兩自由度搖擺臺耦合動力學(xué)建模與仿真

胡勇，凌明祥，王玨

(中國工程物理研究院總體工程研究所，四川綿陽621900)

轉(zhuǎn)臺結(jié)構(gòu)形式的搖擺臺因其轉(zhuǎn)動角度大的優(yōu)點，在機載和艦載設(shè)備的搖擺環(huán)境模擬中得到了廣泛應(yīng)用。所設(shè)計的搖擺臺由液壓馬達(dá)驅(qū)動，是一種典型的電液位置伺服控制系統(tǒng)。當(dāng)內(nèi)、外平臺同時工作時，平臺位姿的變化所產(chǎn)生的慣量耦合及陀螺效應(yīng)［1－2］引起內(nèi)、外伺服回路之間的耦合，影響驅(qū)動力矩及控制精度。目前國內(nèi)對小型轉(zhuǎn)臺的耦合動力學(xué)問題研究較多，其各平臺之間的耦合影響較?。?］。但是對于大尺寸、大負(fù)載轉(zhuǎn)臺結(jié)構(gòu)形式的搖擺臺，慣量耦合相對較大。針對該問題，建立了兩自由度搖擺臺的耦合動力學(xué)模型，并考慮齒條間隙、液壓流量非線性等影響因素，對全系統(tǒng)進行了仿真分析。

1 動力學(xué)建模

1.1 慣量耦合分析

搖擺臺坐標(biāo)系如圖1所示，Ox1y1z1為內(nèi)平臺坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)軸為Ox1。Ox2y2z2為外平臺坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)軸為Oy2。內(nèi)平臺繞轉(zhuǎn)軸Ox1旋轉(zhuǎn)的角度記為α，外平臺繞轉(zhuǎn)軸Oy2旋轉(zhuǎn)的角度記為β。

根據(jù)齊次變換矩陣，任意時刻，內(nèi)、外平臺相對于地理坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣分別為:

圖1 搖擺臺簡化坐標(biāo)系

考慮內(nèi)平臺轉(zhuǎn)動慣量對外平臺的影響，內(nèi)平臺相對于軸Ox1的轉(zhuǎn)動慣量、外平臺相對于軸Oy2的轉(zhuǎn)動慣量分別為:

式中:JOx1為內(nèi)平臺相對于軸Ox1的轉(zhuǎn)動慣量;JOy2為外平臺 (包括內(nèi)平臺)相對于軸Oy2的轉(zhuǎn)動慣量;Jx1、Jy1、Jz1分別為內(nèi)平臺相對于軸 Ox1、Oy1、Oz1的轉(zhuǎn)動慣量;Jy2為外平臺相對于軸Oy2的轉(zhuǎn)動慣量。

由式 (3)和式 (4)可知:內(nèi)平臺繞自身轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量是一個常數(shù);外平臺 (包括內(nèi)平臺)繞自身轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量是一個變化的量，且與內(nèi)平臺的轉(zhuǎn)角有關(guān)，其參數(shù)方程是一個橢圓，說明搖擺臺是一個各環(huán)之間存在耦合關(guān)系的變慣量系統(tǒng)。對于高精度轉(zhuǎn)臺控制系統(tǒng)，應(yīng)該加以考慮。

1.2 偏載力矩

設(shè)負(fù)載重心在搖擺臺內(nèi)平臺坐標(biāo)系中的位置為M=(x0，y0，z0)，基于齊次變換，負(fù)載重力在內(nèi)、外平臺坐標(biāo)系中的矢量分別為:

式中:m為負(fù)載和內(nèi)平臺的總質(zhì)量。

結(jié)合式 (1)和式 (2)，進行矩陣運算，得:

當(dāng)內(nèi)平臺旋轉(zhuǎn)時，負(fù)載重心在外平臺坐標(biāo)系中的位置已經(jīng)改變，基于齊次變換，有:

式中:M2為負(fù)載重心在外平臺坐標(biāo)系位置矢量。

當(dāng)搖擺臺工作時，負(fù)載偏載力矩對搖擺運動的阻礙作用與α、β的旋轉(zhuǎn)方向以及重心位置的正負(fù)有關(guān)。經(jīng)計算，作用在內(nèi)、外平臺旋轉(zhuǎn)軸上的重力偏載力矩分別為:

由推導(dǎo)出的負(fù)載偏載力矩表達(dá)式可以看出:內(nèi)、外平臺的負(fù)載偏載力矩與內(nèi)、外平臺轉(zhuǎn)角均有關(guān)。由于偏載力矩是角位移的函數(shù)，當(dāng)轉(zhuǎn)速不同時，偏載力矩的頻率會改變，必然造成較大的角位移輸出偏差影響系統(tǒng)的跟蹤性能。

1.3 系統(tǒng)動力學(xué)模型

搖擺臺實際運動過程中，內(nèi)平臺的轉(zhuǎn)動慣量對外平臺造成耦合影響，外平臺的轉(zhuǎn)速也會對內(nèi)平臺造成耦合影響，整個系統(tǒng)的動力學(xué)特性是非線性耦合，根據(jù)歐拉方程，建立的內(nèi)、外平臺動力學(xué)模型為:

式中:M1、M2分別為內(nèi)、外平臺驅(qū)動系統(tǒng)提供的轉(zhuǎn)矩;Mf1、Mf2分別為內(nèi)、外平臺摩擦轉(zhuǎn)矩在內(nèi)、外平臺轉(zhuǎn)動軸上的投影;Mp1、Mp2分別為負(fù)載偏載力矩在內(nèi)、外平臺轉(zhuǎn)動軸上的投影。

搖擺臺搖擺周期取5 s，搖擺幅值為30°，內(nèi)、外平臺轉(zhuǎn)動慣量分別為:Jx1=4 000 kg·m2，Jy1=4 500 kg·m2，Jz1=4 900 kg·m2，Jy2=8 000 kg·m2，負(fù)載和內(nèi)平臺的質(zhì)量總和為3 t，偏心0.1 m，內(nèi)、外平臺所需驅(qū)動力矩與旋轉(zhuǎn)角度之間的關(guān)系如圖2、3所示。

圖2 內(nèi)平臺驅(qū)動力矩動力學(xué)仿真結(jié)果

圖3 外平臺驅(qū)動力矩動力學(xué)仿真結(jié)果

從所建立的動力學(xué)模型及仿真結(jié)果可看出，搖擺臺內(nèi)、外平臺間存在慣量耦合與動力學(xué)耦合 (陀螺效應(yīng))，搖擺臺內(nèi)平臺除繞自身轉(zhuǎn)動軸運動外，還受外平臺牽連運動影響，外平臺除繞自身轉(zhuǎn)動軸運動外，還受內(nèi)平臺作用力矩的影響。從結(jié)構(gòu)的角度出發(fā)，除轉(zhuǎn)動軸方向的慣性矩外，內(nèi)平臺結(jié)構(gòu)非轉(zhuǎn)動軸方向的慣性矩差對耦合力矩影響較大。負(fù)載偏載力矩也將影響搖擺臺驅(qū)動力矩大小，驅(qū)動系統(tǒng)選型時應(yīng)該考慮該影響因素。

2 閉環(huán)系統(tǒng)仿真分析

基于Simulink的搖擺臺伺服控制系統(tǒng)仿真結(jié)構(gòu)如圖4所示，實測角位移輸入控制器進行PID控制，驅(qū)動信號控制伺服閥開口大小來調(diào)節(jié)液壓流量和方向，齒輪齒條轉(zhuǎn)動產(chǎn)生相應(yīng)的運動，實現(xiàn)搖擺平臺對給定信號的跟蹤和再現(xiàn)。

圖4 搖擺臺伺服控制系統(tǒng)仿真結(jié)構(gòu)圖

考慮伺服閥節(jié)流口非線性，伺服閥節(jié)流口流量方程、液壓缸工作腔連續(xù)性方程為［4］:

式中:QL為伺服閥輸出流量，T為流量系數(shù)，w為伺服閥面積梯度，ps為供油壓力，ρ為油液密度，x為伺服閥閥芯位移，pL為負(fù)載壓力，QL為液壓缸輸入流量，A為齒輪齒條缸面積，v為速度，V為齒輪齒條缸體積，βe為油液有效體積彈性模量，C為總泄漏系數(shù)。

伺服閥動態(tài)特性取二階振蕩環(huán)節(jié)，伺服放大器的頻帶比液壓固有頻率高得多，因此其動態(tài)特性可用比例環(huán)節(jié)來表示。齒輪齒條間隙采用理想對稱間隙模型，如圖5所示，圖中e是間隙大小。

圖5 對稱間隙模型

基于耦合動力學(xué)模型及液壓驅(qū)動數(shù)學(xué)模型，在Simulink中建立系統(tǒng)的耦合仿真模型，其中齒輪齒條仿真模型如圖6所示。

圖6 齒輪齒條仿真模型

齒輪齒條選擇缸徑為100 mm，輸出扭矩為16 640 N·m，齒隙取0.05 mm，油源壓力21 MPa，伺服閥截止頻率30 Hz，對幅值為30°的正弦搖擺運動進行仿真，內(nèi)平臺仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 內(nèi)平臺仿真結(jié)果

由于齒條間隙的影響導(dǎo)致加速度波形在零位時嚴(yán)重失真，而角位移基本能跟隨上給定參考信號。內(nèi)平臺負(fù)載力矩波形受外平臺耦合力矩的影響失真較大，原因是所設(shè)計的大尺寸搖擺臺內(nèi)平臺非轉(zhuǎn)動軸方向的兩個慣量大且相差較大，有待于進一步優(yōu)化設(shè)計。此外仿真結(jié)果顯示，負(fù)載所需驅(qū)動力矩與以上動力學(xué)仿真計算結(jié)果基本相符。

3 結(jié)論

建立了兩自由度搖擺臺的動力學(xué)模型，對內(nèi)、外平臺的慣量耦合、力矩耦合進行了分析，采用齊次變換方法推導(dǎo)了偏載力矩數(shù)學(xué)模型。對齒輪齒條液壓驅(qū)動的搖擺臺耦合動力學(xué)特性進行了仿真分析。建立的動力學(xué)模型及仿真結(jié)果為大尺寸大負(fù)載搖擺臺的驅(qū)動系統(tǒng)設(shè)計、結(jié)構(gòu)優(yōu)化及控制系統(tǒng)設(shè)計提供了參考依據(jù)。

【1】黃衛(wèi)權(quán)，劉文佳．三軸仿真轉(zhuǎn)臺耦合問題的研究［J］．彈箭與制導(dǎo)學(xué)報，2009，29(1):99 －103．

【2】趙克定，王平，王本永．三軸角振動液壓轉(zhuǎn)臺解耦問題研究［J］．液壓與氣動，2006(7):16－18．

【3】鄧雪云，曹力，史忠科．實時飛行再現(xiàn)轉(zhuǎn)臺的建模與解耦［J］．機械科學(xué)與技術(shù)，2009，28(6):721 －725．

【4】宋瓊，朱長春，牛寶良．液壓振動臺建模與加速度波形失真度分析［J］．機床與液壓，2008，36(12):81 －83．