適用“除法”解決的排列組合題型

紀(jì)宏偉

一、問題的提出

首先看幾個(gè)具體的實(shí)例：

例1用4個(gè)1號球，3個(gè)2號球，2個(gè)3號球搖出一個(gè)9位數(shù)的獎(jiǎng)號，共有多少種可能的號碼？

例2有6×6的方格中停放3輛完全相同的紅色車和3輛完全相同的黑色車，每一行每一列只有1輛車，每輛車占1格，則停放的方法有多少種？

例38人參加百米賽跑，若無同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)情況，則甲比乙先到，乙又在丙之前到達(dá)的情況共有多少種？

例47個(gè)人站成一排照相，其中甲、乙、丙三人身高各不相同，則甲、乙、丙三人從高到矮且自左向右的排法有多少？

例5某校高二年級共有6個(gè)班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級的兩個(gè)班級中，且每班安排2名，則不同的安排方案總數(shù)有多少？

例6某校一社團(tuán)共有10名成員，從周一到周五每天安排兩人值日，若甲、乙必須排在同一天，且丙、丁不能排在同一天，則不同的安排方案共有多少種？

認(rèn)真梳理這幾個(gè)例子，不難辨認(rèn)例1和2屬于不全相異元素的全排列問題，例3和4屬于某幾個(gè)元素順序固定的問題（也即定序問題），例5和例6屬于均勻分組之后再分配的問題，其中均勻分組包括全均勻分組和部分均勻分組.這些問題類型的解答都要用到本文所要闡述的一種解法——“除法”.

二、問題的分析

1.不盡相異的n個(gè)元素的全排列問題

在n個(gè)元素中，有n1個(gè)元素相同，又另有n2個(gè)元素相同，…，一直到另有nr個(gè)元素相同，且n1+n2+…+nr=n，這n個(gè)元素的全排列叫做不盡相異的n個(gè)元素的全排列問題，其計(jì)算公式是N=n！n1！n2！…nr！.

2.“定序”的排列問題

在n個(gè)元素中，其中有m個(gè)元素之間的順序固定不變（不一定相鄰）的排列稱為“定序”的排列問題，其計(jì)算公式為：N=AnnAmm.類似的還可以推廣到一般情形，即若有n個(gè)元素排成一列，其中有m個(gè)元素之間的順序固定不變，而另外k個(gè)元素之間的順序也一定，則共有AmnAmmAkk種不同的排法，也就是若某幾個(gè)元素的順序固定，則必須除以固定順序的元素個(gè)數(shù)的全排列數(shù).

3.不同元素的均勻分組分配問題

將n個(gè)不同的元素按照某種條件分成m組，成為分組問題，其中若均勻分成不編號的m組，則就是全均勻分組問題；若分成不編號的m組，但其中有r（r

4.圓排列或環(huán)狀排列問題

n個(gè)不同的元素依照不同的順序并按一定的方向（順時(shí)針或逆時(shí)針）排成環(huán)狀稱為圓排列或環(huán)狀排列問題，其排列數(shù)計(jì)算公式為：N=Annn.

三、問題的解答

由以上分析，不難得出例1～6的解答.

由以上過程可看出，“除法”是從所列式的形式特點(diǎn)來說的，其主要適用于不盡相異的n個(gè)元素的全排列問題，某些元素順序確定的排列問題，不同元素的均勻分組分配問題.希望這對同學(xué)們的復(fù)習(xí)起到一定參考作用.

一、問題的提出

首先看幾個(gè)具體的實(shí)例：

例1用4個(gè)1號球，3個(gè)2號球，2個(gè)3號球搖出一個(gè)9位數(shù)的獎(jiǎng)號，共有多少種可能的號碼？

例2有6×6的方格中停放3輛完全相同的紅色車和3輛完全相同的黑色車，每一行每一列只有1輛車，每輛車占1格，則停放的方法有多少種？

例38人參加百米賽跑，若無同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)情況，則甲比乙先到，乙又在丙之前到達(dá)的情況共有多少種？

例47個(gè)人站成一排照相，其中甲、乙、丙三人身高各不相同，則甲、乙、丙三人從高到矮且自左向右的排法有多少？

例5某校高二年級共有6個(gè)班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級的兩個(gè)班級中，且每班安排2名，則不同的安排方案總數(shù)有多少？

例6某校一社團(tuán)共有10名成員，從周一到周五每天安排兩人值日，若甲、乙必須排在同一天，且丙、丁不能排在同一天，則不同的安排方案共有多少種？

認(rèn)真梳理這幾個(gè)例子，不難辨認(rèn)例1和2屬于不全相異元素的全排列問題，例3和4屬于某幾個(gè)元素順序固定的問題（也即定序問題），例5和例6屬于均勻分組之后再分配的問題，其中均勻分組包括全均勻分組和部分均勻分組.這些問題類型的解答都要用到本文所要闡述的一種解法——“除法”.

二、問題的分析

1.不盡相異的n個(gè)元素的全排列問題

在n個(gè)元素中，有n1個(gè)元素相同，又另有n2個(gè)元素相同，…，一直到另有nr個(gè)元素相同，且n1+n2+…+nr=n，這n個(gè)元素的全排列叫做不盡相異的n個(gè)元素的全排列問題，其計(jì)算公式是N=n！n1！n2！…nr！.

2.“定序”的排列問題

在n個(gè)元素中，其中有m個(gè)元素之間的順序固定不變（不一定相鄰）的排列稱為“定序”的排列問題，其計(jì)算公式為：N=AnnAmm.類似的還可以推廣到一般情形，即若有n個(gè)元素排成一列，其中有m個(gè)元素之間的順序固定不變，而另外k個(gè)元素之間的順序也一定，則共有AmnAmmAkk種不同的排法，也就是若某幾個(gè)元素的順序固定，則必須除以固定順序的元素個(gè)數(shù)的全排列數(shù).

3.不同元素的均勻分組分配問題

將n個(gè)不同的元素按照某種條件分成m組，成為分組問題，其中若均勻分成不編號的m組，則就是全均勻分組問題；若分成不編號的m組，但其中有r（r

4.圓排列或環(huán)狀排列問題

n個(gè)不同的元素依照不同的順序并按一定的方向（順時(shí)針或逆時(shí)針）排成環(huán)狀稱為圓排列或環(huán)狀排列問題，其排列數(shù)計(jì)算公式為：N=Annn.

三、問題的解答

由以上分析，不難得出例1～6的解答.

由以上過程可看出，“除法”是從所列式的形式特點(diǎn)來說的，其主要適用于不盡相異的n個(gè)元素的全排列問題，某些元素順序確定的排列問題，不同元素的均勻分組分配問題.希望這對同學(xué)們的復(fù)習(xí)起到一定參考作用.

一、問題的提出

首先看幾個(gè)具體的實(shí)例：

例1用4個(gè)1號球，3個(gè)2號球，2個(gè)3號球搖出一個(gè)9位數(shù)的獎(jiǎng)號，共有多少種可能的號碼？

例2有6×6的方格中停放3輛完全相同的紅色車和3輛完全相同的黑色車，每一行每一列只有1輛車，每輛車占1格，則停放的方法有多少種？

例38人參加百米賽跑，若無同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)情況，則甲比乙先到，乙又在丙之前到達(dá)的情況共有多少種？

例47個(gè)人站成一排照相，其中甲、乙、丙三人身高各不相同，則甲、乙、丙三人從高到矮且自左向右的排法有多少？

例5某校高二年級共有6個(gè)班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級的兩個(gè)班級中，且每班安排2名，則不同的安排方案總數(shù)有多少？

例6某校一社團(tuán)共有10名成員，從周一到周五每天安排兩人值日，若甲、乙必須排在同一天，且丙、丁不能排在同一天，則不同的安排方案共有多少種？

認(rèn)真梳理這幾個(gè)例子，不難辨認(rèn)例1和2屬于不全相異元素的全排列問題，例3和4屬于某幾個(gè)元素順序固定的問題（也即定序問題），例5和例6屬于均勻分組之后再分配的問題，其中均勻分組包括全均勻分組和部分均勻分組.這些問題類型的解答都要用到本文所要闡述的一種解法——“除法”.

二、問題的分析

1.不盡相異的n個(gè)元素的全排列問題

在n個(gè)元素中，有n1個(gè)元素相同，又另有n2個(gè)元素相同，…，一直到另有nr個(gè)元素相同，且n1+n2+…+nr=n，這n個(gè)元素的全排列叫做不盡相異的n個(gè)元素的全排列問題，其計(jì)算公式是N=n！n1！n2！…nr！.

2.“定序”的排列問題

在n個(gè)元素中，其中有m個(gè)元素之間的順序固定不變（不一定相鄰）的排列稱為“定序”的排列問題，其計(jì)算公式為：N=AnnAmm.類似的還可以推廣到一般情形，即若有n個(gè)元素排成一列，其中有m個(gè)元素之間的順序固定不變，而另外k個(gè)元素之間的順序也一定，則共有AmnAmmAkk種不同的排法，也就是若某幾個(gè)元素的順序固定，則必須除以固定順序的元素個(gè)數(shù)的全排列數(shù).

3.不同元素的均勻分組分配問題

將n個(gè)不同的元素按照某種條件分成m組，成為分組問題，其中若均勻分成不編號的m組，則就是全均勻分組問題；若分成不編號的m組，但其中有r（r

4.圓排列或環(huán)狀排列問題

n個(gè)不同的元素依照不同的順序并按一定的方向（順時(shí)針或逆時(shí)針）排成環(huán)狀稱為圓排列或環(huán)狀排列問題，其排列數(shù)計(jì)算公式為：N=Annn.

三、問題的解答

由以上分析，不難得出例1～6的解答.

由以上過程可看出，“除法”是從所列式的形式特點(diǎn)來說的，其主要適用于不盡相異的n個(gè)元素的全排列問題，某些元素順序確定的排列問題，不同元素的均勻分組分配問題.希望這對同學(xué)們的復(fù)習(xí)起到一定參考作用.