立體幾何教學中培養(yǎng)學生解題反思能力的研究

彭春梅

立體幾何是高中數(shù)學的一個重要內(nèi)容，也是學生學習的難點之一。從2007年至2012年全國高考數(shù)學試卷來看，每年高考試卷都會至少出現(xiàn)三道立體幾何題（選擇、填空、解答各一題）共22分，但根據(jù)統(tǒng)計，以2012年高考為例，立體幾何大題滿分12分，理科的平均分是3.33分，文科是2.98分，得分率在整個廣西都比較低，說明立體幾何的解題能力特別是解答題存在很大問題。如何解決立體幾何解題的困難呢？筆者在平時立體幾何教學過程中發(fā)現(xiàn)很多學生都是在盲目地機械做題，老師反復講的題型拿在手上還是不懂如何入手，究其原因是學生沒有把立體幾何相關的公理定理理解好，題型的方法沒有真正吃透，只是生搬硬套。解決這些問題需要在立體幾何解題教學中培養(yǎng)學生解題反思能力。荷蘭數(shù)學家與數(shù)學教育家弗賴登塔爾認為，“反思是數(shù)學思維活動的核心與動力”，反思是數(shù)學創(chuàng)新思維發(fā)生的必要條件。那么，怎樣才能培養(yǎng)學生立體幾何解題反思能力呢？ 本人結(jié)合立體幾何教學經(jīng)驗進行了如下幾方面的探討。

一、立體幾何定理公理教學中培養(yǎng)學生的反思能力

立體幾何里面的重要的公理定理很多，能不能理解好它是能不能用于解立體幾何題的關鍵，很多學生對于公理定理多半都是停留在機械記憶和想當然的層面上，很少學生會反思公理定理的本質(zhì)反應的是什么，是用于解決什么問題才用的，所以導致很多學生公理定理記住了但是不懂怎么用。以面面垂直的判定定理為例，一個面如果過另外一個面的垂線，那么這兩個面相互垂直。學生都知道這個定理是用于證明面面垂直的，但是怎么用？定理的實質(zhì)是什么？這需要教師在教學時引導學生挖掘定理的內(nèi)涵和外延，讓學生用自己的語言來理解，即要證明兩個平面垂直就要證明在這兩個平面中的一個面內(nèi)有一條直線和另一個平面垂直，或者先找出一個平面的垂直再使得另外一個平面經(jīng)過這條線。由此培養(yǎng)學生對概念公理定理的反思能力，以便更好的運用它來解題。

二、通過立體幾何題專題課總結(jié)概括反思數(shù)學思想方法，舉一反三

在實際解題過程中，學生總是根據(jù)問題的具體情景來決定解題方法，這種方法就要受具體情景的制約。如果不對它進行提煉、概括，它的適用范圍就有局限，不易產(chǎn)生遷移。因此應在解題后讓學生反思解題過程，分析具體方法中包含的數(shù)學思想方法。在反思問題設計時，應該考慮讓學生對具體方法進行再加工，提出提煉數(shù)學思想方法的任務。這樣可以把解決問題的數(shù)學思想方法及對問題的再認識轉(zhuǎn)化為一個學習過程，從而提高學生分析問題、解決問題的能力，達到融會貫通的境界。

教學片斷：

（1）開門見山，展示例題

已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，求點B1到截面BDC1的距離。

（2）協(xié)作交流，探究問題的基本解法

師：求點面距離的實質(zhì)是什么呢？

生：過該點向所求平面作垂線，垂足與該點的線段長度就是點到面。

師：過點向所求平面作垂線，可以從哪里著手？

生：垂足位置。

師：垂足的具體位置在哪里？請同學們思考。

（學生紛紛拿出紙筆畫出了立體圖形）

師：（幾分鐘后）同學們找到了垂足的具體位置沒有？

生：在平面BDC1與平面BCC1B1的交線上。

師：為什么？

生：根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可以知道。

（3）窮追不舍，反思問題的其他解法

師：解決一個問題的關鍵是要找到問題的突破口，上面的解法是從垂足位置著手，那么能否避開垂足位置從別的地方著手呢？

（學生思考，沉默。）

師：（趁熱打鐵提示學生）我們所學知識里面還有哪個只是含有點到面距離的？

生：體積。

師：可是求體積沒有方程怎么解出高？

生：三棱錐不管用那個點為頂點體積不變即VB1-BDC1=VC1BDB1即可找到答案。

（眾生頓悟：原來點面距離未必要找出垂足位置。）

（5）回顧反思，總結(jié)解題方法

師：讓我們來總結(jié)一下，求點面距離有哪幾種方法？

生：等積變換法。

師：等積變換法的好處是什么？

生：可以避免尋找垂足位置。

師：如果要尋找垂足位置，有什么方法可幫助我們尋找。

生：尋找已知平面的垂直平面。

師：能給這個方法起個名字嗎？

生：叫垂面法吧！

師：如果我的問題不是問點B1到面BDC1的距離，而是問B1B與面BDC1的角，怎么求？線面角的實質(zhì)是什么？

生：根據(jù)線面角的定義只要求出斜線段長和斜線段上一點到面的距離即可。

師：那和我們上面求點到面的距離有什么聯(lián)系？

生：實質(zhì)是一樣的，關鍵都是點面距離。

師：很好，著名數(shù)學家、教育家波利亞說過：“如果沒有反思，他們就錯過了解題的一次重要而有效益的方面?！币虼?，我們在解決一個問題時，要從多角度分析，多方面反思，這樣就可以舉一反三提高解立體幾何題的能力了。

3.還課堂給學生，讓他們有反思的時間和空間。

上立體幾何課，教師往往感覺到?jīng)]有講多少個題就下課了，時間很緊，既要畫圖又要分析，手忙腳亂。學生也是聽得一頭霧水，收獲甚小，還沒有領會這個題目的思想方法是什么，就已經(jīng)結(jié)束了。從上面的教學片斷看，筆者留給了學生思考的時間和空間，讓學生理解了方法的本質(zhì)，歸納了解此類題的方法，發(fā)散了另外的一類題型，最后又回到此題的本質(zhì)上來，這便使得學生真正掌握了點面距離線面角這兩類題型，把課堂真正還給學生，從而讓他們有反思的時間與空間。

4.加強對學生反思活動的監(jiān)督。

在培養(yǎng)學生解題反思的過程中，教師還要對學生學習的實際情況進行適當?shù)谋O(jiān)督，這也是培養(yǎng)學生解題反思能力過程中不可或缺的一環(huán)。例如在筆者的實際教學過程中，精心挑選課后作業(yè)進行批改，在講評的時候把學生不同的做法進行展示，歸納總結(jié)，完成后要求學生必須定期就自己的解題反思過程用日記、錯題本或者其他形式記錄下來并定期檢查。后來的實踐結(jié)果證明這種方式收到了非常好的效果，學生再遇到類似問題時的出錯率大大降低，學生的立體幾何解題能力也得到了較大的提高。

總之，數(shù)學的習題千變?nèi)f化，在教學過程中，教師要善于引導學生作題后反思，讓學生在解題反思中領悟數(shù)學思想方法、數(shù)學文化與數(shù)學精神，優(yōu)化解題方法，提高能力。

參考文獻

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（責任編輯韋淑紅）endprint