幾何證明中添加輔助線的原理分析

黃麗云

摘 要： 本文探討幾何證明中添加輔助線的基本原理，指出發(fā)現(xiàn)與建立圖形中的和諧統(tǒng)一關系是添加輔助線，進而證明幾何問題的關鍵.

關鍵詞： 幾何證明 輔助線 基本原理

添加輔助線是幾何證明的重要手段，歷來受到數(shù)學教育者的重視，許多幾何專著中都詳細而深入地討論了輔助線的類型、作法，如文獻[1，2]，給予讀者很大的啟發(fā)和幫助.然而，在一些具體問題的證明中，有效而恰當?shù)芈?lián)想到某一類輔助線作法以實現(xiàn)證明，對學生來說仍然存在困難.本文從另一種角度出發(fā)，探討添加輔助線的原理和入手點.

辯證法指出，事物是相互聯(lián)系、相互制約、相互轉(zhuǎn)化的.從辯證的觀點看，數(shù)學問題中所涉及的數(shù)式與數(shù)式之間，數(shù)式與圖形之間，圖形與圖形之間必然存在某種和諧統(tǒng)一的關系，這種和諧統(tǒng)一關系是建立各種必要聯(lián)系、促進問題轉(zhuǎn)化與解決的關鍵.在幾何問題的證明中，如果僅利用已知條件和已知圖形難以證明時，即表明問題的已知與未知之間存在某種不和諧，則需要添加輔助線建立已知與未知的和諧統(tǒng)一關系，從而使問題得以解決.因此，添加輔助線的一個基本思路就是，分析問題中的不和諧因素，發(fā)現(xiàn)和建立已知幾何量與未知幾何量之間的和諧統(tǒng)一關系.

不同的幾何問題，其中的不和諧狀態(tài)也各不相同，這就導致幾何證明靈活多變，難以把握.注意觀察問題中的不和諧因素，并由此出發(fā)建立和諧統(tǒng)一關系，有利于我們把握問題的關鍵所在，找到解題思路.

例1：如圖1，在四邊形中ABCD，AB=CD，M、N分別是BC邊與AD邊的中點，∠1是直線BA與MN所成的角，∠2是直線CD與MN所成的角，求證：∠1=∠2.

分析：觀察圖1，∠1與∠2的位置狀況不太好，難以找到二者之間的直接關系，并且與其他已知條件也無明顯聯(lián)系，這正是問題的不和諧之處.由于已知條件多是關于四邊形ABCD的性質(zhì)，為證∠1=∠2，將二者平移到四邊形內(nèi)，方便建立聯(lián)系.怎樣平移效果好？分析∠1與∠2的位置特征，考慮選取特殊點M、N作BA、CD的平行線，構(gòu)造與的等角.又注意到M、N分別是BC邊與AD邊的中點，聯(lián)想中位線的性質(zhì)，連接AC，設AC的中點為E，連接ME、NE，即得到BA、CD的平行線，并且可以將與平移到內(nèi)，方便分析二者的關系.

評注：在例1中，∠1與∠2的位置關系不和諧，而已知條件又多是關于四邊形ABCD的，通過連接其對角線AC，構(gòu)造三角形的中位線，建立了圖形的和諧統(tǒng)一關系，從而可以利用平行線的性質(zhì)，使問題得以解決.觀察分析問題的不和諧因素，并由此入手作輔助線建立和諧統(tǒng)一關系，是解決問題的關鍵所在.

例2：如圖2，點E是正方形ABCD的BC邊上的任意一點，∠EAD的角平分線AF與CD交于點F.求證：DF=AE-BE.

分析：求證中的線段DF離AE、BE較遠，不便于觀察它們之間的聯(lián)系.從這一不和諧狀況入手，考慮到要證的等式等價于DF+BE=AE，把DF移動到EB的延長線上，使它與AE、BE位于同一個三角形內(nèi)，更容易分析它們之間的關系.

證明：延長EB到點P，使BP=DF.

在△ABP與△ADF中，AB=AD，BP=DF，∠ABP=∠ADF=90°，故△ABP？艿△ADF，由此有∠PAB=∠FAD，∠APB=∠AFD.

又因為AF是∠EAD的角平分線，∠EAF=∠FAD，所以∠PAB=∠EAF.

于是，∠PAB+∠BAE=∠BAE+∠EAF，即∠PAE=∠BAF.

又因為AB∥CD，所以∠BAF=∠AFD，進而有∠APB=∠PAE.

所以在△AEP，AE=PE=PB+BE，由PB=DF，有DF=AE-BE.

評注：在例2中，通過移動DF到EB的延長線上，把求證中分離較遠的三個幾何量移到了同一個三角形中，建立了圖形的和諧統(tǒng)一關系，這一作法相當于把△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)了90°，從而可以利用旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)，使問題得以解決.

例3：如圖3，線段AB、CD相交于點O，且AB=CD，E、F分別為線段AC、DB的中點，連接EF分別交AB、CD于點N、M.求證：OM=ON.

分析：僅由已知的圖形元素，不易證明VC⊥AB.注意到已知與求證涉及的都是三棱錐的側(cè)棱與底面線段的垂直關系，聯(lián)想三垂線定理，作三棱錐的高線，即得到三條側(cè)棱在底面ABC上的射影，利用三垂線定理及其逆定理，又可得到更多的垂直關系，從而建立已知與求證的和諧統(tǒng)一關系.

證明：過點V作VO⊥平面ABC，垂足為O，則OA、OB、OC分別是VA、VB、VC在底面ABC的射影.

根據(jù)三垂線定理的逆定理，由VA⊥BC，VB⊥AC，有OA⊥BC，OB⊥AC，所以點O是△ABC的垂心，進而有OC⊥AB.

又由三垂線定理，有VC⊥AB.

評注：在幾何圖形中，有些線、面對圖形的和諧統(tǒng)一關系起到十分重要的作用.討論幾何問題時，應充分注意并利用它們的功能.從例4可以看出，高線對于錐體就是一條十分重要的線段.

當幾何證明的思路受阻時，注意觀察和分析圖形中的不和諧因素，發(fā)現(xiàn)和建立已知幾何量與未知幾何量之間的和諧統(tǒng)一關系，往往是我們添加輔助線的入手點和證明問題的關鍵.然而不同的幾何問題所反映出的不和諧狀況也各不相同，通過作輔助線轉(zhuǎn)化和建立問題的和諧統(tǒng)一關系自然就具有很強的靈活性，無法用幾個公式或法則概括，這正是幾何證明的困難所在.通過練習不斷反思總結(jié)，注重觀察分析問題中的不和諧因素，發(fā)現(xiàn)和建立和諧統(tǒng)一關系，有利于培養(yǎng)學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力.

參考文獻：

[1]朱德祥，朱維宗.初等幾何研究（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]許莼舫.平面幾何學習指導[M].北京：中國青年出版社，1979.

[3]G.波利亞，著.涂泓，馮承天譯.怎樣解題——數(shù)學思維的新方法[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007.endprint

摘 要： 本文探討幾何證明中添加輔助線的基本原理，指出發(fā)現(xiàn)與建立圖形中的和諧統(tǒng)一關系是添加輔助線，進而證明幾何問題的關鍵.

關鍵詞： 幾何證明 輔助線 基本原理

添加輔助線是幾何證明的重要手段，歷來受到數(shù)學教育者的重視，許多幾何專著中都詳細而深入地討論了輔助線的類型、作法，如文獻[1，2]，給予讀者很大的啟發(fā)和幫助.然而，在一些具體問題的證明中，有效而恰當?shù)芈?lián)想到某一類輔助線作法以實現(xiàn)證明，對學生來說仍然存在困難.本文從另一種角度出發(fā)，探討添加輔助線的原理和入手點.

辯證法指出，事物是相互聯(lián)系、相互制約、相互轉(zhuǎn)化的.從辯證的觀點看，數(shù)學問題中所涉及的數(shù)式與數(shù)式之間，數(shù)式與圖形之間，圖形與圖形之間必然存在某種和諧統(tǒng)一的關系，這種和諧統(tǒng)一關系是建立各種必要聯(lián)系、促進問題轉(zhuǎn)化與解決的關鍵.在幾何問題的證明中，如果僅利用已知條件和已知圖形難以證明時，即表明問題的已知與未知之間存在某種不和諧，則需要添加輔助線建立已知與未知的和諧統(tǒng)一關系，從而使問題得以解決.因此，添加輔助線的一個基本思路就是，分析問題中的不和諧因素，發(fā)現(xiàn)和建立已知幾何量與未知幾何量之間的和諧統(tǒng)一關系.

不同的幾何問題，其中的不和諧狀態(tài)也各不相同，這就導致幾何證明靈活多變，難以把握.注意觀察問題中的不和諧因素，并由此出發(fā)建立和諧統(tǒng)一關系，有利于我們把握問題的關鍵所在，找到解題思路.

例1：如圖1，在四邊形中ABCD，AB=CD，M、N分別是BC邊與AD邊的中點，∠1是直線BA與MN所成的角，∠2是直線CD與MN所成的角，求證：∠1=∠2.

分析：觀察圖1，∠1與∠2的位置狀況不太好，難以找到二者之間的直接關系，并且與其他已知條件也無明顯聯(lián)系，這正是問題的不和諧之處.由于已知條件多是關于四邊形ABCD的性質(zhì)，為證∠1=∠2，將二者平移到四邊形內(nèi)，方便建立聯(lián)系.怎樣平移效果好？分析∠1與∠2的位置特征，考慮選取特殊點M、N作BA、CD的平行線，構(gòu)造與的等角.又注意到M、N分別是BC邊與AD邊的中點，聯(lián)想中位線的性質(zhì)，連接AC，設AC的中點為E，連接ME、NE，即得到BA、CD的平行線，并且可以將與平移到內(nèi)，方便分析二者的關系.

評注：在例1中，∠1與∠2的位置關系不和諧，而已知條件又多是關于四邊形ABCD的，通過連接其對角線AC，構(gòu)造三角形的中位線，建立了圖形的和諧統(tǒng)一關系，從而可以利用平行線的性質(zhì)，使問題得以解決.觀察分析問題的不和諧因素，并由此入手作輔助線建立和諧統(tǒng)一關系，是解決問題的關鍵所在.

例2：如圖2，點E是正方形ABCD的BC邊上的任意一點，∠EAD的角平分線AF與CD交于點F.求證：DF=AE-BE.

分析：求證中的線段DF離AE、BE較遠，不便于觀察它們之間的聯(lián)系.從這一不和諧狀況入手，考慮到要證的等式等價于DF+BE=AE，把DF移動到EB的延長線上，使它與AE、BE位于同一個三角形內(nèi)，更容易分析它們之間的關系.

證明：延長EB到點P，使BP=DF.

在△ABP與△ADF中，AB=AD，BP=DF，∠ABP=∠ADF=90°，故△ABP？艿△ADF，由此有∠PAB=∠FAD，∠APB=∠AFD.

又因為AF是∠EAD的角平分線，∠EAF=∠FAD，所以∠PAB=∠EAF.

于是，∠PAB+∠BAE=∠BAE+∠EAF，即∠PAE=∠BAF.

又因為AB∥CD，所以∠BAF=∠AFD，進而有∠APB=∠PAE.

所以在△AEP，AE=PE=PB+BE，由PB=DF，有DF=AE-BE.

評注：在例2中，通過移動DF到EB的延長線上，把求證中分離較遠的三個幾何量移到了同一個三角形中，建立了圖形的和諧統(tǒng)一關系，這一作法相當于把△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)了90°，從而可以利用旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)，使問題得以解決.

例3：如圖3，線段AB、CD相交于點O，且AB=CD，E、F分別為線段AC、DB的中點，連接EF分別交AB、CD于點N、M.求證：OM=ON.

分析：僅由已知的圖形元素，不易證明VC⊥AB.注意到已知與求證涉及的都是三棱錐的側(cè)棱與底面線段的垂直關系，聯(lián)想三垂線定理，作三棱錐的高線，即得到三條側(cè)棱在底面ABC上的射影，利用三垂線定理及其逆定理，又可得到更多的垂直關系，從而建立已知與求證的和諧統(tǒng)一關系.

證明：過點V作VO⊥平面ABC，垂足為O，則OA、OB、OC分別是VA、VB、VC在底面ABC的射影.

根據(jù)三垂線定理的逆定理，由VA⊥BC，VB⊥AC，有OA⊥BC，OB⊥AC，所以點O是△ABC的垂心，進而有OC⊥AB.

又由三垂線定理，有VC⊥AB.

評注：在幾何圖形中，有些線、面對圖形的和諧統(tǒng)一關系起到十分重要的作用.討論幾何問題時，應充分注意并利用它們的功能.從例4可以看出，高線對于錐體就是一條十分重要的線段.

當幾何證明的思路受阻時，注意觀察和分析圖形中的不和諧因素，發(fā)現(xiàn)和建立已知幾何量與未知幾何量之間的和諧統(tǒng)一關系，往往是我們添加輔助線的入手點和證明問題的關鍵.然而不同的幾何問題所反映出的不和諧狀況也各不相同，通過作輔助線轉(zhuǎn)化和建立問題的和諧統(tǒng)一關系自然就具有很強的靈活性，無法用幾個公式或法則概括，這正是幾何證明的困難所在.通過練習不斷反思總結(jié)，注重觀察分析問題中的不和諧因素，發(fā)現(xiàn)和建立和諧統(tǒng)一關系，有利于培養(yǎng)學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力.

參考文獻：

[1]朱德祥，朱維宗.初等幾何研究（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]許莼舫.平面幾何學習指導[M].北京：中國青年出版社，1979.

[3]G.波利亞，著.涂泓，馮承天譯.怎樣解題——數(shù)學思維的新方法[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?007.endprint

摘 要： 本文探討幾何證明中添加輔助線的基本原理，指出發(fā)現(xiàn)與建立圖形中的和諧統(tǒng)一關系是添加輔助線，進而證明幾何問題的關鍵.

關鍵詞： 幾何證明 輔助線 基本原理

添加輔助線是幾何證明的重要手段，歷來受到數(shù)學教育者的重視，許多幾何專著中都詳細而深入地討論了輔助線的類型、作法，如文獻[1，2]，給予讀者很大的啟發(fā)和幫助.然而，在一些具體問題的證明中，有效而恰當?shù)芈?lián)想到某一類輔助線作法以實現(xiàn)證明，對學生來說仍然存在困難.本文從另一種角度出發(fā)，探討添加輔助線的原理和入手點.

辯證法指出，事物是相互聯(lián)系、相互制約、相互轉(zhuǎn)化的.從辯證的觀點看，數(shù)學問題中所涉及的數(shù)式與數(shù)式之間，數(shù)式與圖形之間，圖形與圖形之間必然存在某種和諧統(tǒng)一的關系，這種和諧統(tǒng)一關系是建立各種必要聯(lián)系、促進問題轉(zhuǎn)化與解決的關鍵.在幾何問題的證明中，如果僅利用已知條件和已知圖形難以證明時，即表明問題的已知與未知之間存在某種不和諧，則需要添加輔助線建立已知與未知的和諧統(tǒng)一關系，從而使問題得以解決.因此，添加輔助線的一個基本思路就是，分析問題中的不和諧因素，發(fā)現(xiàn)和建立已知幾何量與未知幾何量之間的和諧統(tǒng)一關系.

不同的幾何問題，其中的不和諧狀態(tài)也各不相同，這就導致幾何證明靈活多變，難以把握.注意觀察問題中的不和諧因素，并由此出發(fā)建立和諧統(tǒng)一關系，有利于我們把握問題的關鍵所在，找到解題思路.

例1：如圖1，在四邊形中ABCD，AB=CD，M、N分別是BC邊與AD邊的中點，∠1是直線BA與MN所成的角，∠2是直線CD與MN所成的角，求證：∠1=∠2.

分析：觀察圖1，∠1與∠2的位置狀況不太好，難以找到二者之間的直接關系，并且與其他已知條件也無明顯聯(lián)系，這正是問題的不和諧之處.由于已知條件多是關于四邊形ABCD的性質(zhì)，為證∠1=∠2，將二者平移到四邊形內(nèi)，方便建立聯(lián)系.怎樣平移效果好？分析∠1與∠2的位置特征，考慮選取特殊點M、N作BA、CD的平行線，構(gòu)造與的等角.又注意到M、N分別是BC邊與AD邊的中點，聯(lián)想中位線的性質(zhì)，連接AC，設AC的中點為E，連接ME、NE，即得到BA、CD的平行線，并且可以將與平移到內(nèi)，方便分析二者的關系.

評注：在例1中，∠1與∠2的位置關系不和諧，而已知條件又多是關于四邊形ABCD的，通過連接其對角線AC，構(gòu)造三角形的中位線，建立了圖形的和諧統(tǒng)一關系，從而可以利用平行線的性質(zhì)，使問題得以解決.觀察分析問題的不和諧因素，并由此入手作輔助線建立和諧統(tǒng)一關系，是解決問題的關鍵所在.

例2：如圖2，點E是正方形ABCD的BC邊上的任意一點，∠EAD的角平分線AF與CD交于點F.求證：DF=AE-BE.

分析：求證中的線段DF離AE、BE較遠，不便于觀察它們之間的聯(lián)系.從這一不和諧狀況入手，考慮到要證的等式等價于DF+BE=AE，把DF移動到EB的延長線上，使它與AE、BE位于同一個三角形內(nèi)，更容易分析它們之間的關系.

證明：延長EB到點P，使BP=DF.

在△ABP與△ADF中，AB=AD，BP=DF，∠ABP=∠ADF=90°，故△ABP？艿△ADF，由此有∠PAB=∠FAD，∠APB=∠AFD.

又因為AF是∠EAD的角平分線，∠EAF=∠FAD，所以∠PAB=∠EAF.

于是，∠PAB+∠BAE=∠BAE+∠EAF，即∠PAE=∠BAF.

又因為AB∥CD，所以∠BAF=∠AFD，進而有∠APB=∠PAE.

所以在△AEP，AE=PE=PB+BE，由PB=DF，有DF=AE-BE.

評注：在例2中，通過移動DF到EB的延長線上，把求證中分離較遠的三個幾何量移到了同一個三角形中，建立了圖形的和諧統(tǒng)一關系，這一作法相當于把△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)了90°，從而可以利用旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)，使問題得以解決.

例3：如圖3，線段AB、CD相交于點O，且AB=CD，E、F分別為線段AC、DB的中點，連接EF分別交AB、CD于點N、M.求證：OM=ON.

分析：僅由已知的圖形元素，不易證明VC⊥AB.注意到已知與求證涉及的都是三棱錐的側(cè)棱與底面線段的垂直關系，聯(lián)想三垂線定理，作三棱錐的高線，即得到三條側(cè)棱在底面ABC上的射影，利用三垂線定理及其逆定理，又可得到更多的垂直關系，從而建立已知與求證的和諧統(tǒng)一關系.

證明：過點V作VO⊥平面ABC，垂足為O，則OA、OB、OC分別是VA、VB、VC在底面ABC的射影.

根據(jù)三垂線定理的逆定理，由VA⊥BC，VB⊥AC，有OA⊥BC，OB⊥AC，所以點O是△ABC的垂心，進而有OC⊥AB.

又由三垂線定理，有VC⊥AB.

評注：在幾何圖形中，有些線、面對圖形的和諧統(tǒng)一關系起到十分重要的作用.討論幾何問題時，應充分注意并利用它們的功能.從例4可以看出，高線對于錐體就是一條十分重要的線段.

當幾何證明的思路受阻時，注意觀察和分析圖形中的不和諧因素，發(fā)現(xiàn)和建立已知幾何量與未知幾何量之間的和諧統(tǒng)一關系，往往是我們添加輔助線的入手點和證明問題的關鍵.然而不同的幾何問題所反映出的不和諧狀況也各不相同，通過作輔助線轉(zhuǎn)化和建立問題的和諧統(tǒng)一關系自然就具有很強的靈活性，無法用幾個公式或法則概括，這正是幾何證明的困難所在.通過練習不斷反思總結(jié)，注重觀察分析問題中的不和諧因素，發(fā)現(xiàn)和建立和諧統(tǒng)一關系，有利于培養(yǎng)學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力.

參考文獻：

[1]朱德祥，朱維宗.初等幾何研究（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]許莼舫.平面幾何學習指導[M].北京：中國青年出版社，1979.

[3]G.波利亞，著.涂泓，馮承天譯.怎樣解題——數(shù)學思維的新方法[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007.endprint