自適應(yīng)變間距直線擬合非圓弧曲線算法

潘應(yīng)暉，翁本杰，楊東東，魏 攀，劉建東，吳棚業(yè)

(武夷學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，福建武夷山354300)

0 前言

目前一般的數(shù)控系統(tǒng)只有直線插補(bǔ)和圓弧插補(bǔ)功能[1]，對(duì)橢圓、拋物線、雙曲線等非圓弧曲線，無(wú)法直接利用數(shù)控系統(tǒng)內(nèi)置的插補(bǔ)指令進(jìn)行加工。根據(jù)數(shù)學(xué)微分原理，通常采用微小直線或圓弧來(lái)擬合所需加工的非圓弧曲線，通過(guò)控制擬合直線或圓弧的最大偏差小于等于允許偏差，計(jì)算出每段直線或圓弧的起點(diǎn)、終點(diǎn)、圓弧半徑等參數(shù)，利用數(shù)控系統(tǒng)宏程序完成加工。

常用的直線擬合方法有等間距法[2]、等弦長(zhǎng)法[3]和等誤差法[4]等。等間距法是在非圓弧曲線與擬合直線的最大偏差小于允許偏差的條件下,將某一坐標(biāo)軸或曲線方程中的某一參變量劃分成相等的間距，間距值越大,擬合誤差越大；等弦長(zhǎng)法則是通過(guò)使各節(jié)點(diǎn)間的弦長(zhǎng)相等來(lái)擬合，它取決于最小曲率半徑,必須使該處滿足加工要求。這兩種方法的共同特點(diǎn)是：計(jì)算方法較為簡(jiǎn)單，但當(dāng)非圓弧曲線的曲率變化較大時(shí),由于間距和弦長(zhǎng)均為定值,一方面造成被加工零件的表面粗糙度變化較大,另一方面在非圓弧曲線曲率半徑較小處產(chǎn)生多個(gè)不必要節(jié)點(diǎn),降低加工效率，僅適用于曲率變化較小的非圓弧曲線。等誤差直線擬合法是用直線段擬合非圓弧曲線時(shí),使擬合誤差始終等于系統(tǒng)允許偏差,因此節(jié)點(diǎn)間的線段長(zhǎng)度隨曲線曲率半徑而變化,采用變步長(zhǎng)插值。何其寶[5]、于洋等[6]雖提出了等誤差直線擬合法數(shù)學(xué)模型,但在求解高次方程組時(shí),無(wú)法得到解析解,很難用于實(shí)際加工。趙玉剛等[7]雖提出了非圓弧曲線的加工算法,但需以C++Builder6.0等為開發(fā)工具，不能在數(shù)控機(jī)床上直接應(yīng)用，在工程上使用受到很大限制。

圓弧擬合有曲率圓法[8]、三點(diǎn)圓法[9]和相切圓法[10，11]、雙圓弧法[12]、最小二乘法[13,14]、等弧長(zhǎng)法[15]等方法。由于這些算法比較復(fù)雜,計(jì)算參數(shù)多,計(jì)算量大,擬合效率低,求解困難，一般需先通過(guò)VB、VC等開發(fā)工具，計(jì)算出擬合圓弧的起點(diǎn)、終點(diǎn)、圓弧半徑等參數(shù)，很難直接使用數(shù)控編程指令進(jìn)行實(shí)際編程，因此生產(chǎn)中廣泛采用直線擬合零件非圓弧曲線輪廓的方法。

為克服直線擬合存在的缺陷，作者結(jié)合等間距法、等弦長(zhǎng)法和等誤差法的優(yōu)點(diǎn)，提出一種自適應(yīng)變間距直線擬合非圓弧曲線算法，在擬合直線最大偏差≤允許偏差條件下，能根據(jù)非圓弧曲線，快速確定直線擬合的最佳節(jié)點(diǎn)，有效提高編程效率和加工精度，滿足生產(chǎn)需要。

1 計(jì)算模型

假設(shè)曲線函數(shù)方程X=f(Z),如圖1所示。

圖1 計(jì)算幾何關(guān)系圖

該曲線在A點(diǎn)的坐標(biāo)為(ZA,XA),由高數(shù)知識(shí)可求得A點(diǎn)曲率半徑RA為

為求下一個(gè)節(jié)點(diǎn)B(ZB,XB),沿Z軸方向初定一個(gè)微小間距△Z,使ZB=ZA+△Z,則XB=f(ZB),用弦線聯(lián)結(jié)A、B兩點(diǎn),弦長(zhǎng)AB的長(zhǎng)度LAB為

然后求解弦線與曲線在A、B兩點(diǎn)間的最大誤差δ。由于間距△Z數(shù)值很小，誤差δ數(shù)值則更小,所以可以將過(guò)A點(diǎn)和B點(diǎn)的曲線近似為一段圓弧,直線MN為弦AB的垂直平分線，因此最大誤差δ即為弦AB的垂直平分線上線段MN長(zhǎng)度。由圖1直角三角形RT△ANC幾何關(guān)系可知

曲率半徑RA為正值，最大誤差δ數(shù)值很小，由（3）式可推導(dǎo)出最大誤差δ為

若最大誤差δ≤允許偏差δ允,說(shuō)明A、B兩節(jié)點(diǎn)用直線擬合時(shí)所產(chǎn)生的最大誤差在允許范圍內(nèi)，可以采用；若最大誤差δ＞允許偏差δ允,直線擬合產(chǎn)生的誤差超出允許范圍，不允許使用，應(yīng)該減小間距△Z,直到最大誤差δ≤允許偏差δ允。

2 自適應(yīng)變間距直線擬合非圓弧算法

初定微小間距△Z，步長(zhǎng)計(jì)數(shù)變量初值置為0，根據(jù)公式（4）可計(jì)算下一節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)及其誤差δ，若δ≤δ允,保存該點(diǎn)坐標(biāo)值，步長(zhǎng)計(jì)數(shù)變量加1，繼續(xù)計(jì)算下一間距節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)及誤差δ，比較δ≤δ允,同理直至δ＞δ允，則該點(diǎn)之前的上一節(jié)點(diǎn)就是直線擬合的最佳節(jié)點(diǎn)；若δ＞δ允且步長(zhǎng)計(jì)數(shù)變量≤1,說(shuō)明只進(jìn)行了一次節(jié)點(diǎn)計(jì)算，但因間距△Z過(guò)大，擬合時(shí)超出允許偏差，因此必須減小間距△Z數(shù)值,可采用優(yōu)選學(xué)中的黃金分割法進(jìn)行黃金分割，即用0.618乘間距△Z作為新間距△Z，返回重新計(jì)算下一點(diǎn)坐標(biāo)及其誤差δ,繼續(xù)比較δ、δ允。

起點(diǎn)及最佳節(jié)點(diǎn)確定后，進(jìn)行直線插補(bǔ)，接著以最佳節(jié)點(diǎn)為起始點(diǎn)，比較步長(zhǎng)計(jì)數(shù)變量，若該值為4表示通過(guò)4次運(yùn)算才找到最佳節(jié)點(diǎn)，為提高計(jì)算效率，當(dāng)該值≥4時(shí)，將間距△Z乘以黃金比例1.618，作為新間距△Z,開始下一節(jié)點(diǎn)的計(jì)算，重復(fù)上一過(guò)程直到插補(bǔ)完成。其流程圖如下：

初始確定的微小間距△Z，一般為允許偏差δ允的二至五倍即可，若所設(shè)初值偏大或偏小，對(duì)加工的影響也不大，因按圖2流程算法進(jìn)行編程時(shí)，系統(tǒng)能自動(dòng)進(jìn)行修正。

該算法克服了等間距法、等弦長(zhǎng)法和等誤差法的缺點(diǎn)，其最佳節(jié)點(diǎn)不是按等間距或等弦長(zhǎng)確定，而是在最大誤差≤允許偏差條件下，根據(jù)非圓弧曲線自適應(yīng)變間距確定。

圖2 自適應(yīng)變間距等誤差算法流程圖

3 應(yīng)用實(shí)例

已知待加工鋁棒毛坯直徑為80mm,要加工下圖3所示工件，右邊為拋物線，其標(biāo)準(zhǔn)方程Z=-CX2(其中C為常數(shù)，這里取C=1/15)。現(xiàn)以SINUMER?IK 802S數(shù)車系統(tǒng)進(jìn)行加工編程，采用直線插補(bǔ)擬合拋物線，包括粗車和精車，說(shuō)明非圓弧曲線的編程方法。

圖3 加工零件示意圖

3.1 編程設(shè)置

因數(shù)控車床對(duì)刀時(shí)一般以工件右端面的圓心設(shè)為工件坐標(biāo)原點(diǎn)，根據(jù)該拋物線方程的特點(diǎn)，為便于編程計(jì)算，且采用半徑編程，初始化設(shè)置如下：（程序分號(hào)“；”后的文字為相應(yīng)注釋）

G90G22G71G94T1D1M03S500F50；初始化設(shè)置

G0X30Z200；起刀點(diǎn)

R0=40；毛坯半徑

R1=1/15；拋物線系數(shù)C

R2=30；拋物線終點(diǎn)X坐標(biāo)

R3=1；X方向粗車背吃刀量(半徑值)

R4=0.5；X方向精車背吃刀量(半徑值)

3.2 工藝路線

待加工鋁棒毛坯直徑為80mm,拋物線曲線加工余量較大，先進(jìn)行粗加工，采用刀具走直線的方式分段粗車，保留精加工余量，然后精車拋物線曲線外形。

3.3 拋物線曲線粗車路線

采用直線插補(bǔ)，每次粗加工時(shí)X方向背吃刀量為R3，走刀路線如圖4所示。

圖4 拋物線粗車路線示意圖

每次直線插補(bǔ)必須確定相應(yīng)的Z坐標(biāo)值。當(dāng)X坐標(biāo)值大于拋物線終點(diǎn)X坐標(biāo)時(shí)，Z=拋物線終點(diǎn)Z坐標(biāo)+精加工余量；當(dāng)X坐標(biāo)值小于或等于拋物線終點(diǎn)X坐標(biāo)時(shí)可根據(jù)拋物線方程，計(jì)算出Z坐標(biāo)值,同時(shí)考慮保留精加工余量，因此該次粗加工時(shí)Z=-CX2+精加工余量，利用絕對(duì)跳轉(zhuǎn)與有條件跳轉(zhuǎn)語(yǔ)句，通過(guò)參數(shù)編程可實(shí)現(xiàn)上述過(guò)程的拋物線粗加工。程序如下：

R5=R0-R3；粗車時(shí)X坐標(biāo)數(shù)值

BB1:G0 Z=1；粗車時(shí)Z軸起始點(diǎn)坐標(biāo)

X=R5；粗車時(shí)X軸起始點(diǎn)坐標(biāo)

IF R5＞=R2 GOTOF BB2；當(dāng)X軸坐標(biāo)大于拋物線終點(diǎn)X軸坐標(biāo)時(shí)，轉(zhuǎn)到BB2

R6=-R1*R5*R5+R4；X軸坐標(biāo)小于拋物線終點(diǎn)X軸坐標(biāo)時(shí)，Z軸的終點(diǎn)坐標(biāo)

GOTOF BB3；轉(zhuǎn)到BB3標(biāo)記處

BB2:R6=-R2*R2*R1+R4；超過(guò)拋物線終點(diǎn)X軸坐標(biāo)時(shí)，Z軸的終點(diǎn)坐標(biāo)

BB3:G1 Z=R6；直線插補(bǔ)粗車

G0 X=R0+1 Z=1；返回粗車起始點(diǎn)

R5=R5-R3；粗車時(shí)X軸起始點(diǎn)坐標(biāo)，即每次粗加工X向背吃刀量為R3

IF R5＞R3 GOTOB BB1；如X向粗加工余量大于R3，返回BB1標(biāo)記處再粗加工

3.4 拋物線曲線精車路線

已知拋物線方程，利用高數(shù)知識(shí)，可得出曲率半徑及弦長(zhǎng)計(jì)算公式，根據(jù)上述流程圖2，可以計(jì)算出符合加工精度要求的直線擬合拋物線的最佳節(jié)點(diǎn)，因此利用R參數(shù)變量及有條件跳轉(zhuǎn)語(yǔ)句，實(shí)現(xiàn)拋物線曲線精加工。程序如下：

G0 Z=R1+1 X0；返回精加工起始點(diǎn)

S800F30 G64；連續(xù)路徑加工

G1 Z=0；直線插補(bǔ)至拋物線起點(diǎn)處

R7=-0.1；計(jì)算間距增量△Z

R8=0.05；允許偏差δ允

R15=0；拋物線起始點(diǎn)坐標(biāo)

R16=0

EEE:R10=R15；每次運(yùn)算起點(diǎn)坐標(biāo)

R11=R16

R12=0；步長(zhǎng)計(jì)數(shù)變量

R20=(1-R1*R10)*SQRT(1-R1*R10)*0.5/R1；曲率半徑

RRR:R13=R15+R7；下一點(diǎn)坐標(biāo)

R14=SQRT(-R13/R1)

R12=R12+1；步長(zhǎng)計(jì)數(shù)變量+1

R17=SQRT((R13-R10)*(R13-R10)+(R14-R11)*(R14-R11))；兩點(diǎn)弦長(zhǎng)

R21=R20-SQRT(R20*R20-R17*R17/4)；最大誤差δ

IF R21＞R8 GOTOF TTT；超過(guò)允許偏差轉(zhuǎn)到TTT

R15=R13；未超過(guò)允許偏差，存儲(chǔ)該點(diǎn)坐標(biāo)，繼續(xù)計(jì)算下一點(diǎn)

R16=R14

GOTOB RRR

TTT:IF R12＞1 GOTOF YYY；步長(zhǎng)計(jì)數(shù)變量超過(guò)1次，轉(zhuǎn)到Y(jié)YY

R7=0.618*R7；間距增量△Z按黃金分割減小

GOTOB RRR

YYY:G01 Z=R15 X=R16；直線插補(bǔ)加工

IF R12＜4 GOTOF UUU；計(jì)算次數(shù)＜4次

R7=1.618*R7；間距增量△Z按黃金分割增大

UUU:IF R16＜R2 GOTOB EEE

G00 X=50 Z200

M05M02

利用南京斯沃?jǐn)?shù)控6.50版仿真軟件，將上述程序?qū)胛鏖T子SINUMERIK 802Se T數(shù)車系統(tǒng)，運(yùn)行后得到的仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 拋物線精加工結(jié)果

4 結(jié)語(yǔ)

數(shù)控機(jī)床的使用日益普遍，要充分發(fā)揮數(shù)控機(jī)床的功能，開拓?cái)?shù)控機(jī)床的使用范圍，程序編制是不可忽視的重要環(huán)節(jié)。本文提供的自適應(yīng)變間距直線擬合非圓弧曲線算法,避免了高次方程組的求解，運(yùn)算速度快，容易控制擬合精度，無(wú)需任何輔助軟件,利用數(shù)控系統(tǒng)自身宏程序功能即可直接在數(shù)控系統(tǒng)上編程實(shí)現(xiàn)非圓弧曲線的數(shù)控加工，通用性好，能適用于一般非圓弧曲線，在數(shù)控加工中有一定的參考應(yīng)用價(jià)值。

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