將軍飲馬之“兩動(dòng)點(diǎn)一定長(zhǎng)平移型”問題

王歡

提起將軍飲馬，不由得讓人想起《古從軍行》的經(jīng)典詩句“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，隨著時(shí)間的推移，它也逐漸演變成了數(shù)學(xué)當(dāng)中求路徑最短、線段和差最值的一種解題策略.在中考中，將軍飲馬有許多種變化，下面重點(diǎn)解析“兩動(dòng)點(diǎn)一定長(zhǎng)平移型”問題.

一、模型引入

例1 如圖1，將軍在點(diǎn)A處，現(xiàn)在將軍要帶馬去河邊喝水，并沿著河岸走一段路（長(zhǎng)度固定），再返回點(diǎn)B處的軍營(yíng)，問怎么走路程最短？

問題簡(jiǎn)化：已知A，B兩點(diǎn)，MN長(zhǎng)度為定值，請(qǐng)確定點(diǎn)M，N的位置使得AM + MN + NB值最小.

解析：考慮到MN為定值，故只要AM + BN值最小即可. 如圖2，將AM平移到A'N使M，N重合，則AM = A'N，將AM + BN轉(zhuǎn)化為A'N + NB. 如圖3，構(gòu)造點(diǎn)A'關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A[″]，連接A[″]B，即可依次確定N，M的位置. 則最短路線為圖3中的A—M—N—B.

小結(jié)：上述解題策略可分為三步進(jìn)行：轉(zhuǎn)化——將三條線段和轉(zhuǎn)化為兩條線段和，達(dá)到簡(jiǎn)化目的;平移——讓本無交集的兩條線段有公共端點(diǎn);對(duì)稱——依據(jù)兩點(diǎn)間線段最短找到準(zhǔn)確位置求解.其中轉(zhuǎn)化是第一步，對(duì)稱和平移的先后順序可以調(diào)換，對(duì)象既可以是A也可以是B.

二、典例剖析

例2 （2019·遼寧·沈陽）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y = ax2 + bx + 2（a ≠ 0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過點(diǎn)D（-2，-3）和點(diǎn)E（3，2），點(diǎn)P是第一象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）求直線DE和拋物線的解析式;

（2）在y軸上取點(diǎn)F（0，1），連接PF，PB，當(dāng)四邊形OBPF的面積是7時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，直線DE上存在兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方），且MN = 2[2]，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)P出發(fā)，沿P—M—N—A的路線運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)A，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路程最短時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo).

分析：第（3）問，過點(diǎn)M作A′M∥AN，作點(diǎn)A′關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)A″，連接PA″交直線DE于點(diǎn)M，此時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程最短，即可求解.

解：（1）直線DE的解析式為y = x - 1，

拋物線的解析式為y = -[12]x2 + [32]x + 2;

（2）點(diǎn)P（2，3）或[32 ，258].

（3）當(dāng)點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3），

如圖5，過點(diǎn)M作A′M∥AN，作點(diǎn)A'關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)A″，連接PA″交直線DE于點(diǎn)M，此時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程最短，

∵M(jìn)N = 2[2]，故將點(diǎn)A向上、向右分別平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得點(diǎn)A'，故點(diǎn)A′坐標(biāo)為（1，2），

由A′A″⊥DE，可得直線A'A[″]的解析式為：y = -x + 3，

聯(lián)立直線A'A″和直線DE的解析式，得x = 2，則A′A″中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，點(diǎn)A″坐標(biāo)為（3，0），

可得直線PA″的解析式為y = -3x + 9，

聯(lián)立直線PA″和直線DE的解析式，解得x = [52]，∴點(diǎn)M坐標(biāo)為[52，32]，

將點(diǎn)M沿ED向下平移2[2]個(gè)單位長(zhǎng)度得N [12，-12].

即點(diǎn)N坐標(biāo)為[12，-12].

三、變式訓(xùn)練

例3 如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)B在原點(diǎn)，點(diǎn)A，C在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，4），E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q為邊BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ = 2，要使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)應(yīng)為.

解析：考慮到PQ，AE為定值，故只要AP + QE最小即可，

如圖7，將AP平移至A'Q，探究A'Q + QE的最小值.

作點(diǎn)A'關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A″，連接A″E，與x軸交點(diǎn)即為Q點(diǎn)，將點(diǎn)Q向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度即得P點(diǎn).

答案：[83 ，0].

四、解題規(guī)律

對(duì)于此類“兩動(dòng)點(diǎn)一定長(zhǎng)平移型”將軍飲馬問題，解決策略是：定點(diǎn)沿河平移定長(zhǎng)——作對(duì)稱點(diǎn)——連接異側(cè)兩定點(diǎn)——平移動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)連線上.解決問題的中心思想是“轉(zhuǎn)化”，利用平移、對(duì)稱等圖形變換將兩條線段轉(zhuǎn)化為有公共端點(diǎn)的線段，將折線轉(zhuǎn)化為直線，利用兩點(diǎn)間線段最短找到動(dòng)點(diǎn)，進(jìn)而求出最短距離.

（作者單位：沈陽市渾南區(qū)第五中學(xué)）