復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)改革

滕巖梅，張繼龍

摘要：針對(duì)高等工科院校復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)現(xiàn)狀，結(jié)合自身實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，從教材、教學(xué)內(nèi)容完善，教學(xué)方法改進(jìn)，強(qiáng)調(diào)動(dòng)手能力等方面提出建議和實(shí)例。

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù)與積分變換；Matlab；類比教學(xué)；啟發(fā)教學(xué)；形象教學(xué)

中圖分類號(hào)：G642.；O177.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）06-0033-03

復(fù)變函數(shù)與積分變換課程是工科高等院校的一門基礎(chǔ)課程，對(duì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域和其他自然科學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展都有重要影響.它為數(shù)學(xué)的許多分支提供了一種重要的解析工具.它是解決諸如流體力學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)、電磁學(xué)、熱學(xué)及彈性力學(xué)中平面問(wèn)題的有力工具，同時(shí)也是研究微分方程、積分方程、數(shù)學(xué)物理方程、積分變換等數(shù)學(xué)分支的必要工具，更是學(xué)習(xí)自動(dòng)控制、電子工程、信息工程與機(jī)電工程等專業(yè)課的理論基礎(chǔ)[1，2]，是工科學(xué)生從事理論研究、實(shí)際操作以及深層學(xué)習(xí)必不可少的知識(shí)準(zhǔn)備，傳統(tǒng)的教學(xué)模式已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能適應(yīng)社會(huì)發(fā)展的需要，因此，以全面提高學(xué)生素質(zhì)為目的，對(duì)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教材等方面進(jìn)行全面改革勢(shì)在必行[3，4]。

一、教材完善

教材是教師和學(xué)生交流的重要載體之一，也是學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)和自我學(xué)習(xí)的重要工具，因此，教材內(nèi)容的選取至關(guān)重要，對(duì)教學(xué)效果有直接影響。在選取教學(xué)內(nèi)容時(shí)，首先根據(jù)理工科學(xué)生的特點(diǎn)，注意難易適度，加強(qiáng)學(xué)科間的交叉，在制定教學(xué)大綱時(shí)注意結(jié)合不同專業(yè)學(xué)生特點(diǎn)，加以區(qū)別。避免傳統(tǒng)教學(xué)中重理論、輕應(yīng)用的現(xiàn)象，強(qiáng)調(diào)工程應(yīng)用，例如學(xué)習(xí)留數(shù)時(shí)介紹留數(shù)在計(jì)算實(shí)積分、數(shù)字濾波器性能分析和形狀設(shè)計(jì)中的應(yīng)用；學(xué)習(xí)傅立葉變換時(shí)介紹其在線性時(shí)不變系統(tǒng)的應(yīng)用；學(xué)習(xí)拉普拉斯變換時(shí)介紹其在現(xiàn)代信號(hào)處理、電路中的應(yīng)用等。體會(huì)到復(fù)變函數(shù)與積分變換課程在本專業(yè)中的作用，看到后續(xù)課程甚至科學(xué)研究中都要用到這些知識(shí)，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，經(jīng)常他們帶著相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行學(xué)習(xí)討論，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生對(duì)專業(yè)知識(shí)的理解。理論聯(lián)系實(shí)際，加強(qiáng)實(shí)踐環(huán)節(jié)。下面單獨(dú)列出一章，專門介紹復(fù)變函數(shù)與積分變換在各個(gè)方面的應(yīng)用，供教師適當(dāng)選擇講解，也可供有興趣的同學(xué)作為參考。

二、改進(jìn)教學(xué)方法

1.類比教學(xué)法。在教學(xué)過(guò)程中，類比的過(guò)程是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的過(guò)程。通過(guò)適當(dāng)比較，學(xué)生能更清晰、更容易理解相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)。

雖然復(fù)變函數(shù)論有本學(xué)科的獨(dú)立性、完整性，但作為高等數(shù)學(xué)的后繼課程，在知識(shí)上與高數(shù)有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，許多概念和定理都與高等數(shù)學(xué)理論類似，甚至在章節(jié)安排上也能清晰地看到這一點(diǎn)。因此在教學(xué)中運(yùn)用“復(fù)與實(shí)”的類比，一維與二維的類比、有限與無(wú)限的類比等，可以使學(xué)生了解新舊知識(shí)的關(guān)系，激發(fā)他們對(duì)新知識(shí)的積極性。在教學(xué)過(guò)程中，合理地利用類比法與數(shù)學(xué)分析中的相應(yīng)的內(nèi)容進(jìn)行比較，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行某種類比，這樣可以做到知識(shí)的承前啟后的效果，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的再理解，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中不斷地思考。在教授學(xué)生時(shí)，一方面要強(qiáng)調(diào)二者之間聯(lián)系，同時(shí)更要關(guān)注二者之間的差別，這種不同之處體現(xiàn)為兩種情況：（1）表面形式相同，但本質(zhì)不同。例如：一元復(fù)函數(shù)的極限、連續(xù)、可導(dǎo)的定義與一元實(shí)函數(shù)完全相同，但一元復(fù)函數(shù)的定積分形式上與一元實(shí)函數(shù)的定義相同，但本質(zhì)上接近二元實(shí)函數(shù)的曲線積分。（2）從內(nèi)到外都不同，完全是新的內(nèi)容，例如：羅朗級(jí)數(shù)，留數(shù)等。教學(xué)中如何向?qū)W生展示二者的聯(lián)系與差異，揭示復(fù)變函數(shù)的本質(zhì)屬性，是上好這門課的關(guān)鍵所在。

2.啟發(fā)式教學(xué)。啟發(fā)式教學(xué)由來(lái)已久，對(duì)提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題以及實(shí)際動(dòng)手的能力有著十分重要的意義。在教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，適當(dāng)加以引導(dǎo)，達(dá)到完美的課堂效果。例如，在學(xué)習(xí)復(fù)積分時(shí)，提示學(xué)生注意哪些積分與路徑無(wú)關(guān)，哪些積分與路徑有關(guān)，積分注意先看被積函數(shù)解析性。在講述多連通區(qū)域柯西積分定理時(shí)，先回顧單連通區(qū)域柯西積分定理，要求學(xué)生嘗試給出直接推廣；學(xué)習(xí)留數(shù)概念時(shí)思考為什么叫留數(shù)等等。在高等數(shù)學(xué)中所學(xué)的牛頓萊布尼茲公式、求導(dǎo)四則運(yùn)算、洛必塔法則、分步積分法等結(jié)論多數(shù)都可以推廣到復(fù)分析中，那么微分中值定理不能直接推廣到復(fù)變函數(shù)中來(lái)？不能怎么辦？可不可以考慮弱些的結(jié)論？在講述傅立葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式時(shí)，提出問(wèn)題：為什么要做如此轉(zhuǎn)換？復(fù)指數(shù)本身有哪些好處？在工程中這種信號(hào)有什么優(yōu)勢(shì)？從學(xué)生熟悉的問(wèn)題尋找切入點(diǎn)，讓學(xué)生的頭腦動(dòng)起來(lái)。在學(xué)習(xí)拉普拉斯變換時(shí)，讓學(xué)生思考拉普拉斯變換和傅立葉變換的區(qū)別與聯(lián)系，進(jìn)一步給出幾種其他積分變換：Hilbert變換、z變換等，讓學(xué)生自己加以比較分析。對(duì)這些問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生去查找相關(guān)的資料，加以分析，解決問(wèn)題并提出新的問(wèn)題.引導(dǎo)學(xué)生走上“提出問(wèn)題—解決問(wèn)題—提出新問(wèn)題”的科學(xué)研究的道路上來(lái)，培養(yǎng)他們科學(xué)的思維方式。

3.形象教學(xué)。在教學(xué)過(guò)程中，很多問(wèn)題比較抽象，這時(shí)，如果能從幾何上加以描述，問(wèn)題會(huì)變得形象，學(xué)生易于理解和接受。例如，介紹無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域時(shí)，可以利用復(fù)球面與擴(kuò)充復(fù)平面以及北極N和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，容易得出無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域在復(fù)球面上即為北極N附近的緯線圍成的部分，因此在擴(kuò)充復(fù)平面中以點(diǎn)為中心的鄰域?yàn)閧z：|z|>M}.在積分這章，讓學(xué)生考慮怎樣測(cè)量地心溫度這一問(wèn)題，介紹復(fù)積分的物理意義；在保形映射這章，讓學(xué)生考慮為什么數(shù)碼相機(jī)比普通相機(jī)更有立體感，等等。

此外，合理利用現(xiàn)代化的教學(xué)手段，當(dāng)今社會(huì)，網(wǎng)絡(luò)、計(jì)算機(jī)、多媒體等飛速發(fā)展，這些為我們教學(xué)提供了大量的便利工具.我們?cè)趶?fù)變函數(shù)與積分變換的教學(xué)中，已經(jīng)適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用了多媒體、投影儀等教學(xué)手段，一方面更有效的利用課堂時(shí)間，另一方面，可將所收內(nèi)容用更形象的方式展示，讓學(xué)生更感興趣。把Matlab應(yīng)用到復(fù)變函數(shù)論中的復(fù)數(shù)運(yùn)算、方程求根、泰勒展開式、函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)等等，既使學(xué)生理解了概念，掌握了復(fù)變函數(shù)的基本運(yùn)算，同時(shí)加強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手能力。

例如，對(duì)數(shù)函數(shù)Lnz的圖像：

z=cplxgrid（20）；

w=log（z）；

for k=0：3；

w=w+i*2*pi；

surf（real（z），imag（z），imag（w），real（w））；

hold on

title（'Lnz'）

end

冪函數(shù)的圖像：z=cplxgrid（30）；cplxmap（z，z.^3）；title（'z^3'）

余弦函數(shù)cos（z）的圖像：z=cplxgrid（20）；cplxmap（z，cos（z））；title{'cos（z）'}

另外，我們正嘗試運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)這一現(xiàn)代化工具，構(gòu)建一個(gè)網(wǎng)上平臺(tái).在這里同學(xué)們可以互相推薦學(xué)習(xí)資料，交流學(xué)習(xí)心得，自由提問(wèn)、答疑，我們想這也許更能促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，也是對(duì)我們課堂教學(xué)的有益補(bǔ)充。

三、教學(xué)內(nèi)容的完善

穿插科學(xué)發(fā)展背景，提高學(xué)生興趣，將數(shù)學(xué)發(fā)展史和教學(xué)有機(jī)結(jié)合；在課程講授過(guò)程中遇到很多科學(xué)家，如歐拉、黎曼、柯西等，講授科學(xué)家的奇聞?shì)W事，提高學(xué)生興趣。復(fù)變函數(shù)中的許多理論與方法不僅給數(shù)學(xué)的許多分支提供一種重要的解析工具，而且在其他自然科學(xué)和各種工程領(lǐng)域特別是信號(hào)處理以及物理學(xué)等的研究方面有著廣泛的應(yīng)用。補(bǔ)充介紹目前本學(xué)科的進(jìn)展情況以及本學(xué)科與其他學(xué)科聯(lián)系。例如，在介紹傅立葉變換時(shí)簡(jiǎn)單介紹小波變換思想，傅立葉變換在分析處理信號(hào)的方法上的局限性，以及小波變換是怎樣克服傅立葉變換的弱點(diǎn)的等等。

四、聯(lián)系實(shí)際、提高動(dòng)手能力

目前，隨著科學(xué)的迅猛發(fā)展，數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用已越來(lái)越廣泛，其相應(yīng)的計(jì)算量也越來(lái)越大，MATLAB是一種具有強(qiáng)大數(shù)值計(jì)算，分析和圖形處理功能的科學(xué)計(jì)算語(yǔ)言，其應(yīng)用領(lǐng)域極為廣泛。將復(fù)變函數(shù)與積分變換的教學(xué)與Matlab適當(dāng)結(jié)合，鑒于Mathcad能輕松地將一些數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀地求解顯現(xiàn)出來(lái)的特點(diǎn)，能促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。尤其在積分變換部分，這種優(yōu)勢(shì)更加明顯。

例1：已知f（t）=ε（t+1）-ε（t-1），且f1（t）=f（6t），利用matlab在同一個(gè)圖中畫出它們的幅度譜；驗(yàn)證傅立葉變換的相似變換性質(zhì)。

Matlab程序：

>> N=256；M=500；

>> t=linspace（-2，2，N）；

>> w=linspace（-10*pi，10*pi，M）；%在區(qū)間-10*pi，10*pi]內(nèi)進(jìn)行頻率分割

>> dt=4/（N-1）；

>> f=heaviside（t+1）-heaviside（t-1）；

>> F=f*exp（-j*t'*w）*dt；

>> a=6；t1=a*t；

>> f1=heaviside（t1+1）-heaviside（t1-1）；

>> F1=f1*exp（-j*t'*w）*dt；

>> figure（1）；

>> subplot（2，1，2）；plot（w，real（F），w，real（F1），'r'）；grid on

>> subplot（2，1，1）；plot（w，real（F），w，real（F1），'r'）；grid on

>> xlabel（'w'）；

>> ylabel（'real（F（w））'）；

>> title（'傅里葉變換的實(shí)部'）；

>> subplot（2，1，2）；plot（w，abs（F），w，abs（F1），'r'）；grid on

>> xlabel（'w'）；

>> ylabel（'abs（F（w））'）；

>> title（'信號(hào)的幅度譜'）；

圖示：

參考文獻(xiàn)：

[1]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)[M].高等教育出版社，2004.

[2]王省哲，怡曉玲.彈性力學(xué)問(wèn)題復(fù)變函數(shù)解析的應(yīng)用與發(fā)展[J].力學(xué)與實(shí)踐，2008，（30）.

[3]袁亞湘.大學(xué)數(shù)學(xué)重在介紹思想[J].高等數(shù)學(xué)研究，2002，（3）.

[4]龔定東，許玉琴.關(guān)于復(fù)變函數(shù)與積分變換課堂教學(xué)的思考[J].高等數(shù)學(xué)研究，2009，（12）.

作者簡(jiǎn)介：滕巖梅，北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，副教授。

z=cplxgrid（20）；

w=log（z）；

for k=0：3；

w=w+i*2*pi；

surf（real（z），imag（z），imag（w），real（w））；

hold on

title（'Lnz'）

end

冪函數(shù)的圖像：z=cplxgrid（30）；cplxmap（z，z.^3）；title（'z^3'）

余弦函數(shù)cos（z）的圖像：z=cplxgrid（20）；cplxmap（z，cos（z））；title{'cos（z）'}

另外，我們正嘗試運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)這一現(xiàn)代化工具，構(gòu)建一個(gè)網(wǎng)上平臺(tái).在這里同學(xué)們可以互相推薦學(xué)習(xí)資料，交流學(xué)習(xí)心得，自由提問(wèn)、答疑，我們想這也許更能促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，也是對(duì)我們課堂教學(xué)的有益補(bǔ)充。

三、教學(xué)內(nèi)容的完善

穿插科學(xué)發(fā)展背景，提高學(xué)生興趣，將數(shù)學(xué)發(fā)展史和教學(xué)有機(jī)結(jié)合；在課程講授過(guò)程中遇到很多科學(xué)家，如歐拉、黎曼、柯西等，講授科學(xué)家的奇聞?shì)W事，提高學(xué)生興趣。復(fù)變函數(shù)中的許多理論與方法不僅給數(shù)學(xué)的許多分支提供一種重要的解析工具，而且在其他自然科學(xué)和各種工程領(lǐng)域特別是信號(hào)處理以及物理學(xué)等的研究方面有著廣泛的應(yīng)用。補(bǔ)充介紹目前本學(xué)科的進(jìn)展情況以及本學(xué)科與其他學(xué)科聯(lián)系。例如，在介紹傅立葉變換時(shí)簡(jiǎn)單介紹小波變換思想，傅立葉變換在分析處理信號(hào)的方法上的局限性，以及小波變換是怎樣克服傅立葉變換的弱點(diǎn)的等等。

四、聯(lián)系實(shí)際、提高動(dòng)手能力

目前，隨著科學(xué)的迅猛發(fā)展，數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用已越來(lái)越廣泛，其相應(yīng)的計(jì)算量也越來(lái)越大，MATLAB是一種具有強(qiáng)大數(shù)值計(jì)算，分析和圖形處理功能的科學(xué)計(jì)算語(yǔ)言，其應(yīng)用領(lǐng)域極為廣泛。將復(fù)變函數(shù)與積分變換的教學(xué)與Matlab適當(dāng)結(jié)合，鑒于Mathcad能輕松地將一些數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀地求解顯現(xiàn)出來(lái)的特點(diǎn)，能促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。尤其在積分變換部分，這種優(yōu)勢(shì)更加明顯。

例1：已知f（t）=ε（t+1）-ε（t-1），且f1（t）=f（6t），利用matlab在同一個(gè)圖中畫出它們的幅度譜；驗(yàn)證傅立葉變換的相似變換性質(zhì)。

Matlab程序：

>> N=256；M=500；

>> t=linspace（-2，2，N）；

>> w=linspace（-10*pi，10*pi，M）；%在區(qū)間-10*pi，10*pi]內(nèi)進(jìn)行頻率分割

>> dt=4/（N-1）；

>> f=heaviside（t+1）-heaviside（t-1）；

>> F=f*exp（-j*t'*w）*dt；

>> a=6；t1=a*t；

>> f1=heaviside（t1+1）-heaviside（t1-1）；

>> F1=f1*exp（-j*t'*w）*dt；

>> figure（1）；

>> subplot（2，1，2）；plot（w，real（F），w，real（F1），'r'）；grid on

>> subplot（2，1，1）；plot（w，real（F），w，real（F1），'r'）；grid on

>> xlabel（'w'）；

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>> title（'傅里葉變換的實(shí)部'）；

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>> xlabel（'w'）；

>> ylabel（'abs（F（w））'）；

>> title（'信號(hào)的幅度譜'）；

圖示：

參考文獻(xiàn)：

[1]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)[M].高等教育出版社，2004.

[2]王省哲，怡曉玲.彈性力學(xué)問(wèn)題復(fù)變函數(shù)解析的應(yīng)用與發(fā)展[J].力學(xué)與實(shí)踐，2008，（30）.

[3]袁亞湘.大學(xué)數(shù)學(xué)重在介紹思想[J].高等數(shù)學(xué)研究，2002，（3）.

[4]龔定東，許玉琴.關(guān)于復(fù)變函數(shù)與積分變換課堂教學(xué)的思考[J].高等數(shù)學(xué)研究，2009，（12）.

作者簡(jiǎn)介：滕巖梅，北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，副教授。

z=cplxgrid（20）；

w=log（z）；

for k=0：3；

w=w+i*2*pi；

surf（real（z），imag（z），imag（w），real（w））；

hold on

title（'Lnz'）

end

冪函數(shù)的圖像：z=cplxgrid（30）；cplxmap（z，z.^3）；title（'z^3'）

余弦函數(shù)cos（z）的圖像：z=cplxgrid（20）；cplxmap（z，cos（z））；title{'cos（z）'}

另外，我們正嘗試運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)這一現(xiàn)代化工具，構(gòu)建一個(gè)網(wǎng)上平臺(tái).在這里同學(xué)們可以互相推薦學(xué)習(xí)資料，交流學(xué)習(xí)心得，自由提問(wèn)、答疑，我們想這也許更能促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，也是對(duì)我們課堂教學(xué)的有益補(bǔ)充。

三、教學(xué)內(nèi)容的完善

穿插科學(xué)發(fā)展背景，提高學(xué)生興趣，將數(shù)學(xué)發(fā)展史和教學(xué)有機(jī)結(jié)合；在課程講授過(guò)程中遇到很多科學(xué)家，如歐拉、黎曼、柯西等，講授科學(xué)家的奇聞?shì)W事，提高學(xué)生興趣。復(fù)變函數(shù)中的許多理論與方法不僅給數(shù)學(xué)的許多分支提供一種重要的解析工具，而且在其他自然科學(xué)和各種工程領(lǐng)域特別是信號(hào)處理以及物理學(xué)等的研究方面有著廣泛的應(yīng)用。補(bǔ)充介紹目前本學(xué)科的進(jìn)展情況以及本學(xué)科與其他學(xué)科聯(lián)系。例如，在介紹傅立葉變換時(shí)簡(jiǎn)單介紹小波變換思想，傅立葉變換在分析處理信號(hào)的方法上的局限性，以及小波變換是怎樣克服傅立葉變換的弱點(diǎn)的等等。

四、聯(lián)系實(shí)際、提高動(dòng)手能力

目前，隨著科學(xué)的迅猛發(fā)展，數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用已越來(lái)越廣泛，其相應(yīng)的計(jì)算量也越來(lái)越大，MATLAB是一種具有強(qiáng)大數(shù)值計(jì)算，分析和圖形處理功能的科學(xué)計(jì)算語(yǔ)言，其應(yīng)用領(lǐng)域極為廣泛。將復(fù)變函數(shù)與積分變換的教學(xué)與Matlab適當(dāng)結(jié)合，鑒于Mathcad能輕松地將一些數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀地求解顯現(xiàn)出來(lái)的特點(diǎn)，能促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。尤其在積分變換部分，這種優(yōu)勢(shì)更加明顯。

例1：已知f（t）=ε（t+1）-ε（t-1），且f1（t）=f（6t），利用matlab在同一個(gè)圖中畫出它們的幅度譜；驗(yàn)證傅立葉變換的相似變換性質(zhì)。

Matlab程序：

>> N=256；M=500；

>> t=linspace（-2，2，N）；

>> w=linspace（-10*pi，10*pi，M）；%在區(qū)間-10*pi，10*pi]內(nèi)進(jìn)行頻率分割

>> dt=4/（N-1）；

>> f=heaviside（t+1）-heaviside（t-1）；

>> F=f*exp（-j*t'*w）*dt；

>> a=6；t1=a*t；

>> f1=heaviside（t1+1）-heaviside（t1-1）；

>> F1=f1*exp（-j*t'*w）*dt；

>> figure（1）；

>> subplot（2，1，2）；plot（w，real（F），w，real（F1），'r'）；grid on

>> subplot（2，1，1）；plot（w，real（F），w，real（F1），'r'）；grid on

>> xlabel（'w'）；

>> ylabel（'real（F（w））'）；

>> title（'傅里葉變換的實(shí)部'）；

>> subplot（2，1，2）；plot（w，abs（F），w，abs（F1），'r'）；grid on

>> xlabel（'w'）；

>> ylabel（'abs（F（w））'）；

>> title（'信號(hào)的幅度譜'）；

圖示：

參考文獻(xiàn)：

[1]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)[M].高等教育出版社，2004.

[2]王省哲，怡曉玲.彈性力學(xué)問(wèn)題復(fù)變函數(shù)解析的應(yīng)用與發(fā)展[J].力學(xué)與實(shí)踐，2008，（30）.

[3]袁亞湘.大學(xué)數(shù)學(xué)重在介紹思想[J].高等數(shù)學(xué)研究，2002，（3）.

[4]龔定東，許玉琴.關(guān)于復(fù)變函數(shù)與積分變換課堂教學(xué)的思考[J].高等數(shù)學(xué)研究，2009，（12）.

作者簡(jiǎn)介：滕巖梅，北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，副教授。