高考數(shù)學必做解答題——三角函數(shù)與三角恒等變換

張雪峰

1 三角函數(shù)的概念

（ ）必做1 如圖1，以Ox為始邊作角α與β（0<β<α<π），它們的終邊分別與單位圓相交于點P，Q，已知點P的坐標為- ， .

圖1

（1）求 的值；

（2）若 · =0，求sin（α+β）.

破解思路 （1）先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出sinα，cosα，代入求三角函數(shù)式子的值.

（2）根據(jù) · =0可得 ⊥ ，再結(jié)合β的取值范圍求出sinβ，cosβ的值，則sin（α+β）可求.

精妙解法 （1）由三角函數(shù)的定義得cosα=- ，sinα= ，

所以原式= = =2cos2α=2×- = .

（2）因為 · =0，所以 ⊥ ，所以α-β= ，所以β=α- .

所以sinβ=sinα- =-cosα= ，cosβ=cosα- =sinα= .

從而可得sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ= × +- × = .

極速突擊 （1）三角函數(shù)的定義是求三角函數(shù)值的基本依據(jù)，如果已知角終邊上的點，則利用三角函數(shù)的定義，便可求該角的正弦值、余弦值、正切值.

（2）同角三角函數(shù)間的關系、誘導公式在三角函數(shù)式的化簡中起著舉足輕重的作用，應注意正確選擇公式、注意公式應用的條件.

2 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

（ ）必做1 已知函數(shù)f（x）=sinωxcosωx+ cos2ωx- （ω>0），直線x=x1，x=x2是函數(shù)y=f（x）圖象的任意兩條對稱軸，且x1-x2的最小值為 .

（1）求f（x）的表達式；

（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移 個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若關于x的方程g（x）+k=0在區(qū)間0， 上有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍.？搖

破解思路 利用二倍角公式與和差公式可以對三角函數(shù)的解析式進行化簡，利用兩相鄰對稱軸的距離得到周期來求出ω. 在進行三角函數(shù)圖象變換時按照先平移再伸縮的步驟進行，得到新的函數(shù)y=g（x），由其與y=-k在0， 上的交點為一個，得到k的取值范圍.

精妙解法 （1）f（x）= sin2ωx+ · - = sin2ωx+ cos2ωx=sin2ωx+ .

由題意知，函數(shù)f（x）的最小正周期T=2× = ，T= = = ，所以ω=2. 所以f（x）=sin4x+ .

（2）將f（x）的圖象向右平移 個單位后，得到f（x）=sin4x- 的圖象；再將所得圖象所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到f（x）=sin2x- 的圖象.

所以g（x）=sin2x- .

令2x- =t，因為0≤x≤ ，所以- ≤t≤ .

g（x）+k=0在區(qū)間0， 上有且只有一個實數(shù)解，即函數(shù)g（t）=sint與y=-k在區(qū)間- ， 上有且只有一個交點.

如圖1，由正弦函數(shù)的圖象可知 - ≤-k< 或-k=1.

圖1

所以-

極速突擊 本題的突破點就是能正確地化簡函數(shù)解析式，對和差公式、二倍角公式能夠熟練運用. 確定函數(shù)y=g（x）的解析式后，本題解法中利用了兩個數(shù)學思想——整體思想（設2x- =t，將2x- 視為一個整體）和數(shù)形結(jié)合思想，將原問題轉(zhuǎn)化為g（t）=sint與y=-k在區(qū)間- ， 上有且只有一個交點的實數(shù)k的取值范圍.

誤點警示 在進行圖象變換時一定要注意是先平移后伸縮還是先伸縮后平移，兩者平移的單位是不一樣的.在利用函數(shù)的圖象解題時這里是轉(zhuǎn)化為y=-k，注意有一個負號，并且在三角函數(shù)圖象的最高點處也是一個交點，此處容易遺漏.

（ ）必做2 如圖2是一個纜車示意圖，該纜車的半徑為4.8米，圓上最低點與地面的距離為0.8米，且每60秒轉(zhuǎn)動一圈. 圖中OA與地面垂直，以OA為始邊，逆時針轉(zhuǎn)動θ角到OB，設點B與地面間的距離為h.

圖2

（1）求h與θ之間的函數(shù)關系式；

（2）設從OA開始轉(zhuǎn)動，經(jīng)過t秒到達OB，求h與t之間的函數(shù)關系式，并求該纜車首次到達最高點時所用的時間.

破解思路 （1）當θ> 時可以把h分成三段求解，用同樣的方法求θ∈0， ， ， π， π，2π時的高度h，可以發(fā)現(xiàn)不管θ為多少時h與θ之間的函數(shù)關系式是一樣的. （2）在第（1）問的基礎上求h與t之間的函數(shù)關系式就是把θ用t來表示，根據(jù)角速度可得. 纜車首次到達最高點時所用的時間就是求三角函數(shù)取最大值時t的值.

精妙解法 （1）過點O作地面的平行線ON，過點B作ON的垂線BM交ON于點M（如圖2）.

當θ> 時，∠BOM=θ- ，h=OA+BM+0.8=5.6+4.8sinθ- ；當0≤θ≤ 時，h=OA+0.8-OM=5.6-4.8sin -θ=5.6+4.8sinθ- . 當 ≤θ< π或 π≤θ<2π時，上式也成立.

所以h與θ（θ∈[0，+∞））之間的函數(shù)關系式為h=5.6+4.8sinθ- .

（2）點A在圓上轉(zhuǎn)動的角速度是 弧度/秒，所以t秒轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為 t，所以h=5.6+4.8sin t- ，t∈[0，+∞）.

首次到達最高點時， h=10.4米，即sin t- =1， t- = ，即t=30秒時，該纜車首次到達最高點.

極速突擊 本題屬三角函數(shù)模型的應用，通常的解決方法：轉(zhuǎn)化為y=sinx，y=cosx等函數(shù)解決圖象、最值、單調(diào)性等問題，體現(xiàn)了化歸的思想方法. 用三角函數(shù)模型解決實際問題主要有兩種：一種是用已知的模型去分析解決實際問題，另一種是需要建立精確的或者用數(shù)據(jù)擬合的模型去解決問題，尤其是利用數(shù)據(jù)建立擬合函數(shù)解決實際問題，充分體現(xiàn)了新課標中“數(shù)學建模”的本質(zhì).

金刊提醒

處理三角函數(shù)圖象問題，首先應弄清A，ω，φ的功能. 同學們應當掌握根據(jù)相應的三角函數(shù)解析式繪出相應曲線草圖并給出相應曲線特征的方法.

3 三角函數(shù)的和差倍角運算

（ ）必做1 已知函數(shù)f（x）=2cos cos -sin .

（1）設θ∈- ， ，且f（θ）= +1，求θ的值；

（2）在△ABC中，AB=1， f（C）= +1，且△ABC的面積為 ，求sinA+sinB的值.

破解思路 （1）先利用二倍角公式對函數(shù)解析式進行化簡，合為一個三角函數(shù)；再由已知f（θ）= +1求出θ的值，要注意θ范圍的限制. （2）在△ABC中根據(jù)第（1）問求出的角θ的值就是角C的值，應用面積公式能夠得到兩邊a，b的一個關系式，再結(jié)合余弦定理可列出a，b的第二個關系式，從而解出a，b的值，利用正弦定理便可求出sinA，sinB的值.

精妙解法 （1）由已知， f（x）=2 cos2 -2sin cos = （1+cosx）-sinx=2cosx+ + .

由2cosθ+ + = +1，得cosθ+ = ，于是θ+ =2kπ± （k∈Z）. 因為θ∈- ， ，所以θ= - 或 .

（2）因為C∈（0，π），由（1）知，C= . 又因為△ABC的面積為 ，所以可得 = absin ，于是ab=2 ①.

在△ABC中，設內(nèi)角A，B的對邊分別是a，b.

由余弦定理得1=a2+b2-2abcos =a2+b2-6，所以a2+b2=7 ②.

由①②可得a=2，b= ，或a= ，b=2.于是a+b=2+ .

由正弦定理得 = = = ，所以sinA+sinB= （a+b）=1+ .

極速突擊 該題的兩個問題都是求三角函數(shù)的有關值，所以要求我們能根據(jù)公式知道要求什么，必須求什么.能熟練運用兩角和與差的三角函數(shù)公式的關鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的關系、次數(shù)關系、三角函數(shù)名等. 抓住公式的結(jié)構特征對提高記憶公式的效率起到至關重要的作用，而且抓住了公式的結(jié)構特征，有利于在解題時觀察分析題設和結(jié)論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結(jié)構特征，從而聯(lián)想到相應的公式，找到解題的切入點. 對公式的逆用式和變形式也要熟悉.

（ ）必做2 已知函數(shù)f（x）=2cos2x+2 sinxcosx.

（1）求函數(shù)在- ， 上的值域；

（2）在△ABC中，若已知f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值.

破解思路 利用二倍角公式對函數(shù)解析式進行化簡，合并成一個三角函數(shù)，把得到的角看成一個整體求出其取值范圍，再求整個三角函數(shù)的值的范圍.根據(jù)給出的一個角的函數(shù)值可以求出角C的大小，對已知條件進行化簡把其中的兩個角轉(zhuǎn)化為用一個角來表示即可求出一個三角函數(shù)值.

精妙解法 （1）f（x）=1+cos2x+ sin2x=2sin2x+ +1.

因為- ≤x≤ ，所以- ≤2x+ ≤ .

所以- ≤sin2x+ ≤1，所以-1≤2sin2x+ ≤2.

所以f（x）∈[0，3]. 即函數(shù)f（x）在- ， 上的值域為[0，3].

（2）由f（C）=2得2sin2C+ +1=2，所以sin2C+ = .

在△ABC中，因為0

所以2C+ = ，所以C= ，所以A+B= .

因為2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），所以2sinB=2sinAsinC.

因為B= -A，C= ，所以可得2sin -A= sinA.

即 cosA+sinA= sinA，即（ -1）sinA= cosA.

所以tanA= = .

極速突擊 求值問題的基本類型：①給角求值；②給值求值；③給式求值；④求函數(shù)式的最值或值域；⑤化簡求值.三角函數(shù)中的求值問題通常要尋求角與角關系的特殊性，化非特殊角為特殊角，熟練準確地應用公式；注意由切化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的運用；對于條件求值問題，要認真尋找條件和結(jié)論的關系，尋找解題的突破口，對于很難入手的問題，可利用分析法解決.

金刊提醒

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的問題基本都是與三角函數(shù)的恒等變換結(jié)合在一起的.基本思想是先弄清其中所涉及角之間的關系，解題的方向是將異角化同角或者將異角的和（差）看做單角（如將α+β看做一個角），從而簡化問題，更輕松解決問題.

三角函數(shù)的求值、化簡與證明的難點在于：其一，如何牢固記憶眾多公式；其二，如何根據(jù)三角函數(shù)的形式去選擇合適的求值、化簡與證明的方法. 突破這兩個難點的關鍵是：①要熟練靈活運用兩角和與差的三角函數(shù)公式和二倍角公式以及降冪公式和輔助角公式；②要把握三角函數(shù)的求值、化簡與證明的常用技巧，如常值代換技巧，特別是“1”的代換；項的分拆與角的配湊技巧；降次技巧（即利用二倍角公式降次）；化弦（切）法技巧（即將三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)的基本關系化成弦（切））；引入輔助角技巧等.

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處理三角函數(shù)圖象問題，首先應弄清A，ω，φ的功能. 同學們應當掌握根據(jù)相應的三角函數(shù)解析式繪出相應曲線草圖并給出相應曲線特征的方法.

3 三角函數(shù)的和差倍角運算

（ ）必做1 已知函數(shù)f（x）=2cos cos -sin .

（1）設θ∈- ， ，且f（θ）= +1，求θ的值；

（2）在△ABC中，AB=1， f（C）= +1，且△ABC的面積為 ，求sinA+sinB的值.

破解思路 （1）先利用二倍角公式對函數(shù)解析式進行化簡，合為一個三角函數(shù)；再由已知f（θ）= +1求出θ的值，要注意θ范圍的限制. （2）在△ABC中根據(jù)第（1）問求出的角θ的值就是角C的值，應用面積公式能夠得到兩邊a，b的一個關系式，再結(jié)合余弦定理可列出a，b的第二個關系式，從而解出a，b的值，利用正弦定理便可求出sinA，sinB的值.

精妙解法 （1）由已知， f（x）=2 cos2 -2sin cos = （1+cosx）-sinx=2cosx+ + .

由2cosθ+ + = +1，得cosθ+ = ，于是θ+ =2kπ± （k∈Z）. 因為θ∈- ， ，所以θ= - 或 .

（2）因為C∈（0，π），由（1）知，C= . 又因為△ABC的面積為 ，所以可得 = absin ，于是ab=2 ①.

在△ABC中，設內(nèi)角A，B的對邊分別是a，b.

由余弦定理得1=a2+b2-2abcos =a2+b2-6，所以a2+b2=7 ②.

由①②可得a=2，b= ，或a= ，b=2.于是a+b=2+ .

由正弦定理得 = = = ，所以sinA+sinB= （a+b）=1+ .

極速突擊 該題的兩個問題都是求三角函數(shù)的有關值，所以要求我們能根據(jù)公式知道要求什么，必須求什么.能熟練運用兩角和與差的三角函數(shù)公式的關鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的關系、次數(shù)關系、三角函數(shù)名等. 抓住公式的結(jié)構特征對提高記憶公式的效率起到至關重要的作用，而且抓住了公式的結(jié)構特征，有利于在解題時觀察分析題設和結(jié)論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結(jié)構特征，從而聯(lián)想到相應的公式，找到解題的切入點. 對公式的逆用式和變形式也要熟悉.

（ ）必做2 已知函數(shù)f（x）=2cos2x+2 sinxcosx.

（1）求函數(shù)在- ， 上的值域；

（2）在△ABC中，若已知f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值.

破解思路 利用二倍角公式對函數(shù)解析式進行化簡，合并成一個三角函數(shù)，把得到的角看成一個整體求出其取值范圍，再求整個三角函數(shù)的值的范圍.根據(jù)給出的一個角的函數(shù)值可以求出角C的大小，對已知條件進行化簡把其中的兩個角轉(zhuǎn)化為用一個角來表示即可求出一個三角函數(shù)值.

精妙解法 （1）f（x）=1+cos2x+ sin2x=2sin2x+ +1.

因為- ≤x≤ ，所以- ≤2x+ ≤ .

所以- ≤sin2x+ ≤1，所以-1≤2sin2x+ ≤2.

所以f（x）∈[0，3]. 即函數(shù)f（x）在- ， 上的值域為[0，3].

（2）由f（C）=2得2sin2C+ +1=2，所以sin2C+ = .

在△ABC中，因為0

所以2C+ = ，所以C= ，所以A+B= .

因為2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），所以2sinB=2sinAsinC.

因為B= -A，C= ，所以可得2sin -A= sinA.

即 cosA+sinA= sinA，即（ -1）sinA= cosA.

所以tanA= = .

極速突擊 求值問題的基本類型：①給角求值；②給值求值；③給式求值；④求函數(shù)式的最值或值域；⑤化簡求值.三角函數(shù)中的求值問題通常要尋求角與角關系的特殊性，化非特殊角為特殊角，熟練準確地應用公式；注意由切化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的運用；對于條件求值問題，要認真尋找條件和結(jié)論的關系，尋找解題的突破口，對于很難入手的問題，可利用分析法解決.

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三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的問題基本都是與三角函數(shù)的恒等變換結(jié)合在一起的.基本思想是先弄清其中所涉及角之間的關系，解題的方向是將異角化同角或者將異角的和（差）看做單角（如將α+β看做一個角），從而簡化問題，更輕松解決問題.

三角函數(shù)的求值、化簡與證明的難點在于：其一，如何牢固記憶眾多公式；其二，如何根據(jù)三角函數(shù)的形式去選擇合適的求值、化簡與證明的方法. 突破這兩個難點的關鍵是：①要熟練靈活運用兩角和與差的三角函數(shù)公式和二倍角公式以及降冪公式和輔助角公式；②要把握三角函數(shù)的求值、化簡與證明的常用技巧，如常值代換技巧，特別是“1”的代換；項的分拆與角的配湊技巧；降次技巧（即利用二倍角公式降次）；化弦（切）法技巧（即將三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)的基本關系化成弦（切））；引入輔助角技巧等.

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處理三角函數(shù)圖象問題，首先應弄清A，ω，φ的功能. 同學們應當掌握根據(jù)相應的三角函數(shù)解析式繪出相應曲線草圖并給出相應曲線特征的方法.

3 三角函數(shù)的和差倍角運算

（ ）必做1 已知函數(shù)f（x）=2cos cos -sin .

（1）設θ∈- ， ，且f（θ）= +1，求θ的值；

（2）在△ABC中，AB=1， f（C）= +1，且△ABC的面積為 ，求sinA+sinB的值.

破解思路 （1）先利用二倍角公式對函數(shù)解析式進行化簡，合為一個三角函數(shù)；再由已知f（θ）= +1求出θ的值，要注意θ范圍的限制. （2）在△ABC中根據(jù)第（1）問求出的角θ的值就是角C的值，應用面積公式能夠得到兩邊a，b的一個關系式，再結(jié)合余弦定理可列出a，b的第二個關系式，從而解出a，b的值，利用正弦定理便可求出sinA，sinB的值.

精妙解法 （1）由已知， f（x）=2 cos2 -2sin cos = （1+cosx）-sinx=2cosx+ + .

由2cosθ+ + = +1，得cosθ+ = ，于是θ+ =2kπ± （k∈Z）. 因為θ∈- ， ，所以θ= - 或 .

（2）因為C∈（0，π），由（1）知，C= . 又因為△ABC的面積為 ，所以可得 = absin ，于是ab=2 ①.

在△ABC中，設內(nèi)角A，B的對邊分別是a，b.

由余弦定理得1=a2+b2-2abcos =a2+b2-6，所以a2+b2=7 ②.

由①②可得a=2，b= ，或a= ，b=2.于是a+b=2+ .

由正弦定理得 = = = ，所以sinA+sinB= （a+b）=1+ .

極速突擊 該題的兩個問題都是求三角函數(shù)的有關值，所以要求我們能根據(jù)公式知道要求什么，必須求什么.能熟練運用兩角和與差的三角函數(shù)公式的關鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的關系、次數(shù)關系、三角函數(shù)名等. 抓住公式的結(jié)構特征對提高記憶公式的效率起到至關重要的作用，而且抓住了公式的結(jié)構特征，有利于在解題時觀察分析題設和結(jié)論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結(jié)構特征，從而聯(lián)想到相應的公式，找到解題的切入點. 對公式的逆用式和變形式也要熟悉.

（ ）必做2 已知函數(shù)f（x）=2cos2x+2 sinxcosx.

（1）求函數(shù)在- ， 上的值域；

（2）在△ABC中，若已知f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值.

破解思路 利用二倍角公式對函數(shù)解析式進行化簡，合并成一個三角函數(shù)，把得到的角看成一個整體求出其取值范圍，再求整個三角函數(shù)的值的范圍.根據(jù)給出的一個角的函數(shù)值可以求出角C的大小，對已知條件進行化簡把其中的兩個角轉(zhuǎn)化為用一個角來表示即可求出一個三角函數(shù)值.

精妙解法 （1）f（x）=1+cos2x+ sin2x=2sin2x+ +1.

因為- ≤x≤ ，所以- ≤2x+ ≤ .

所以- ≤sin2x+ ≤1，所以-1≤2sin2x+ ≤2.

所以f（x）∈[0，3]. 即函數(shù)f（x）在- ， 上的值域為[0，3].

（2）由f（C）=2得2sin2C+ +1=2，所以sin2C+ = .

在△ABC中，因為0

所以2C+ = ，所以C= ，所以A+B= .

因為2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），所以2sinB=2sinAsinC.

因為B= -A，C= ，所以可得2sin -A= sinA.

即 cosA+sinA= sinA，即（ -1）sinA= cosA.

所以tanA= = .

極速突擊 求值問題的基本類型：①給角求值；②給值求值；③給式求值；④求函數(shù)式的最值或值域；⑤化簡求值.三角函數(shù)中的求值問題通常要尋求角與角關系的特殊性，化非特殊角為特殊角，熟練準確地應用公式；注意由切化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的運用；對于條件求值問題，要認真尋找條件和結(jié)論的關系，尋找解題的突破口，對于很難入手的問題，可利用分析法解決.

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三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的問題基本都是與三角函數(shù)的恒等變換結(jié)合在一起的.基本思想是先弄清其中所涉及角之間的關系，解題的方向是將異角化同角或者將異角的和（差）看做單角（如將α+β看做一個角），從而簡化問題，更輕松解決問題.

三角函數(shù)的求值、化簡與證明的難點在于：其一，如何牢固記憶眾多公式；其二，如何根據(jù)三角函數(shù)的形式去選擇合適的求值、化簡與證明的方法. 突破這兩個難點的關鍵是：①要熟練靈活運用兩角和與差的三角函數(shù)公式和二倍角公式以及降冪公式和輔助角公式；②要把握三角函數(shù)的求值、化簡與證明的常用技巧，如常值代換技巧，特別是“1”的代換；項的分拆與角的配湊技巧；降次技巧（即利用二倍角公式降次）；化弦（切）法技巧（即將三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)的基本關系化成弦（切））；引入輔助角技巧等.