基于積分- 積分判據(jù)的電力設(shè)備IOS分析及應(yīng)用實(shí)例

秦博宇,張雪敏,魏東寧

（清華大學(xué) 電機(jī)系 電力系統(tǒng)及發(fā)電設(shè)備控制和仿真國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100084）

0 引言

輸入-狀態(tài)穩(wěn)定（ISS）理論是由Eduardo D.Sontag和Yuan Wang等學(xué)者提出的，將狀態(tài)空間穩(wěn)定理論與輸入輸出穩(wěn)定理論結(jié)合起來。通過研究“分解”的子系統(tǒng)的穩(wěn)定屬性判斷互聯(lián)系統(tǒng)的穩(wěn)定性[1]，為網(wǎng)絡(luò)的快速重構(gòu)和緊急控制提供方便的穩(wěn)定估計(jì)是該方法的重要優(yōu)點(diǎn)。ISS理論已經(jīng)在編隊(duì)控制[2]、化工過程分析[3]、模型簡化[4]以及控制器設(shè)計(jì)[5-6]、航天器姿態(tài)控制[7]、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)[8]等方面得到了應(yīng)用，顯示出了廣闊的應(yīng)用前景。

電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定分析的基本方法可以分為2類，即時(shí)域仿真法和暫態(tài)能量函數(shù)法。電力系統(tǒng)的高維性和強(qiáng)非線性特性將導(dǎo)致時(shí)域仿真法的計(jì)算量大，耗時(shí)長。文獻(xiàn)[9-10]將半張量積方法推廣和應(yīng)用于獨(dú)立電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定分析問題，通過多項(xiàng)式近似系統(tǒng)求出了獨(dú)立電力系統(tǒng)的穩(wěn)定域。然而獨(dú)立電力系統(tǒng)具有網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涠嘧?、單個(gè)設(shè)備模型復(fù)雜、存在外部持續(xù)擾動(dòng)等特點(diǎn)，只研究不含擾動(dòng)、初值給定的系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性并不能滿足實(shí)際工程要求。因此有必要引入ISS理論來分析獨(dú)立電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

文獻(xiàn)[11]指出利用ISS理論可通過子系統(tǒng)的穩(wěn)定性判斷互聯(lián)后系統(tǒng)的穩(wěn)定性，這對(duì)于獨(dú)立電力系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和運(yùn)行具有重要意義。而如何得到設(shè)備的ISS屬性是其基礎(chǔ)。對(duì)于子系統(tǒng)ISS屬性的分析，關(guān)鍵在于如何估計(jì)增益函數(shù)。在現(xiàn)有研究中，一般是通過人工觀察法得到，這給該理論的應(yīng)用帶來了不便。文獻(xiàn)[12]研究了局部ISS屬性、局部ISS-Lyapunov函數(shù)以及局部小增益條件，該研究使得ISS理論更接近工程實(shí)際。文獻(xiàn)[13-16]介紹了一種基于子系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型分析ISS屬性的算法，但由于實(shí)際系統(tǒng)難以精確建模，對(duì)于規(guī)模較大的系統(tǒng)難以降階，數(shù)學(xué)模型不易考慮實(shí)際系統(tǒng)中的限幅環(huán)節(jié)等原因，該方法具有一定的保守性。文獻(xiàn)[17]介紹了一種基于試驗(yàn)測(cè)定系統(tǒng)L2增益的方法，其提出利用優(yōu)化算法修正輸入信號(hào)以減少量測(cè)噪聲的影響。文獻(xiàn)[18]給出了ISS理論的等價(jià)形式——積分-積分估計(jì)。對(duì)于一個(gè)ISS的子系統(tǒng)，可以用這2種等價(jià)的定義形式進(jìn)行增益函數(shù)的估計(jì)，但目前尚無文獻(xiàn)討論哪種定義形式易于估計(jì)增益函數(shù)、哪種定義形式估計(jì)誤差小。

本文首先介紹ISS的基本概念，給出基于積分-積分估計(jì)的ISS的等價(jià)定義式。為避免實(shí)際系統(tǒng)建模的復(fù)雜性，利用仿真分析子系統(tǒng)的ISS屬性，根據(jù)實(shí)際物理系統(tǒng)選取幾組典型的信號(hào)作為干擾輸入，利用PSCAD仿真軟件對(duì)發(fā)電機(jī)、電動(dòng)機(jī)子系統(tǒng)的穩(wěn)定屬性進(jìn)行估計(jì)。最后，通過仿真分析L∞范數(shù)形式和積分-積分估計(jì)形式的增益函數(shù)對(duì)于不同類型的輸入信號(hào)的適應(yīng)性。

1 ISS基本概念

1.1 局部輸入-狀態(tài)穩(wěn)定（LISS）和LIOS的L∞范數(shù)定義

首先介紹文中出現(xiàn)的3類函數(shù)的概念。

K類函數(shù)：

K：=｛θ：R+0R+0連續(xù)，嚴(yán)格單增，θ（0）=0｝

K∞：=｛θ∈K無界｝

KL：=｛σ：R+0×R+0R+0連續(xù)，對(duì)一固定t≥0，

σ（·，t）∈K；對(duì)一固定 s≥0，σ（s，·）隨 t∞，

嚴(yán)格衰減至0｝

定義1[14]對(duì)系統(tǒng)

若存在βISS∈KL，γISS∈K∞，ρ＞0，對(duì)任意有：

則稱系統(tǒng)式（1）LISS。其中，x0為系統(tǒng)狀態(tài)變量的初值；‖u‖為該系統(tǒng)的輸入的無窮范數(shù)；γISS為系統(tǒng)式（1）的輸入-狀態(tài)增益。

定義2[14]對(duì)系統(tǒng)

若存在 βIOS∈KL，γIOS∈K∞，ρ＞0，對(duì)任意，‖u‖≤ρ有：

則稱系統(tǒng)式（3）局部輸入-輸出穩(wěn)定（LIOS）。其中，γIOS為系統(tǒng)式（3）的輸入-輸出增益。

1.2 積分-積分估計(jì)

文獻(xiàn)[18]給出了ISS的等價(jià)形式，即積分-積分判據(jù)。

定義3[18]對(duì) 于任何一個(gè)初始狀態(tài)x0以及輸入u，系統(tǒng)滿足不等式

則稱系統(tǒng)滿足積分-積分估計(jì)。 其中，α，α0，γ∈K∞。

定理1[18]一個(gè)系統(tǒng)是ISS的當(dāng)且僅當(dāng)它滿足積分-積分估計(jì)。

因此，可以用式（5）代替ISS的定義式，以積分能量衡量信號(hào)的大小。那么，子系統(tǒng)式（3）滿足LISS和 LIOS 可表示為：存在 α，α0，γ∈K∞，Xlim＞0，Ulim＞0，對(duì)任意，有：

2 積分能量的計(jì)算

第1節(jié)介紹了ISS理論的等價(jià)形式（積分-積分估計(jì)），利用積分衡量輸入與輸出的大小，如何計(jì)算輸入、輸出的能量是關(guān)鍵所在。本節(jié)將對(duì)比2種積分能量的表達(dá)式：平衡點(diǎn)型積分能量函數(shù)、穩(wěn)態(tài)運(yùn)行區(qū)間型積分能量函數(shù)。

2.1 平衡點(diǎn)型積分能量函數(shù)

基于Lyapunov穩(wěn)定理論的暫態(tài)穩(wěn)定分析方法是系統(tǒng)安全分析和控制的重要基礎(chǔ)。其以平衡點(diǎn)作為參考，實(shí)際工程中最關(guān)心的是當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)能否回到平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，即，其中為平衡點(diǎn)。 類似地，可定義以下積分能量：

其中，ue、xe、ye分別為子系統(tǒng)輸入、狀態(tài)變量以及輸出的平衡點(diǎn)。

參考平衡點(diǎn)計(jì)算積分能量會(huì)帶來以下問題：

a.實(shí)際系統(tǒng)隨著運(yùn)行工況的變化，其平衡點(diǎn)也在不斷變化，若給定每個(gè)子系統(tǒng)固定的平衡點(diǎn)，在互聯(lián)條件改變時(shí)，平衡點(diǎn)的變化將導(dǎo)致積分趨于無窮；

b.若希望計(jì)算得到子系統(tǒng)的準(zhǔn)確平衡點(diǎn)，則需要知道互聯(lián)系統(tǒng)的具體形式，進(jìn)而根據(jù)互聯(lián)系統(tǒng)求得子系統(tǒng)當(dāng)前工況下的平衡點(diǎn)，如此ISS理論希望將子系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析與互聯(lián)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析解耦的思路難以實(shí)施；

c.實(shí)際系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)在平衡點(diǎn)處會(huì)出現(xiàn)小幅振蕩，而不會(huì)嚴(yán)格等于平衡點(diǎn)的值，因此參考平衡點(diǎn)進(jìn)行積分，在穩(wěn)態(tài)情況下由于系統(tǒng)狀態(tài)小幅振蕩的緣故，積分能量會(huì)持續(xù)上漲，可能對(duì)計(jì)算結(jié)果有影響。

2.2 穩(wěn)態(tài)運(yùn)行區(qū)間型積分能量函數(shù)

基于第2.1節(jié)的分析，可以考慮改變計(jì)算積分的方式。實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)行中，經(jīng)常利用反時(shí)限保護(hù)裝置對(duì)系統(tǒng)的異常狀態(tài)作出響應(yīng)。國內(nèi)外常用的反時(shí)限過電流保護(hù)的通用數(shù)學(xué)模型的基本形式為[19]：

其中，I為故障電流；Ip為保護(hù)啟動(dòng)電流；r為常數(shù)，取值通常在0～2之間；k為時(shí)間整定系數(shù)，單位為s。

當(dāng)I＜Ip時(shí)，設(shè)備可以長時(shí)間連續(xù)運(yùn)行；假設(shè)r=1，當(dāng) I＞Ip時(shí)，由式（7）可得 （I-Ip）t=kIp，等式右端為一常數(shù)，左端表示了過電流大小與時(shí)間成反比。如果考慮動(dòng)態(tài)過程，可得到如下積分形式：

當(dāng)t=tp時(shí)，認(rèn)為保護(hù)裝置動(dòng)作。

綜上，實(shí)際保護(hù)裝置存在一個(gè)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行區(qū)間，系統(tǒng)狀態(tài)變量在此區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)可以連續(xù)運(yùn)行，當(dāng)變量偏離穩(wěn)態(tài)運(yùn)行區(qū)間時(shí)，偏離程度越大，則允許運(yùn)行時(shí)間越短。這不僅反映了變量的幅值信息，還反映了變量持續(xù)時(shí)間長短帶來的影響，因此可以利用積分來近似這一過程。規(guī)定系統(tǒng)狀態(tài)變量的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行區(qū)間，若系統(tǒng)運(yùn)行過程中某些狀態(tài)變量超出穩(wěn)態(tài)運(yùn)行區(qū)間，則視為非正常狀態(tài)，保護(hù)裝置響應(yīng)，即開始積分，該積分能量表示系統(tǒng)在非正常狀態(tài)下的能量積累過程。例如，規(guī)定系統(tǒng)電壓穩(wěn)態(tài)運(yùn)行區(qū)間為[0.9，1.1]p.u.，保護(hù)裝置規(guī)定電壓不得低于0.7 p.u.運(yùn)行超過10 s，此時(shí)積分能量為，該能量是系統(tǒng)的極限能量。當(dāng)系統(tǒng)積分能量超過極限能量時(shí)，認(rèn)為保護(hù)裝置動(dòng)作，此時(shí)系統(tǒng)不能穩(wěn)定運(yùn)行。

規(guī)定輸入、狀態(tài)、輸出變量的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行區(qū)間分別為[UL，UU]、[XL，XU]、[YL，YU]，其中，下標(biāo) L、U 分別表示穩(wěn)態(tài)運(yùn)行區(qū)間的下界和上界。利用穩(wěn)態(tài)運(yùn)行區(qū)間作參考的積分能量分別定義如下：

3 子系統(tǒng)LISS和LIOS的估計(jì)方法

文獻(xiàn)[17]中介紹了基于試驗(yàn)測(cè)定線性系統(tǒng)L2增益的方法，利用線性系統(tǒng)的特殊性質(zhì)，將求解使得增益最大的輸入信號(hào)轉(zhuǎn)化為求解一組優(yōu)化問題。本文所研究的子系統(tǒng)具有強(qiáng)非線性，因此文獻(xiàn)[17]中的方法并不完全適用，但其利用試驗(yàn)避免詳細(xì)建模的思路是值得借鑒的。本節(jié)介紹一種基于PSCAD仿真實(shí)驗(yàn)的子系統(tǒng)增益函數(shù)的近似估計(jì)方法。

這里需要指出，本文考察的是使得子系統(tǒng)狀態(tài)變量x和輸出y都穩(wěn)定的輸入信號(hào)，在這樣的條件下，子系統(tǒng)是LISS和LIOS的。由于互聯(lián)系統(tǒng)的穩(wěn)定分析不需要系統(tǒng)LISS的增益函數(shù)，以下僅介紹子系統(tǒng)LIOS增益函數(shù)的估計(jì)方法。

3.1 輸入信號(hào)

本文考慮輸入在一定范圍內(nèi)的LISS和LIOS問題。實(shí)際互聯(lián)的獨(dú)立電力系統(tǒng)中，一個(gè)子系統(tǒng)的輸入是另一個(gè)子系統(tǒng)的輸出，干擾主要來自與該子系統(tǒng)互聯(lián)的其他子系統(tǒng)，因此考慮采用工頻正弦波作為干擾輸入。考慮到實(shí)際系統(tǒng)啟動(dòng)會(huì)伴隨狀態(tài)變量的沖激，根據(jù)包絡(luò)線的不同，定義以下4種輸入信號(hào)：

a.矩形輸入信號(hào)（干擾持續(xù)一段時(shí)間后回到平衡點(diǎn)）；

b.矩形帶沖激輸入信號(hào)（矩形干擾持續(xù)時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)沖激）；

c.階躍輸入信號(hào)；

d.階躍帶沖激輸入信號(hào)。

3.2 增益函數(shù)的估計(jì)方法

對(duì)子系統(tǒng)進(jìn)行ISS屬性分析，關(guān)鍵在于增益函數(shù)的估計(jì)。下面將根據(jù)LISS與LIOS的定義式，利用仿真方法對(duì)L∞范數(shù)定義形式與積分定義形式的LIOS增益函數(shù)進(jìn)行討論。

對(duì)于L∞范數(shù)定義式，需要估計(jì)KL類函數(shù)β以及K∞類函數(shù)γ；對(duì)于積分定義式，需要估計(jì)K∞類函數(shù)α0和γ。本文假定β是指數(shù)函數(shù)，α0、γ為線性函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式如下：

利用仿真估計(jì)子系統(tǒng)增益函數(shù)的方法如下。

步驟1選擇所研究子系統(tǒng)的狀態(tài)變量x以及輸出y。

步驟2參考系統(tǒng)的保護(hù)配置，給定子系統(tǒng)可持續(xù)運(yùn)行區(qū)間，并根據(jù)保護(hù)的整定值給出積分能量的上限值。

步驟3給定輸入信號(hào)u，固定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x0，得到輸出 y。

對(duì)于L∞范數(shù)定義情況，輸出取穩(wěn)態(tài)值，即t ∞，此時(shí)β=0，近似估計(jì)輸入-輸出增益：

步驟4改變輸入的大小或采用不同形式的輸入，用步驟2的方法計(jì)算輸入-輸出增益，可以得到一系列的γ，從中取最大的γmax近似子系統(tǒng)的輸入-輸出增益。若系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸出的積分能量值超過上限值，那么認(rèn)為此時(shí)系統(tǒng)失穩(wěn)；逐步減小輸入直至系統(tǒng)穩(wěn)定，估計(jì)子系統(tǒng)輸入信號(hào)的范圍。

步驟5確定γmax后，在規(guī)定的范圍內(nèi)改變系統(tǒng)的初值以及輸入。對(duì)于L∞范數(shù)定義形式，利用指數(shù)函數(shù)進(jìn)行擬合，例如取最大值時(shí)的點(diǎn)以及末端的穩(wěn)定點(diǎn)2個(gè)點(diǎn)進(jìn)行擬合：時(shí)刻分別為 tmax、tend，幅值分別為 βmax、βend。 可以得到：

從而可以計(jì)算得出函數(shù)的待定系數(shù)：

對(duì)于積分定義形式：

改變初值，可以得到不同的α0函數(shù)，取其中最大的α0作為估計(jì)。

4 發(fā)電機(jī)與電動(dòng)機(jī)子系統(tǒng)仿真分析

前文介紹了LISS和LIOS的基本概念以及如何利用仿真估計(jì)子系統(tǒng)的增益函數(shù)。本節(jié)首先介紹獨(dú)立系統(tǒng)典型設(shè)備發(fā)電機(jī)、電動(dòng)機(jī)的仿真模型，通過對(duì)發(fā)電機(jī)和電動(dòng)機(jī)子系統(tǒng)的仿真分析，比較L∞范數(shù)定義形式與積分定義形式的適用范圍。

4.1 子系統(tǒng)仿真模型

本節(jié)通過PSCAD仿真計(jì)算發(fā)電機(jī)以及電動(dòng)機(jī)的LIOS屬性。利用仿真獲取發(fā)電機(jī)及負(fù)載的LIOS屬性，意味著要將發(fā)電機(jī)的負(fù)載虛擬成一個(gè)電流源，將負(fù)載的電源虛擬成一個(gè)電壓源。如何合理地設(shè)置仿真環(huán)境是一個(gè)關(guān)鍵。下面就PSCAD仿真模型做簡要說明。

a.發(fā)電機(jī)以轉(zhuǎn)速ω、暫態(tài)電動(dòng)勢(shì)E′q以及勵(lì)磁和調(diào)速控制器的相關(guān)控制變量作為狀態(tài)變量；電動(dòng)機(jī)以轉(zhuǎn)差率s作為狀態(tài)變量。發(fā)電機(jī)子系統(tǒng)選取機(jī)端電壓的標(biāo)幺值作為輸出，外加干擾電流源為輸入；電動(dòng)機(jī)子系統(tǒng)選取機(jī)端電流為輸出，外加干擾電壓源為輸入。

b.發(fā)電機(jī)子系統(tǒng)的狀態(tài)變量初值x0取自電阻負(fù)載切除之前，即發(fā)電機(jī)外接可控干擾電流源接入時(shí)的數(shù)值；電動(dòng)機(jī)子系統(tǒng)的狀態(tài)變量初值X0取發(fā)電機(jī)切除之前，即電動(dòng)機(jī)外接可控電壓源接入時(shí)狀態(tài)變量的穩(wěn)態(tài)值。

c.子系統(tǒng)外加干擾源的角頻率始終與子系統(tǒng)的角頻率相同（包括暫態(tài)過程）。在PSCAD中通過鎖相環(huán)可以實(shí)現(xiàn)。這一處理是考慮實(shí)際系統(tǒng)中負(fù)載和電源的電壓、電流量是同一頻率，即以工頻分量為主。

d.規(guī)定發(fā)電機(jī)電壓穩(wěn)態(tài)運(yùn)行區(qū)間為[0.9，1.1]p.u.，規(guī)定電動(dòng)機(jī)電流可持續(xù)運(yùn)行范圍為[0，1]p.u.。

e.此處規(guī)定保護(hù)整定為發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓不得低于0.7 p.u.運(yùn)行超過8 s，即發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓積分上限值為：

電動(dòng)機(jī)電流不得高于4 p.u.運(yùn)行超過10 s，即電動(dòng)機(jī)輸出電流積分上限值為：

發(fā)電機(jī)的主要參數(shù)為：額定相電壓3.81 kV，額定相電流1.05 kA，基準(zhǔn)角頻率314.159 rad/s，Xd=0.92 p.u.，X′d=0.3 p.u.。 電動(dòng)機(jī)的主要參數(shù)為：額定相電壓0.22 kV，額定相電流3.2 kA。

4.2 發(fā)電機(jī)子系統(tǒng)輸入-輸出增益估計(jì)

分別利用階躍、矩形、矩形帶沖激信號(hào)作為輸入，其輸入電流有效值和輸出電壓有效值（標(biāo)幺值）波形如圖1所示，計(jì)算得到發(fā)電機(jī)子系統(tǒng)的輸入-輸出增益如表1所示。

圖1 發(fā)電機(jī)子系統(tǒng)輸入電流和輸出電壓波形Fig.1 Input current and output voltage waveforms of generator subsystem

表1 發(fā)電機(jī)子系統(tǒng)輸入-輸出增益Tab.1 Input-to-output gain of generator subsystem

表1中，用L∞范數(shù)定義形式計(jì)算出的輸入-輸出增益差異較大，利用積分-積分形式估計(jì)的輸入-輸出增益差異較小。情況1的輸入為階躍信號(hào)，用L∞范數(shù)表示為‖u‖=3 kA，仿真結(jié)果為系統(tǒng)振蕩失穩(wěn)。情況2、3利用矩形信號(hào)，幅值均為3 kA，持續(xù)時(shí)間不同，用L∞范數(shù)表示為‖u‖=3 kA，系統(tǒng)可以穩(wěn)定運(yùn)行，說明僅反映信號(hào)幅值信息是不夠的。由于情況2—5的輸入信號(hào)最終都回到平衡點(diǎn)附近，輸出的穩(wěn)態(tài)值也在平衡點(diǎn)附近，對(duì)于L∞范數(shù)定義形式根據(jù)式（9）計(jì)算輸入-輸出增益時(shí)利用輸出的穩(wěn)態(tài)值，因此輸入-輸出增益主要取決于輸入的大小，情況2、3的矩形輸入信號(hào)雖然持續(xù)時(shí)間不同，但幅值相同，用L∞范數(shù)衡量輸入的大小相同，因此計(jì)算出的輸入-輸出增益相同；當(dāng)輸入帶有沖激時(shí)，如情況4、5，用L∞范數(shù)衡量輸入的大小有較大差別時(shí)，會(huì)使得計(jì)算出的增益差別較大。

積分定義形式利用積分能量衡量輸入、輸出，對(duì)于信號(hào)的不同能有一個(gè)合理的反映，因此其計(jì)算的輸入-輸出增益也相對(duì)合理，從表1中可以看出，利用積分定義形式計(jì)算的輸入-輸出增益結(jié)果對(duì)于不同輸入信號(hào)差別較小。

改變輸入的波形，可以得到一系列輸入與輸出的曲線，如圖2所示。本文利用線性函數(shù)擬合輸入-輸出增益，即圖中直線。

圖2 發(fā)電機(jī)子系統(tǒng)輸入、輸出關(guān)系Fig.2 Relationship between input and output of generator subsystem

圖2（a）中，由于L∞范數(shù)定義形式僅能反映信號(hào)的幅值信息，對(duì)于不同的矩形輸入信號(hào)，輸出的大小基本不變；對(duì)于階躍輸入信號(hào)，由于干擾持續(xù)存在，不同的輸入對(duì)應(yīng)的輸出也會(huì)有所不同，因此，圖2（b）中輸入、輸出分布較為離散。圖2（b）中，利用積分定義形式衡量的輸入、輸出分布均勻，且基本處于同一條直線上。利用線性函數(shù)擬合時(shí)，分布均勻的數(shù)據(jù)具有較小的保守性，進(jìn)一步驗(yàn)證了表1反映的問題。

4.3 電動(dòng)機(jī)子系統(tǒng)輸入-輸出增益估計(jì)

分別利用階躍、矩形、矩形帶沖激信號(hào)作為輸入，其輸入電壓有效值和輸出電流有效值（標(biāo)幺值）波形如圖3所示，計(jì)算得到電動(dòng)機(jī)子系統(tǒng)的輸入-輸出增益如表2所示。

圖3 電動(dòng)機(jī)子系統(tǒng)輸入電壓和輸出電流波形Fig.3 Input voltage and output current waveforms of motor subsystem

表2 電動(dòng)機(jī)子系統(tǒng)輸入-輸出增益Tab.2 Input-to-output gain of motor subsystem

與表1類似，表2中L∞范數(shù)定義形式對(duì)于不同矩形以及矩形帶沖激的輸入信號(hào)，利用式（9）計(jì)算輸入-輸出增益時(shí)，對(duì)于輸出的衡量基本相同，不能反映不同輸入對(duì)于輸出的影響，因此用L∞范數(shù)衡量輸入大小有較大區(qū)別時(shí)，計(jì)算出的輸入-輸出增益也會(huì)有較大差距，見表2中情況Ⅱ—Ⅴ的結(jié)果。對(duì)于階躍干擾信號(hào)，由于干擾持續(xù)存在，利用輸出的穩(wěn)態(tài)值可以反映輸入信號(hào)的部分信息，因此L∞范數(shù)定義形式可以適應(yīng)階躍輸入信號(hào)。

改變輸入的幅值，可以得到一系列輸入與輸出的曲線，如圖4所示。本文利用線性函數(shù)擬合輸入-輸出增益，即圖中直線。

圖4 電動(dòng)機(jī)子系統(tǒng)輸入、輸出關(guān)系Fig.4 Relationship between input and output of motor subsystem

圖4（a）中，由于L∞范數(shù)定義形式僅能反映信號(hào)的幅值信息，對(duì)于不同的矩形及矩形帶沖激的輸入信號(hào)，輸出的大小基本不變；而對(duì)于階躍信號(hào)，其計(jì)算出的結(jié)果基本處于一條直線上，其對(duì)于不同輸入信號(hào)適應(yīng)性較差，因此計(jì)算出的點(diǎn)比較分散。圖4（b）中，利用積分定義形式衡量的輸入、輸出分布均勻，且基本處于同一條直線上，進(jìn)一步驗(yàn)證了表2反映的問題。

4.4 β函數(shù)與α0函數(shù)的估計(jì)

L∞范數(shù)定義形式需要對(duì)KL類函數(shù)β進(jìn)行估計(jì)，由于函數(shù)β與初值和時(shí)間相關(guān)，增加了估計(jì)的難度。若利用指數(shù)函數(shù)進(jìn)行擬合，考慮輸入電流0.5 kA和1 kA這2種情況，用MATLAB畫出仿真結(jié)果與擬合曲線見圖5、圖6。

圖5 輸入電流為0.5 kA時(shí)的擬合曲線Fig.5 Fitting curve when input current is 0.5 kA

圖6 輸入電流為1 kA時(shí)的擬合曲線Fig.6 Fitting curve when input current is 1 kA

由圖5、圖6可知，若擬合參數(shù)選取不合適，容易出現(xiàn)圖6中擬合曲線并未完全包裹實(shí)際曲線的情況，使得ISS定義式無法滿足。

而采用積分形式，需要估計(jì)K∞類函數(shù)α0，僅與初值相關(guān)，與L∞范數(shù)定義形式相比估計(jì)難度大幅降低。以發(fā)電機(jī)子系統(tǒng)為例，α0估計(jì)曲線見圖7。

圖7 α0的仿真曲線Fig.7 Simulative curve of α0function

只需要取最大值進(jìn)行估計(jì)即可，不會(huì)出現(xiàn)L∞范數(shù)形式定義中估計(jì)曲線無法包裹實(shí)際曲線的情況，因此利用積分-積分估計(jì)更便捷。

4.5 輸入范圍的估計(jì)

ISS理論另一個(gè)關(guān)鍵內(nèi)容是求解子系統(tǒng)容許的輸入范圍。對(duì)于L∞范數(shù)定義形式，利用無窮范數(shù)衡量輸入信號(hào)的大小；積分-積分定義形式則利用積分衡量輸入信號(hào)的大小。下面以發(fā)電機(jī)子系統(tǒng)為例，分別用2種定義形式對(duì)輸入范圍進(jìn)行估計(jì)。

對(duì)于L∞范數(shù)定義形式，利用階躍信號(hào)作為輸入，改變輸入干擾電流幅值（1～2 kA），當(dāng)輸入干擾電流幅值為1.9 kA時(shí)，系統(tǒng)功率出現(xiàn)振蕩，頻率異常，因此輸入范圍‖u‖≈1.8 kA。

對(duì)于積分定義形式，積分上限值如下：

當(dāng)系統(tǒng)輸出積分能量超過極限能量時(shí)，認(rèn)為保護(hù)裝置動(dòng)作，即系統(tǒng)不能穩(wěn)定運(yùn)行。

雖然2種方法均可求解系統(tǒng)的輸入范圍，但L∞范數(shù)定義形式利用無窮范數(shù)衡量輸入大小，因此僅能反映輸入信號(hào)幅值的信息，而不能反映干擾持續(xù)時(shí)間內(nèi)輸入信號(hào)整體的影響。換言之，對(duì)于L∞范數(shù)定義形式，只要輸入信號(hào)的幅值相同，就認(rèn)為其對(duì)于系統(tǒng)的影響是相同的，這顯然是不符合實(shí)際系統(tǒng)情況的。因此，有必要引入積分-積分估計(jì)，對(duì)于干擾信號(hào)的度量有一個(gè)合理的表達(dá)。

綜上可以得出L∞范數(shù)定義形式具有以下幾點(diǎn)不足：

a.采用L∞范數(shù)度量輸入信號(hào)，僅能反映其幅值信息；

b.與初值有關(guān)的函數(shù)β∈KL，是雙變量函數(shù)，與初值和時(shí)間有關(guān)，不易擬合；

c.從圖2、圖4可以看出，L∞范數(shù)定義形式的輸入與輸出的關(guān)系和積分定義形式相比較為分散，對(duì)于不同類型的輸入信號(hào)適應(yīng)性較差，以其上界作為增益函數(shù)，將帶來較大保守性。

積分定義形式基本彌補(bǔ)了L∞范數(shù)定義形式的不足，對(duì)于不同類型輸入信號(hào)有較強(qiáng)的適應(yīng)性，具有易于估計(jì)和保守性較小的優(yōu)點(diǎn)。

5 結(jié)論與展望

本文結(jié)合電力設(shè)備保護(hù)的反時(shí)限特性，提出了以穩(wěn)態(tài)運(yùn)行區(qū)間為參考的ISS等價(jià)形式，即積分-積分估計(jì)，該定義可以避免平衡點(diǎn)變化導(dǎo)致積分趨于無窮的問題，也使得子系統(tǒng)的ISS分析不依賴于互聯(lián)系統(tǒng)的具體形式?jīng)Q定的平衡點(diǎn)，因此，更符合ISS理論的初衷。進(jìn)一步，本文給出了一種基于仿真近似估計(jì)子系統(tǒng)增益函數(shù)的方法，該方法避免了建立微分方程數(shù)學(xué)模型及參數(shù)辨識(shí)等困難，且便于考慮實(shí)際設(shè)備中的限幅、保護(hù)等非線性環(huán)節(jié)。最后，根據(jù)實(shí)際工程中的干擾類型，選取了4種典型的信號(hào)組成干擾集，通過對(duì)發(fā)電機(jī)以及電動(dòng)機(jī)子系統(tǒng)進(jìn)行仿真，比較L∞范數(shù)定義形式與積分-積分估計(jì)。仿真結(jié)果表明積分-積分估計(jì)對(duì)于不同的輸入具有較好的適應(yīng)性，并且其增益函數(shù)γ和α0均為K∞類函數(shù)，估計(jì)難度較低，效果優(yōu)于L∞范數(shù)定義形式的估計(jì)。

需要指出，本文對(duì)于K∞類增益函數(shù)均利用線性函數(shù)進(jìn)行擬合，如何改變?cè)鲆婧瘮?shù)估計(jì)的形式以進(jìn)一步降低估計(jì)保守性有待進(jìn)一步研究。此外，為了將以穩(wěn)定運(yùn)行區(qū)間為參考的積分-積分估計(jì)形式應(yīng)用于工程系統(tǒng)穩(wěn)定分析，還需研究相應(yīng)形式的互聯(lián)系統(tǒng)穩(wěn)定定理，以便發(fā)揮其應(yīng)用價(jià)值。