基于GMS摩擦模型的機器人低速運動研究*

靳興來，朱世強，吳文祥

(浙江大學(xué) 流體動力與機電系統(tǒng)國家重點實驗室，浙江 杭州 310027)

0 引 言

在伺服系統(tǒng)中，摩擦是一種難以避免的、復(fù)雜的非線性擾動因素[1]，摩擦力嚴重制約了機器人的低速運動性能。由于摩擦的非線性，其影響主要表現(xiàn)在：在低速跟蹤時，存在“滯滑”現(xiàn)象，產(chǎn)生靜態(tài)誤差，影響跟蹤和定位精度；速度過零時，由于摩擦力的不連續(xù)變化，導(dǎo)致出現(xiàn)波形畸變。文獻[2]中分析了低速運動時的爬行現(xiàn)象，指出了摩擦力作為主要干擾因素所造成的影響。文獻[3]指出由于摩擦力的強非線性，通過線性反饋控制系統(tǒng)只能部分地減弱摩擦力的影響。因此,基于模型的摩擦力補償對于低速控制是十分有效的方法。然而，目前針對摩擦問題的研究多集中于常速狀況，忽略了低速運動研究的意義。近來，倪風(fēng)雷等人[4]將GMS(generalized Maxwell-slip)模型應(yīng)用在拖動系統(tǒng)中，低速控制效果明顯。

本文為了提高機器人關(guān)節(jié)的低速運動性能，減小軌跡跟蹤誤差，進行了基于GMS摩擦模型前饋補償?shù)南嚓P(guān)研究，為了將前饋補償引入機械手控制系統(tǒng)，設(shè)計了電機的力矩控制系統(tǒng)。

1 GMS摩擦模型

1.1 摩擦機理

通過對摩擦力機制的深入研究，人們逐漸發(fā)現(xiàn)摩擦力存在2種機制：預(yù)滑動機制和滑動機制。在預(yù)滑動階段，基于位移的粘性摩擦力起主要作用，因此,摩擦力表現(xiàn)為微變形的關(guān)系式,隨著微變形量的增加，最終會產(chǎn)生滑動。在滑動階段，摩擦力與速度相關(guān)[5]。文獻[6]指出了目前應(yīng)用較廣的摩擦模型存在不能辨識預(yù)滑動階段摩擦力的缺點，通過實驗對比，驗證了GMS模型在低速控制時的優(yōu)點。

GMS模型能夠描述摩擦的3個基本現(xiàn)象：常速狀態(tài)下的Stribeck效應(yīng)；預(yù)滑動階段的不具有局部記憶的滯回效應(yīng)；滑動階段的摩擦記憶。

1.2 GMS模型表達式

目前實用的摩擦模型多是基于一個摩擦力方程和一個狀態(tài)方程的，而GMS模型則通過引入一個含系統(tǒng)變量的狀態(tài)方程來更加全面地描述摩擦力[7]。文獻[8]指出GMS模型是一種具有物理假想意義的摩擦模型，它假想為包含若干個狀態(tài)單一的并聯(lián)摩擦單元，這些單元包含相同的輸入，即速度v，總的摩擦力可看做是所有單元狀態(tài)輸出的綜合?？紤]粘性摩擦的情況下，其數(shù)學(xué)表達式如下

(1)

式中N為并聯(lián)的基本摩擦單元數(shù)量；Fi為單個摩擦單元的摩擦力；σ為粘滯摩擦系數(shù)；v為速度。其中，每個單元的動態(tài)摩擦力Fi由以下微分方程給出：

1)當(dāng)摩擦單元i處于粘滯狀態(tài)時，狀態(tài)方程為

(2)

式中ki為單元的剛度系數(shù)。粘滯狀態(tài)維持至Fi>αis(v)，其中，αi為常數(shù),s(v)為模型的Stribeck曲線。

2)當(dāng)摩擦單元i處于滑動狀態(tài)時，狀態(tài)方程為

(3)

式中αi為單元的權(quán)值系數(shù)，決定了每一單元停滯狀態(tài)時的力Fi的最大值；C為常數(shù)，決定了GMS模型摩擦力在滑動區(qū)域收斂于Stribeck曲線的程度。因此,Stribeck曲線的辨識精度能夠影響GMS模型在滑動狀態(tài)時的控制效果，滑動狀態(tài)維持至v接近0。s(v)的表達式如下式

s(v)=(Fc+(Fs-Fc)e-|v/vs|δ)sgnv+σv,

(4)

式中Fc為庫倫摩擦力；Fs為最大靜摩擦力；vs為Stribeck速度；δ為一指數(shù)項，在0.5～2之間取值；σ為粘性摩擦系數(shù)。

2 實驗平臺

為了得到GMS模型在實際應(yīng)用領(lǐng)域的控制效果，基于自主研制的六自由度機械手平臺進行實驗，實驗平臺如圖1。該機械手采用上位機+下位機的控制架構(gòu)，上位機為工控機，下位機是DSP+CPLD架構(gòu)的多軸運動控制卡，本文的控制算法即在下位機中實現(xiàn)。為了能夠避免重力、慣性力等因素對模型參數(shù)辨識帶來的干擾，選擇機械手的第一關(guān)節(jié)進行勻速實驗,如式(5)

(5)

式中J為等效到電機上的等效轉(zhuǎn)動慣量；T為驅(qū)動力矩；Tf為負載力矩，主要是摩擦產(chǎn)生的阻力矩。

圖1 六自由度機械手

3 實驗設(shè)計

3.1 Stribeck曲線參數(shù)的辨識

目前常用的離線參數(shù)辨識方法有最小二乘法、非線性回歸方法等。由于摩擦本身是一個復(fù)雜的非線性現(xiàn)象，它與負載大小、運動速度、環(huán)境溫度、機械結(jié)構(gòu)等因素有關(guān)，所以，用經(jīng)典的系統(tǒng)辨識方法很難得到比較準(zhǔn)確的摩擦模型參數(shù)。由于遺傳算法具有不依賴于被控對象的精確數(shù)學(xué)模型、適合在線學(xué)習(xí)等特點[9]，因此,采用遺傳算法進行參數(shù)辨識。設(shè)計機械手第一關(guān)節(jié)的控制電機在速度區(qū)間[-700,700]r/min勻速運行。具體步驟為：±5～±50 r/min期間以±5 r/min的遞增；±50～±100 r/min期間以±10 r/min遞增；±100～±400 r/min期間以±20 r/min遞增；±400～±700 r/min期間以±50 r/min遞增。式(4)中當(dāng)δ=2時，為Tustin模型，設(shè)置遺傳算法的種群規(guī)模為100，遺傳代數(shù)為25 000，設(shè)置目標(biāo)函數(shù)為式(6)，個體適應(yīng)度為式(7)

(6)

fm=1/Lm,m=1,2,…，M,

(7)

式中H為所采樣速度的個數(shù)；M為種群規(guī)模；ei為個體i的誤差。當(dāng)交叉概率為0.9時,可以得到辨識結(jié)果如圖2。

含δ的辨識與Tustin辨識模型的誤差對比如圖3，Tustin模型辨識誤差小且模型簡單。

圖2 軌跡擬合

圖3 辨識誤差對比

辨識得到的模型參數(shù)如表1。

表1 Stribeck模型參數(shù)

3.2 粘滯曲線參數(shù)辨識

為了辨識預(yù)滑動摩擦力的參數(shù)，需要得到粘滯曲線。由于粘滯摩擦力決定于摩擦單元的狀態(tài)變量，狀態(tài)變量不能直接測量，但是卻可以通過運動狀態(tài)估計得到。文獻[5]中指出，可以設(shè)計一個周期性運動，使得伺服系統(tǒng)做周期運動并且要保證處在預(yù)滑動狀態(tài)。本文設(shè)計了具有較小幅值的做勻速周期運動的軌跡，如圖4。

圖4 關(guān)節(jié)運動軌跡

設(shè)置伺服驅(qū)動器在力矩模式下控制電機，通過下位機實現(xiàn)關(guān)節(jié)運行圖4的軌跡，可得到扭矩—轉(zhuǎn)角圖。由于存在噪聲等干擾信號，因此，設(shè)計了低通濾波器，一階低通濾波器如式(8)

(8)

式中T為時間常數(shù)。

本文采用其離散形式，如式(9)

Yn=λXn+(1-λ)Yn-1,

(9)

式中Xn為本次采樣值，Yn-1為上次濾波輸出值，Yn為本次濾波值，λ為濾波系數(shù)。

濾波效果如圖5。

圖5 預(yù)滑動軌跡

3.3 GMS模型參數(shù)辨識

通過圖5兩組曲線，就可以得到GMS模型。文獻[10]中指出，預(yù)滑動曲線可近似看做分段曲線，而第一個上升階段的分段曲線決定了模型的特征狀態(tài)。其方法是在第一段內(nèi)取5個狀態(tài)點P0～P5，分別為P0(0,0),P1(0.004 903,42.79),P2(0.008 535，49.56),P3(0.020 2,51.68),P4(0.035 5,52.95)，由于電機減速比為121，可以轉(zhuǎn)化為電機所對應(yīng)的5個點。參考文獻[3]中的方法，可以得到各線段的斜率為ko=0.596 0 N·m/(°)，ka=0.127 4 N·m/(°)，kb=0.012 4 N·m/(°)，kc=0.005 7 N·m/(°)，同時利用式(10)，可以求得式(2)中的系數(shù)ki

(10)

最后，利用式(11)求取權(quán)值系數(shù)αi

(11)

式中j為還處于粘滯摩擦狀態(tài)的單元；ΔP=Pi-P0，表示滑動臨界點的相對位移；kj為由分段函數(shù)確定的比例系數(shù)。

通過以上分析，可辨識得到GMS模型所需要的參數(shù)，如表2。

4 實 驗

利用上述的辨識結(jié)果，在機械手第一關(guān)節(jié)控制系統(tǒng)中分別將GMS摩擦模型、Stribeck摩擦模型作為補償項引入。速度通過電機自帶的編碼器反饋得到，并經(jīng)過低通濾波器濾除噪聲干擾。控制原理如圖6。

圖6 控制系統(tǒng)原理圖

為了充分驗證模型的作用，設(shè)計的跟蹤軌跡為關(guān)節(jié)低速下的大范圍運動如圖7，得到跟蹤誤差對比如圖8。

圖7 跟蹤軌跡

圖8 跟蹤誤差對比圖

通過圖8可以直觀地分析出：

1)當(dāng)只有普通的PID控制而無前饋補償時，機械手軌跡跟蹤誤差為0.28°。

2)加入本文辨識的Stribeck模型作為前饋補償后，軌跡跟蹤誤差顯著減小至0.012°，但是在起止位置和換向位置處，存在較大誤差，尤其是換向位置存在突變。

3)加入本文辨識的GMS模型作為前饋補償后，誤差進一步縮小，并且消除了換向位置處的誤差突變，整體的控制效果更優(yōu)。

5 結(jié) 論

針對機械手低速應(yīng)用場合的不斷拓展，本文分析了影響低速運動性能的主要干擾源，鑒于當(dāng)前對機械手關(guān)節(jié)摩擦補償方法仍為傳統(tǒng)的Stribeck,LuGre等模型，而這些模型并不能準(zhǔn)確描述預(yù)滑動階段的摩擦特性。本文介紹了能夠全面描述摩擦特性的GMS摩擦模型，詳細講述了模型的參數(shù)辨識和應(yīng)用方法。最后，通過對機械手第一關(guān)節(jié)運動的前饋補償控制，驗證了該模型的有效性。

參考文獻:

[1]周金柱，段寶巖，黃 進.LuGre摩擦模型對伺服系統(tǒng)的影響與補償[J].控制理論與應(yīng)用，2008，25(6):990-994.

[2]李 強.并聯(lián)電液伺服六自由度平臺系統(tǒng)低速運動研究[D].杭州：浙江大學(xué)，2008:5-8.

[3]Jamaludin Z，Van Brussel H，Swevers J.Quadrant glitch compensation using friction model-based feedforward and an inverse-model-based disturbance observer[C]∥Proceedings of the 10th IEEE International Workshop on Advanced Motion Control，Trento，2008:212-217.

[4]倪風(fēng)雷，劉 宏，介黨陽.基于速度觀測器的GMS摩擦模型辨識與補償[J].電機與控制學(xué)報，2012，16(11)：70-75.

[5]Lampaert Vencent,Al-Bender Farid,Swevers Jan.A generalized Maxwell-slip friction model appropriate for control purposes[J].Physics and Control，2003，4:1170-1177.

[6]Lampaert V,Swevers J,Al-Bender F.Experimental comparison of different friction models for accurate low-velocity tracking[C]∥Proceedings of the 10th Mediterranean Conference on Control and Automation，Lisbon,Portugal，2002.

[7]Al-Bender Farid,Lampaert Vincent,Swevers Jan.The generalized Maxwell-slip model:A novel model for friction simulation and compensation[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2005，50(11)：1883-1887.

[8]Lampaert Vincent ,Swevers Jan ,Al-Bender Farid.Comparison of model and non-model based friction compensation[C]∥Procee-dings of the 2004 American Control Conference，Boston，2004： 1121-1126.

[9]劉金琨.機器人控制系統(tǒng)的設(shè)計與MATLAB仿真[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008：615-627.

[10] Ruderman Michael.Modeling and identification of elastic robots joints with hysteresis and backlash[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics，2009，56(10):3840-3847.