回歸直線方程的簡(jiǎn)單推導(dǎo)

廖樞華

回歸直線方程是新課改新增的內(nèi)容之一，在必修3中直接給出了求回歸方程的有關(guān)公式，讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用公式.在選修數(shù)學(xué)2-3的第42頁(yè)中，利用配方法給出了回歸直線的推導(dǎo).但是由于推導(dǎo)過(guò)程比較麻煩，而且不是在必修3中出現(xiàn)，很多教師都只是按照課程要求指導(dǎo)學(xué)生利用回歸方程的公式求回歸方程.由于不知道公式的來(lái)源，這樣做只會(huì)給學(xué)生一種應(yīng)試教育的感覺(jué).讓學(xué)生覺(jué)得學(xué)習(xí)只是為了考試，學(xué)數(shù)學(xué)很乏味.劉坦老師的文章《回歸直線方程的另一種推導(dǎo)》[1]中的方法簡(jiǎn)潔明快，但超出了高中學(xué)生的學(xué)習(xí)要求，史雄老師的文章《關(guān)于回歸直線方程的另一種簡(jiǎn)單推導(dǎo)方法》[2]中都是利用導(dǎo)數(shù)以及求二元一次方程的思想求出回歸方程的兩個(gè)參數(shù).如果學(xué)生在必修3之前學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)，這是一個(gè)簡(jiǎn)易的方法.然而導(dǎo)數(shù)是選修2-2中的內(nèi)容，一般我們都是把必修學(xué)完，才學(xué)習(xí)選修的內(nèi)容.基于此，本文先利用樣本中心確定回歸直線的位置，再利用“從整體上看，各點(diǎn)與此直線的距離最小”的思想獲得一元二次函數(shù)，依據(jù)一元二次函數(shù)的特征求得斜率.該方法可以讓學(xué)生輕而易舉地了解回歸方程的來(lái)源.

一、確定回歸直線的位置

平均數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).能夠利用所有數(shù)據(jù)的特征是它的優(yōu)點(diǎn)之一.除此之外，平均數(shù)能使得誤差平方和達(dá)到最小.如果利用平均數(shù)代表數(shù)據(jù)，則可以使二次損失最小.對(duì)所給的樣本數(shù)據(jù)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)分別取平均值x-、，則坐標(biāo)點(diǎn)（x-，）稱為樣本中心.依據(jù)平均數(shù)的意義，樣本中心（x-，）反映了樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，所以回歸直線一定通過(guò)樣本中心（x-，）.

二、求回歸直線的參數(shù)

設(shè)回歸直線的方程為y=bx+a.由于點(diǎn)（x-，）在回歸直線上，所以有=bx-+a.如果確定了回歸直線的斜率b，便可以通過(guò)=bx-+a得參數(shù)a=-bx-.

如何確實(shí)斜率b呢？依據(jù)數(shù)學(xué)必修3“從整體上看，各點(diǎn)與此直線的距離最小”得Q=（y1-bx1-a）2+（y2-bx2-a）2+…+（yn-bxn-a）2，使得Q最小.把a(bǔ)=-bx-代入Q中

Q=（y1-bx1-+bx-）2+（y2-bx2-+bx-）2+…+（yn-bxn-+bx-）2

=（y1--bx1+bx-）2+（y2--bx2+bx-）2+…+（yn--bxn+bx-）2

=[（y1-）-b（x1-x-）]2+[（y2-）-b（x2-x-）]2+…+[（yn-）-b（xn-x-）]2

=（y1-）2-2×b（x1-x-）×（y1-）+[b（x1-x-）]2+（y2-）2-2×b（x2-x-）×（y2-）+[b（x2-x-）]2+…+（yn-）2-2×b（xn-x-）×（yn-）+[b（xn-x-）]2

=∑n1i=1（yi-）2-2b×∑n1i=1（xi-x-）（yi-）+b2×∑n1i=1（xi-x-）2.

=∑n1i=1（xi-x-）2×b2-2∑n1i=1（xi-x-）（yi-）×b+∑n1i=1（yi-）2.

Q為關(guān)于b的二次函數(shù)，因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)各不相同，所以∑n1i=1（xi-x-）2恒大于0，即二次函數(shù)Q（b）開(kāi)口向上，有最小值Q，當(dāng)且僅當(dāng)b為對(duì)稱軸.因此，

b=--2∑n1i=1（xi-x-）（yi-）12×∑n1i=1（xi-x-）2

=∑n1i=1（xi-x-）（yi-）1∑n1i=1（xi-x-）2.

本文利用回歸直線恒過(guò)樣本中心的特點(diǎn)以及二次函數(shù)求最值的方法而得到回歸直線的兩個(gè)參數(shù)公式.該方法思路清楚，推理簡(jiǎn)單，并且還能加深學(xué)生對(duì)回歸直線的理解——回歸直線恒過(guò)樣本中心.本人認(rèn)為教材應(yīng)該使用本文方法介紹回歸直線方程.

參考文獻(xiàn)

[1]劉坦.回歸直線方程的另一推導(dǎo)[J].數(shù)學(xué)通訊，2003（23）：10.

[2]史雄.關(guān)于回歸直線方程的另一種簡(jiǎn)單推導(dǎo)方法[J].新課程學(xué)習(xí)（基礎(chǔ)教育），2010（2）：104.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）endprint

回歸直線方程是新課改新增的內(nèi)容之一，在必修3中直接給出了求回歸方程的有關(guān)公式，讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用公式.在選修數(shù)學(xué)2-3的第42頁(yè)中，利用配方法給出了回歸直線的推導(dǎo).但是由于推導(dǎo)過(guò)程比較麻煩，而且不是在必修3中出現(xiàn)，很多教師都只是按照課程要求指導(dǎo)學(xué)生利用回歸方程的公式求回歸方程.由于不知道公式的來(lái)源，這樣做只會(huì)給學(xué)生一種應(yīng)試教育的感覺(jué).讓學(xué)生覺(jué)得學(xué)習(xí)只是為了考試，學(xué)數(shù)學(xué)很乏味.劉坦老師的文章《回歸直線方程的另一種推導(dǎo)》[1]中的方法簡(jiǎn)潔明快，但超出了高中學(xué)生的學(xué)習(xí)要求，史雄老師的文章《關(guān)于回歸直線方程的另一種簡(jiǎn)單推導(dǎo)方法》[2]中都是利用導(dǎo)數(shù)以及求二元一次方程的思想求出回歸方程的兩個(gè)參數(shù).如果學(xué)生在必修3之前學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)，這是一個(gè)簡(jiǎn)易的方法.然而導(dǎo)數(shù)是選修2-2中的內(nèi)容，一般我們都是把必修學(xué)完，才學(xué)習(xí)選修的內(nèi)容.基于此，本文先利用樣本中心確定回歸直線的位置，再利用“從整體上看，各點(diǎn)與此直線的距離最小”的思想獲得一元二次函數(shù)，依據(jù)一元二次函數(shù)的特征求得斜率.該方法可以讓學(xué)生輕而易舉地了解回歸方程的來(lái)源.

一、確定回歸直線的位置

平均數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).能夠利用所有數(shù)據(jù)的特征是它的優(yōu)點(diǎn)之一.除此之外，平均數(shù)能使得誤差平方和達(dá)到最小.如果利用平均數(shù)代表數(shù)據(jù)，則可以使二次損失最小.對(duì)所給的樣本數(shù)據(jù)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)分別取平均值x-、，則坐標(biāo)點(diǎn)（x-，）稱為樣本中心.依據(jù)平均數(shù)的意義，樣本中心（x-，）反映了樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，所以回歸直線一定通過(guò)樣本中心（x-，）.

二、求回歸直線的參數(shù)

設(shè)回歸直線的方程為y=bx+a.由于點(diǎn)（x-，）在回歸直線上，所以有=bx-+a.如果確定了回歸直線的斜率b，便可以通過(guò)=bx-+a得參數(shù)a=-bx-.

如何確實(shí)斜率b呢？依據(jù)數(shù)學(xué)必修3“從整體上看，各點(diǎn)與此直線的距離最小”得Q=（y1-bx1-a）2+（y2-bx2-a）2+…+（yn-bxn-a）2，使得Q最小.把a(bǔ)=-bx-代入Q中

Q=（y1-bx1-+bx-）2+（y2-bx2-+bx-）2+…+（yn-bxn-+bx-）2

=（y1--bx1+bx-）2+（y2--bx2+bx-）2+…+（yn--bxn+bx-）2

=[（y1-）-b（x1-x-）]2+[（y2-）-b（x2-x-）]2+…+[（yn-）-b（xn-x-）]2

=（y1-）2-2×b（x1-x-）×（y1-）+[b（x1-x-）]2+（y2-）2-2×b（x2-x-）×（y2-）+[b（x2-x-）]2+…+（yn-）2-2×b（xn-x-）×（yn-）+[b（xn-x-）]2

=∑n1i=1（yi-）2-2b×∑n1i=1（xi-x-）（yi-）+b2×∑n1i=1（xi-x-）2.

=∑n1i=1（xi-x-）2×b2-2∑n1i=1（xi-x-）（yi-）×b+∑n1i=1（yi-）2.

Q為關(guān)于b的二次函數(shù)，因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)各不相同，所以∑n1i=1（xi-x-）2恒大于0，即二次函數(shù)Q（b）開(kāi)口向上，有最小值Q，當(dāng)且僅當(dāng)b為對(duì)稱軸.因此，

b=--2∑n1i=1（xi-x-）（yi-）12×∑n1i=1（xi-x-）2

=∑n1i=1（xi-x-）（yi-）1∑n1i=1（xi-x-）2.

本文利用回歸直線恒過(guò)樣本中心的特點(diǎn)以及二次函數(shù)求最值的方法而得到回歸直線的兩個(gè)參數(shù)公式.該方法思路清楚，推理簡(jiǎn)單，并且還能加深學(xué)生對(duì)回歸直線的理解——回歸直線恒過(guò)樣本中心.本人認(rèn)為教材應(yīng)該使用本文方法介紹回歸直線方程.

參考文獻(xiàn)

[1]劉坦.回歸直線方程的另一推導(dǎo)[J].數(shù)學(xué)通訊，2003（23）：10.

[2]史雄.關(guān)于回歸直線方程的另一種簡(jiǎn)單推導(dǎo)方法[J].新課程學(xué)習(xí)（基礎(chǔ)教育），2010（2）：104.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）endprint

回歸直線方程是新課改新增的內(nèi)容之一，在必修3中直接給出了求回歸方程的有關(guān)公式，讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用公式.在選修數(shù)學(xué)2-3的第42頁(yè)中，利用配方法給出了回歸直線的推導(dǎo).但是由于推導(dǎo)過(guò)程比較麻煩，而且不是在必修3中出現(xiàn)，很多教師都只是按照課程要求指導(dǎo)學(xué)生利用回歸方程的公式求回歸方程.由于不知道公式的來(lái)源，這樣做只會(huì)給學(xué)生一種應(yīng)試教育的感覺(jué).讓學(xué)生覺(jué)得學(xué)習(xí)只是為了考試，學(xué)數(shù)學(xué)很乏味.劉坦老師的文章《回歸直線方程的另一種推導(dǎo)》[1]中的方法簡(jiǎn)潔明快，但超出了高中學(xué)生的學(xué)習(xí)要求，史雄老師的文章《關(guān)于回歸直線方程的另一種簡(jiǎn)單推導(dǎo)方法》[2]中都是利用導(dǎo)數(shù)以及求二元一次方程的思想求出回歸方程的兩個(gè)參數(shù).如果學(xué)生在必修3之前學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)，這是一個(gè)簡(jiǎn)易的方法.然而導(dǎo)數(shù)是選修2-2中的內(nèi)容，一般我們都是把必修學(xué)完，才學(xué)習(xí)選修的內(nèi)容.基于此，本文先利用樣本中心確定回歸直線的位置，再利用“從整體上看，各點(diǎn)與此直線的距離最小”的思想獲得一元二次函數(shù)，依據(jù)一元二次函數(shù)的特征求得斜率.該方法可以讓學(xué)生輕而易舉地了解回歸方程的來(lái)源.

一、確定回歸直線的位置

平均數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).能夠利用所有數(shù)據(jù)的特征是它的優(yōu)點(diǎn)之一.除此之外，平均數(shù)能使得誤差平方和達(dá)到最小.如果利用平均數(shù)代表數(shù)據(jù)，則可以使二次損失最小.對(duì)所給的樣本數(shù)據(jù)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)分別取平均值x-、，則坐標(biāo)點(diǎn)（x-，）稱為樣本中心.依據(jù)平均數(shù)的意義，樣本中心（x-，）反映了樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，所以回歸直線一定通過(guò)樣本中心（x-，）.

二、求回歸直線的參數(shù)

設(shè)回歸直線的方程為y=bx+a.由于點(diǎn)（x-，）在回歸直線上，所以有=bx-+a.如果確定了回歸直線的斜率b，便可以通過(guò)=bx-+a得參數(shù)a=-bx-.

如何確實(shí)斜率b呢？依據(jù)數(shù)學(xué)必修3“從整體上看，各點(diǎn)與此直線的距離最小”得Q=（y1-bx1-a）2+（y2-bx2-a）2+…+（yn-bxn-a）2，使得Q最小.把a(bǔ)=-bx-代入Q中

Q=（y1-bx1-+bx-）2+（y2-bx2-+bx-）2+…+（yn-bxn-+bx-）2

=（y1--bx1+bx-）2+（y2--bx2+bx-）2+…+（yn--bxn+bx-）2

=[（y1-）-b（x1-x-）]2+[（y2-）-b（x2-x-）]2+…+[（yn-）-b（xn-x-）]2

=（y1-）2-2×b（x1-x-）×（y1-）+[b（x1-x-）]2+（y2-）2-2×b（x2-x-）×（y2-）+[b（x2-x-）]2+…+（yn-）2-2×b（xn-x-）×（yn-）+[b（xn-x-）]2

=∑n1i=1（yi-）2-2b×∑n1i=1（xi-x-）（yi-）+b2×∑n1i=1（xi-x-）2.

=∑n1i=1（xi-x-）2×b2-2∑n1i=1（xi-x-）（yi-）×b+∑n1i=1（yi-）2.

Q為關(guān)于b的二次函數(shù)，因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)各不相同，所以∑n1i=1（xi-x-）2恒大于0，即二次函數(shù)Q（b）開(kāi)口向上，有最小值Q，當(dāng)且僅當(dāng)b為對(duì)稱軸.因此，

b=--2∑n1i=1（xi-x-）（yi-）12×∑n1i=1（xi-x-）2

=∑n1i=1（xi-x-）（yi-）1∑n1i=1（xi-x-）2.

本文利用回歸直線恒過(guò)樣本中心的特點(diǎn)以及二次函數(shù)求最值的方法而得到回歸直線的兩個(gè)參數(shù)公式.該方法思路清楚，推理簡(jiǎn)單，并且還能加深學(xué)生對(duì)回歸直線的理解——回歸直線恒過(guò)樣本中心.本人認(rèn)為教材應(yīng)該使用本文方法介紹回歸直線方程.

參考文獻(xiàn)

[1]劉坦.回歸直線方程的另一推導(dǎo)[J].數(shù)學(xué)通訊，2003（23）：10.

[2]史雄.關(guān)于回歸直線方程的另一種簡(jiǎn)單推導(dǎo)方法[J].新課程學(xué)習(xí)（基礎(chǔ)教育），2010（2）：104.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）endprint