐標(biāo)系,設(shè)圓錐曲線的離心率為e,焦點到準(zhǔn)線的距離為p,點E的極坐標(biāo)為(-p,0)

      則圓錐曲線的方程為■=e ①

      當(dāng)θ=■時,得Q點坐標(biāo)(ep,■),設(shè)過QE的直線上任意一點的極坐標(biāo)為(ρ,θ),

      則直線QE的方程為■=e ②

      聯(lián)立①②,解得sinθ=1,所以θ=■,ρ=ep,即直線EQ與圓錐曲線C只有一個公共點(ep,■),這說明直線EQ是圓錐曲線C在點Q處的切線。

      由△EFQ~△EMN,可得■=■=e, 所以|MN|=e|ME|=|PF|.

      證法2:先求直線l的極坐標(biāo)方程,設(shè)極點F到直線l的距離為d,由F向直線l作垂線FA,垂足為A,由極軸Fx到直線FA的角度為α,則直線l的極坐標(biāo)方程為

      ρ=■,

      當(dāng)直線l過Q(ep,■)時,得ep=■=■,

      所以直線l的方程可化為

      ρ=■.

      又曲線C的極坐標(biāo)方程為■=e,

      當(dāng)直線l為曲線C在Q點處的切線時,方程組■=eρ=■只有一個解,

      消去ρ,并化簡得sinα=(esinα+cosα)cosθ+sinαsinθ.

      此方程有且僅有一個解的充要條件是

      sin■α=(esinα+cosα)■+sin■α,

      所以esinα=-cosα.

      于是,直線l的方程再次化簡為

      ρ=-■,當(dāng)θ=π時,解得ρ=-p.

      所以曲線C在Q點處的切線經(jīng)過準(zhǔn)線n與極軸Fx所在直線的交點E.

      由△EFQ~△EMN,可得■=■=e, 得|MN|=e|ME|,

      又P為圓錐曲線C的點,|PF|=e|ME|,

      所以|MN|=|PF|.

      參考文獻(xiàn):

      [1]彭世金.圓錐曲線與通徑有關(guān)的一個統(tǒng)一性質(zhì).數(shù)學(xué)通訊,2010(8下半月).

      [2]高存明,主編.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書(數(shù)學(xué)).選修4—4.人民教育出版社,2007.endprint

      文獻(xiàn)[1]給出了圓錐曲線與通徑有關(guān)的一個統(tǒng)一性質(zhì),即:性質(zhì)1—3,在此基礎(chǔ)上歸納出如下定理:

      定理:已知圓錐曲線C,點Q是過焦點F的通徑的一個端點,點P是曲線C上的任意一點,點P在過焦點F所在的對稱軸上的射影為點M,曲線C在點Q處的切線與直線PM交于點N,則|PF|=|MN|.

      文獻(xiàn)[1]中只對圓錐曲線C分別為橢圓、雙曲線、拋物線的情形下分別給出了性質(zhì)1—3的證明,對定理沒有給出統(tǒng)一證明.下面用極坐標(biāo)給出定理的統(tǒng)一證明.

      證法1:如圖所示,以焦點F為極點,過焦點F與準(zhǔn)線n垂直的直線為極軸,建立極坐標(biāo)系,設(shè)圓錐曲線的離心率為e,焦點到準(zhǔn)線的距離為p,點E的極坐標(biāo)為(-p,0)

      則圓錐曲線的方程為■=e ①

      當(dāng)θ=■時,得Q點坐標(biāo)(ep,■),設(shè)過QE的直線上任意一點的極坐標(biāo)為(ρ,θ),

      則直線QE的方程為■=e ②

      聯(lián)立①②,解得sinθ=1,所以θ=■,ρ=ep,即直線EQ與圓錐曲線C只有一個公共點(ep,■),這說明直線EQ是圓錐曲線C在點Q處的切線。

      由△EFQ~△EMN,可得■=■=e, 所以|MN|=e|ME|=|PF|.

      證法2:先求直線l的極坐標(biāo)方程,設(shè)極點F到直線l的距離為d,由F向直線l作垂線FA,垂足為A,由極軸Fx到直線FA的角度為α,則直線l的極坐標(biāo)方程為

      ρ=■,

      當(dāng)直線l過Q(ep,■)時,得ep=■=■,

      所以直線l的方程可化為

      ρ=■.

      又曲線C的極坐標(biāo)方程為■=e,

      當(dāng)直線l為曲線C在Q點處的切線時,方程組■=eρ=■只有一個解,

      消去ρ,并化簡得sinα=(esinα+cosα)cosθ+sinαsinθ.

      此方程有且僅有一個解的充要條件是

      sin■α=(esinα+cosα)■+sin■α,

      所以esinα=-cosα.

      于是,直線l的方程再次化簡為

      ρ=-■,當(dāng)θ=π時,解得ρ=-p.

      所以曲線C在Q點處的切線經(jīng)過準(zhǔn)線n與極軸Fx所在直線的交點E.

      由△EFQ~△EMN,可得■=■=e, 得|MN|=e|ME|,

      又P為圓錐曲線C的點,|PF|=e|ME|,

      所以|MN|=|PF|.

      參考文獻(xiàn):

      [1]彭世金.圓錐曲線與通徑有關(guān)的一個統(tǒng)一性質(zhì).數(shù)學(xué)通訊,2010(8下半月).

      [2]高存明,主編.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書(數(shù)學(xué)).選修4—4.人民教育出版社,2007.endprint

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