高考數(shù)學(xué)必做客觀題——計(jì)數(shù)原理

陶友根

1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

（ ）必做1 一個(gè)小朋友有5支不同顏色的水彩筆，老師要求用這5支筆給圖中的四個(gè)區(qū)域涂色，規(guī)定一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，那么小朋友有______種不同的涂色方案.

圖1

精妙解法 先分為兩類：

第一類，當(dāng)D與A不同色，則可分為四步完成.第一步，涂A有5種方法；第二步，涂D有4種方法；第三步，涂C有3種方法；第四步，涂B有3種方法. 由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5×4×3×3=180種方法.

第二類，當(dāng)D與A同色，分三步完成，第一步，涂A和D有5種方法；第二步，涂B有4種方法；第三步，涂C有4種方法. 由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5×4×4=80（種）.

所以共有180+80=260種不同的方案.

極速突擊 首先確定“完成一件事”的“事”是什么，再判斷是“分類”還是“分步”，從而確定用“加法”還是“乘法”進(jìn)行計(jì)數(shù). 染色問(wèn)題是考查計(jì)數(shù)方法的一種常見(jiàn)問(wèn)題，由于這類問(wèn)題常常涉及分類與分步，所以在高考題中經(jīng)常出現(xiàn)，處理這類問(wèn)題的關(guān)鍵是要找準(zhǔn)分類標(biāo)準(zhǔn)，像本題中A，D顏色是否相同對(duì)其他區(qū)域的涂色有影響.

誤點(diǎn)警示 本題容易出現(xiàn)如下錯(cuò)解. 分四步完成：第一步，涂A有5種，第二步，涂B有4種，第三步，涂C有4種，第四步，涂D有3種，所以共有5×4×4×3=240種.錯(cuò)誤的原因在于沒(méi)有考慮到A，D是否同色對(duì)B，C區(qū)域的影響.

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重視兩個(gè)原理的靈活運(yùn)用，并注意以下幾點(diǎn)：

（1）認(rèn)真審題，分析題目的條件、結(jié)論，特別是要理解題目中所講的“事情”是什么，完成這件事情的含義和標(biāo)準(zhǔn)是什么.

（2）明確完成這件事情需要“分類”還是“分步”，還是既要“分類”又要“分步”，并搞清“分類”或“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么. 分類要做到不重不漏.

2 排列問(wèn)題

（ ）必做1 由4，5，6，7，8，9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且4，8都不與6相鄰的六位奇數(shù)的個(gè)數(shù)是__________.

精妙解法 插空法，先排5，7，9，共有A 種方法，

①若4，6，8都不相鄰，則有A 種方法；

②若4，8相鄰，則有A A 種方法.

所以共有A （A +A A ）=108種.

極速突擊 元素不相鄰問(wèn)題用“插空法”，元素相鄰問(wèn)題用“捆綁法”.

誤點(diǎn)警示 本題容易將“4，8都不與6相鄰”理解為“4，6，8都不相鄰”，從而錯(cuò)解為A ·A =36種.

（ ）必做2 某學(xué)校安排7位行政領(lǐng)導(dǎo)值班（每輪7天），每天安排1人，每人值班1天，若7位領(lǐng)導(dǎo)中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在第一天，丁不排在最后一天，則不同的安排方案共有（ ）

A. 504種 B. 960種

C. 1008種 D. 1108種

精妙解法 若丙排在第一天，共有A ·A =240種；若丁排最后一天，共有A ·A =240種；若丙排第一天且丁排最后一天共有A ·A =48種；若不考慮丙、丁的條件限制，共有A ·A =1440種. 所以共有1440-240-240+48=1008種. 故選C.

極速突擊 當(dāng)直接分類情況較多時(shí)，我們常常從反面入手，注意特殊元素先考慮，分類務(wù)必“不重不漏”.

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排隊(duì)問(wèn)題的常用方法：特殊元素優(yōu)先安排，特殊位置優(yōu)先解決，相鄰問(wèn)題捆綁法，不相鄰問(wèn)題插空法，直接法復(fù)雜則用間接法.

3 組合問(wèn)題

（ ）必做1 在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形中，與正八邊形沒(méi)有公共邊的三角形有（ ）

A. 24個(gè) B. 48個(gè)

C. 16個(gè) D. 8個(gè)

精妙解法 連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成三角形的個(gè)數(shù)為C ，其中有兩條公共邊的三角形有8個(gè)，有一條公共邊的三角形有C ×C ，所以共有C -8-C ×C =16個(gè). 故選C.

極速突擊 正難則反，合理分類.對(duì)于否定性詞語(yǔ)“沒(méi)有”“不”等問(wèn)題，常常從反面切入.

（ ）必做2 數(shù)學(xué)研究學(xué)習(xí)小組共有13名學(xué)生，其中男生8人，女生5人，從這13人里選出3個(gè)人準(zhǔn)備做報(bào)告. 在選出的3個(gè)人中，至少要有1名女生，一共有__________種選法.

精妙解法 法1：由題意，按選出女生的人數(shù)可分三類情況.

第一類，選1名女生，2名男生，有C ·C 種選法；

第二類，選2名女生，1名男生，有C ·C 種選法；

第三類，選3名女生，男生不選，有C 種選法.

故共有C ·C +C ·C +C =230種選法.

法2：如果沒(méi)有限制條件，則有C 種選法，而不符合條件，即選出的全是男生（一名女生也沒(méi)有）的選法是C 種. 因此，至少要有1名女生的不同選法有C -C =230種.

極速突擊 對(duì)元素有“至少”或“至多”限制的組合應(yīng)用題，用直接法和間接法都可以，直接法根據(jù)條件分類列舉，有時(shí)會(huì)分類過(guò)多；間接法用“沒(méi)有限定條件”的總數(shù)減去“不符合條件”的種數(shù)，以免造成重復(fù).

誤點(diǎn)警示 常出現(xiàn)以下錯(cuò)解：先選1名女生，有C 種方法；再?gòu)氖Ｏ碌?2個(gè)人中選出2名，有C 種方法，所以共有C C =330種不同的選法.

錯(cuò)因是上述解法中有重復(fù)計(jì)數(shù).不妨設(shè)g1，g2，…，g5表示5名女生，b1，b2，…，b8表示8名男生.

（1）先選1名女生是g1，然后任選的2人是g2，b1；

（2）先選1名女生是g2，然后任選的2人是g1，b1. 顯然這是與（1）相同的選法.endprint

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有限制條件的組合應(yīng)用題：

（1）“含”與“不含”問(wèn)題，其解題思路是將限制條件視為特殊元素和特殊位置，一般來(lái)講，特殊要先滿足，其余則“一視同仁”.若正面入手不易，則從反面入手，尋找問(wèn)題的突破口，即采用排除法.解題時(shí)要注意分清“有且僅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語(yǔ)的確切含義，準(zhǔn)確把握分類標(biāo)準(zhǔn).

（2）“至多”與“至少”問(wèn)題通常采用排除法，也可以用直接法.

（3）在處理幾何問(wèn)題中的組合應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先明確幾何中的點(diǎn)、線、面及構(gòu)型，明確平面圖形和立體圖形中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，將幾何問(wèn)題抽象成組合問(wèn)題來(lái)解決.

4 排列與組合綜合應(yīng)用

（ ）必做1 把座位編號(hào)為1，2，3，4，5，6的六張觀看《泰囧》的電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人至少一張，至多兩張，且分得兩張票的必須是連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是________種.

精妙解法 如圖2，第一步，把六張票分成4組；

第二步，把這4組票分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，有A 種.

由分步計(jì)數(shù)原理得，不同的分法有6A =144種.

極速突擊 排列組合問(wèn)題，一定要先判定是否有序，有序則排列，否則是組合問(wèn)題. 分配類問(wèn)題，一般遵循“先分堆再分配”原則.

（ ）必做2 2013成都財(cái)富全球論壇組委會(huì)要派五名志愿者從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)工作，要求每項(xiàng)工作至少有一人從事，則不同的派給方案共有（ ）

A. 25種 B. 150種

C. 240種 D. 360種

精妙解法 五名志愿者從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)工作，要求每項(xiàng)工作至少有一人從事，分為兩類，第一類為有一樣3人做，另2樣各一人：C A =60；第二類為有兩樣各2人做，另一樣1人做： C C A =90，總共有60+90=150種分派方法，故選B.

極速突擊 在分堆問(wèn)題中，要特別注意“均分”，不要錯(cuò)誤地考慮順序. 選派問(wèn)題，一般遵循“先選后派”的原則，以免出現(xiàn)重復(fù)計(jì)算和思維混亂.

誤點(diǎn)警示 常出現(xiàn)以下錯(cuò)解：（1）A （C +A ）=540種，錯(cuò)因是先分配3人，再分配剩下2人，造成重復(fù)計(jì)算.

（2）C A +C C A ，錯(cuò)因是第二類中，沒(méi)有注意到分組2+2+1中隱藏著均分問(wèn)題.

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解排列組合應(yīng)用題時(shí)，常見(jiàn)的解題策略有以下幾種：

（1）特殊元素優(yōu)先安排的策略；

（2）合理分類和準(zhǔn)確分步的策略；

（3）排列、組合混合問(wèn)題先選后排的策略；

（4）正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略；

（5）相鄰問(wèn)題捆綁處理的策略；

（6）不相鄰問(wèn)題插空處理的策略；

（7）定序問(wèn)題除法處理的策略；

（8）分排問(wèn)題直排處理的策略；

（9）“小集團(tuán)”排列問(wèn)題中先整體后局部的策略；

（10）構(gòu)造模型的策略.

5 二項(xiàng)式定理

（ ）必做1 若x- 6展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為60，則常數(shù)a的值為_(kāi)_______，此常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù)是________.

精妙解法 Tr+1=C x6-r（- ）rx-2r=C （- ）rx6-3r，令r=2得x- 6的常數(shù)項(xiàng)為C a，所以令C a=60，即15a=60，解得a=4. 常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C =15.

極速突擊 用好二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，注意區(qū)別系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù).

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二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式Tk+1=C an-kbk，它是（a+b）n的展開(kāi)式的第k+1項(xiàng)，這里k=0，1，…，n. 它反映出展開(kāi)式在指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)等方面的內(nèi)在聯(lián)系，因此能運(yùn)用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求特定項(xiàng)、特定項(xiàng)系數(shù). 解題時(shí)注意方程思想的應(yīng)用.endprint

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有限制條件的組合應(yīng)用題：

（1）“含”與“不含”問(wèn)題，其解題思路是將限制條件視為特殊元素和特殊位置，一般來(lái)講，特殊要先滿足，其余則“一視同仁”.若正面入手不易，則從反面入手，尋找問(wèn)題的突破口，即采用排除法.解題時(shí)要注意分清“有且僅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語(yǔ)的確切含義，準(zhǔn)確把握分類標(biāo)準(zhǔn).

（2）“至多”與“至少”問(wèn)題通常采用排除法，也可以用直接法.

（3）在處理幾何問(wèn)題中的組合應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先明確幾何中的點(diǎn)、線、面及構(gòu)型，明確平面圖形和立體圖形中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，將幾何問(wèn)題抽象成組合問(wèn)題來(lái)解決.

4 排列與組合綜合應(yīng)用

（ ）必做1 把座位編號(hào)為1，2，3，4，5，6的六張觀看《泰囧》的電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人至少一張，至多兩張，且分得兩張票的必須是連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是________種.

精妙解法 如圖2，第一步，把六張票分成4組；

第二步，把這4組票分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，有A 種.

由分步計(jì)數(shù)原理得，不同的分法有6A =144種.

極速突擊 排列組合問(wèn)題，一定要先判定是否有序，有序則排列，否則是組合問(wèn)題. 分配類問(wèn)題，一般遵循“先分堆再分配”原則.

（ ）必做2 2013成都財(cái)富全球論壇組委會(huì)要派五名志愿者從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)工作，要求每項(xiàng)工作至少有一人從事，則不同的派給方案共有（ ）

A. 25種 B. 150種

C. 240種 D. 360種

精妙解法 五名志愿者從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)工作，要求每項(xiàng)工作至少有一人從事，分為兩類，第一類為有一樣3人做，另2樣各一人：C A =60；第二類為有兩樣各2人做，另一樣1人做： C C A =90，總共有60+90=150種分派方法，故選B.

極速突擊 在分堆問(wèn)題中，要特別注意“均分”，不要錯(cuò)誤地考慮順序. 選派問(wèn)題，一般遵循“先選后派”的原則，以免出現(xiàn)重復(fù)計(jì)算和思維混亂.

誤點(diǎn)警示 常出現(xiàn)以下錯(cuò)解：（1）A （C +A ）=540種，錯(cuò)因是先分配3人，再分配剩下2人，造成重復(fù)計(jì)算.

（2）C A +C C A ，錯(cuò)因是第二類中，沒(méi)有注意到分組2+2+1中隱藏著均分問(wèn)題.

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解排列組合應(yīng)用題時(shí)，常見(jiàn)的解題策略有以下幾種：

（1）特殊元素優(yōu)先安排的策略；

（2）合理分類和準(zhǔn)確分步的策略；

（3）排列、組合混合問(wèn)題先選后排的策略；

（4）正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略；

（5）相鄰問(wèn)題捆綁處理的策略；

（6）不相鄰問(wèn)題插空處理的策略；

（7）定序問(wèn)題除法處理的策略；

（8）分排問(wèn)題直排處理的策略；

（9）“小集團(tuán)”排列問(wèn)題中先整體后局部的策略；

（10）構(gòu)造模型的策略.

5 二項(xiàng)式定理

（ ）必做1 若x- 6展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為60，則常數(shù)a的值為_(kāi)_______，此常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù)是________.

精妙解法 Tr+1=C x6-r（- ）rx-2r=C （- ）rx6-3r，令r=2得x- 6的常數(shù)項(xiàng)為C a，所以令C a=60，即15a=60，解得a=4. 常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C =15.

極速突擊 用好二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，注意區(qū)別系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù).

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二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式Tk+1=C an-kbk，它是（a+b）n的展開(kāi)式的第k+1項(xiàng)，這里k=0，1，…，n. 它反映出展開(kāi)式在指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)等方面的內(nèi)在聯(lián)系，因此能運(yùn)用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求特定項(xiàng)、特定項(xiàng)系數(shù). 解題時(shí)注意方程思想的應(yīng)用.endprint

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有限制條件的組合應(yīng)用題：

（1）“含”與“不含”問(wèn)題，其解題思路是將限制條件視為特殊元素和特殊位置，一般來(lái)講，特殊要先滿足，其余則“一視同仁”.若正面入手不易，則從反面入手，尋找問(wèn)題的突破口，即采用排除法.解題時(shí)要注意分清“有且僅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語(yǔ)的確切含義，準(zhǔn)確把握分類標(biāo)準(zhǔn).

（2）“至多”與“至少”問(wèn)題通常采用排除法，也可以用直接法.

（3）在處理幾何問(wèn)題中的組合應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先明確幾何中的點(diǎn)、線、面及構(gòu)型，明確平面圖形和立體圖形中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，將幾何問(wèn)題抽象成組合問(wèn)題來(lái)解決.

4 排列與組合綜合應(yīng)用

（ ）必做1 把座位編號(hào)為1，2，3，4，5，6的六張觀看《泰囧》的電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人至少一張，至多兩張，且分得兩張票的必須是連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是________種.

精妙解法 如圖2，第一步，把六張票分成4組；

第二步，把這4組票分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，有A 種.

由分步計(jì)數(shù)原理得，不同的分法有6A =144種.

極速突擊 排列組合問(wèn)題，一定要先判定是否有序，有序則排列，否則是組合問(wèn)題. 分配類問(wèn)題，一般遵循“先分堆再分配”原則.

（ ）必做2 2013成都財(cái)富全球論壇組委會(huì)要派五名志愿者從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)工作，要求每項(xiàng)工作至少有一人從事，則不同的派給方案共有（ ）

A. 25種 B. 150種

C. 240種 D. 360種

精妙解法 五名志愿者從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)工作，要求每項(xiàng)工作至少有一人從事，分為兩類，第一類為有一樣3人做，另2樣各一人：C A =60；第二類為有兩樣各2人做，另一樣1人做： C C A =90，總共有60+90=150種分派方法，故選B.

極速突擊 在分堆問(wèn)題中，要特別注意“均分”，不要錯(cuò)誤地考慮順序. 選派問(wèn)題，一般遵循“先選后派”的原則，以免出現(xiàn)重復(fù)計(jì)算和思維混亂.

誤點(diǎn)警示 常出現(xiàn)以下錯(cuò)解：（1）A （C +A ）=540種，錯(cuò)因是先分配3人，再分配剩下2人，造成重復(fù)計(jì)算.

（2）C A +C C A ，錯(cuò)因是第二類中，沒(méi)有注意到分組2+2+1中隱藏著均分問(wèn)題.

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解排列組合應(yīng)用題時(shí)，常見(jiàn)的解題策略有以下幾種：

（1）特殊元素優(yōu)先安排的策略；

（2）合理分類和準(zhǔn)確分步的策略；

（3）排列、組合混合問(wèn)題先選后排的策略；

（4）正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略；

（5）相鄰問(wèn)題捆綁處理的策略；

（6）不相鄰問(wèn)題插空處理的策略；

（7）定序問(wèn)題除法處理的策略；

（8）分排問(wèn)題直排處理的策略；

（9）“小集團(tuán)”排列問(wèn)題中先整體后局部的策略；

（10）構(gòu)造模型的策略.

5 二項(xiàng)式定理

（ ）必做1 若x- 6展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為60，則常數(shù)a的值為_(kāi)_______，此常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù)是________.

精妙解法 Tr+1=C x6-r（- ）rx-2r=C （- ）rx6-3r，令r=2得x- 6的常數(shù)項(xiàng)為C a，所以令C a=60，即15a=60，解得a=4. 常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C =15.

極速突擊 用好二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，注意區(qū)別系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù).

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二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式Tk+1=C an-kbk，它是（a+b）n的展開(kāi)式的第k+1項(xiàng)，這里k=0，1，…，n. 它反映出展開(kāi)式在指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)等方面的內(nèi)在聯(lián)系，因此能運(yùn)用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求特定項(xiàng)、特定項(xiàng)系數(shù). 解題時(shí)注意方程思想的應(yīng)用.endprint