對(duì)稱性在重積分計(jì)算中的應(yīng)用

左俊梅

[摘 要]在積分計(jì)算中，運(yùn)用積分區(qū)域的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性，以及輪換對(duì)稱性可以簡化計(jì)算.對(duì)稱性在重積分計(jì)算中具有多方面的應(yīng)用.

[關(guān)鍵詞]對(duì)稱性 重積分 積分計(jì)算

[中圖分類號(hào)] O172.2 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2014）14-0177-02

一、對(duì)稱性在二重積分計(jì)算中的應(yīng)用

對(duì)于二重積分，我們主要討論積分區(qū)域關(guān)于x軸（或y軸）對(duì)稱、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱以及輪換對(duì)稱性的類型.

定理1 設(shè)函數(shù)f（x，y）在xoy平面上的有界區(qū)域D上連續(xù)，且D關(guān)于x軸對(duì)稱.如果函數(shù)f（x，y）是關(guān)于y的奇函數(shù)，即f（x，-y）=-f（x，y），（x，y）∈D則■f（x，y）dσ=0；如果f（x，y）是關(guān)于y的偶函數(shù)，即f（x，-y）=f （x，y），（x，y）∈D，則■f（x，y）dσ=2■f（x，y）dσ.其中D1是D在x軸上方的平面區(qū)域.

同理可寫出積分區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱的情形.當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，我們可以得到如下的定理.

定理2 設(shè)函數(shù)f（x，y）在xoy平面上的有界區(qū)域D上連續(xù)，且D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.如果f （-x，-y）=-f（x，y），（x，y）∈D，則■f（x，y）dσ=0；如果f （-x，-y）=f（x，y），（x，y）∈D，則■f（x，y）dσ=2■f（x，y）dσ=2■f（x，y）dσ，其中D1={（x，y）∈D|x≥0}，D2={（x，y）∈D|y≥0}.

為了敘述的方便，我們給出區(qū)域關(guān)于x，y的輪換對(duì)稱性的定義.

定義1 設(shè)D為一有界可度量平面區(qū)域（或光滑平面曲線段），如果對(duì)于任意（x，y）∈D，存在（y，x）∈D，則稱區(qū)域D（或光滑平面曲線段）關(guān)于（x，y）具有輪換對(duì)稱性.

關(guān)于區(qū)域的輪換對(duì)稱性，有如下定理.

定理3 設(shè)函數(shù)f（x，y）在xoy平面上的有界區(qū)域D上連續(xù)，且D關(guān)于x，y具有輪換對(duì)稱性，則■f（x，y）dσ=■f（y，x）dσ.

例1 計(jì)算二重積分I=■■ dσ，其中f（x）是區(qū)間[-1，1]上的正值連續(xù)函數(shù)，D={（x，y）|x2+y2≤1，x≥0，y≥0}.

解 由于積分區(qū)域D關(guān)于x，y具有輪換對(duì)稱性，則由定理3得

I=■■ dσ=■■ dσ，

所以I=■■[■+

■]dσ=■■dσ=■（a+b）.

二、對(duì)稱性在三重積分計(jì)算中的應(yīng)用

經(jīng)過分析，我們可以很容易地看到對(duì)稱性在三重積分計(jì)算中的應(yīng)用與二重積分非常類似，根據(jù)對(duì)稱性在二重積分計(jì)算中的結(jié)論可以得到下面的定理.

定理4 設(shè)函數(shù)f（x，y，z）是定義在空間有界區(qū)域Ω上的連續(xù)函數(shù)，且Ω關(guān)于坐標(biāo)平面x=0對(duì)稱，則

（1）若f（x，y，z）是關(guān)于變量x的奇函數(shù)，則

■f（x，y，z）dV=0；

（2）若f（x，y，z）是關(guān)于變量x的偶函數(shù)，則

■f（x，y，z）dV=2■f（x，y，z）dV.

其中Ω1是Ω的前半部分，Ω1={（x，y，z）∈Ω|x≥0}.

同理可寫出Ω關(guān)于坐標(biāo)平面y=0（或z=0）對(duì)稱時(shí)的情形.

例2 計(jì)算三重積分I=■（x+z）dV，其中Ω是由曲面z=■與z=■所圍成的區(qū)域.

解I=■xdV+■zdV，由于Ω關(guān)于坐標(biāo)面x=0對(duì)稱，且x為關(guān)于變量x的奇函數(shù)，則由定理4知■xdV=0.則I=■zdV=■dθ■dφ■rcosφr2sinφdr=■.

與二重積分類似，我們也可得到如下結(jié)論.

定理5 設(shè)函數(shù)f（x，y，z）是定義在空間有界區(qū)域Ω上的連續(xù)函數(shù)，且Ω關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則

（1）若f（-x，-y，-z）=-f（x，y，z），（x，y，z）∈Ω，則

■f（x，y，z）dV=0；

（2）若f（-x，-y，-z）=f（x，y，z），（x，y，z）∈Ω，，則

■f（x，y，z）dV=2■f（x，y，z）dV=2■f（x，y，z）dV

=2■f（x，y，z）dV.

其中Ω1={（x，y，z）∈Ω|x≥0}，Ω2={（x，y，z）∈Ω|y≥0}，Ω3={（x，y，z）∈Ω|z≥0}

為了方便敘述，我們先給出一個(gè)空間幾何體關(guān)于x，y，z的輪換對(duì)稱性定義.

定義2 設(shè)Ω是一有界可度量的幾何體（Ω可為空間區(qū)域、空間曲線或曲面塊），且它的邊界光滑，若對(duì)任意的（x，y，z）∈Ω，都存在（y，z，x）∈Ω，存在（z，x，y）∈Ω，則稱Ω關(guān)于x，y，z具有輪換對(duì)稱性.

關(guān)于空間區(qū)域的輪換對(duì)稱性，我們有如下的定理.

定理6 設(shè)函數(shù)y（x，y，z）是定義在空間有界區(qū)域Ω上的連續(xù)函數(shù)，且Ω關(guān)于x，y，z具有輪換對(duì)稱性，則

■f（x，y，z）dV=■f（y，z，x）dV=■f（z，x，y）dV.

例3 計(jì)算■f（x+y+z）2dΩ.其中Ω為正方體0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1.

解 由于Ω關(guān)于x，y，z具有輪換對(duì)稱性，由定理6知

■x2dΩ=■y2dΩ=■z2dΩ，

■2xydΩ=■2yzdΩ=■2zxdΩ，

那么■（x+y+z）2dΩ=■（3x2+6xy）2dΩ

=■dx■dy■（3x2+6xy）dz=■.

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 孫欽福.二重積分的對(duì)稱性定理及其應(yīng)用[J].曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2008（29）：9-10.

[2] 張仁華.二重積分計(jì)算中的若干技巧[J].湖南冶金職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2008（2）：102-104.

[3] 陳云新.輪換對(duì)稱性在積分中的應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究，2001（4）：29-31.

[4] 王憲杰.對(duì)稱區(qū)域上二重積分和三重積分的計(jì)算[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2007（4）：65-66.

[責(zé)任編輯：林志恒]