Fejer不等式的注記

程海來

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽合肥230009)

1893年Hadamard提出了如下著名不等式[1]，即

定理1若f(x)為區(qū)間a,b上的凸函數(shù)，則有

(1)

國內(nèi)外很多學(xué)者對此不等式做過研究和推廣，如[2-5]等，其中Fejer得到了如下結(jié)果(可見[2]).

(2)

本文在較弱條件下得到了(2)的加強形式，亦即有如下的

(3)

證先證明左邊不等式.由f(x)帶Lagrange余項的Taylor公式，

(4)

于是有

(5)

(6)

由帶積分余項的Taylor公式，

(7)

(7)式兩邊同乘以g(x)并對x從a到b積分，由對稱性可知，

故有

(8)

再由(7)知

(9)

于是

(10)

8-10，得

(11)

由于

而F(4)t≥0，(x-t)3-(b-t)3≤0，(b-t)3≥0，所以

從而由(11)，有

(12)

由(6)，(12)知不等式(3)成立.

若在a,b上f″(x)≥0，則f(x)為a,b上的凸函數(shù)，在定理3的條件下，由(3)可知

故不等式(3)為(2)的加強形式.

特別在不等式(3)中取g(x)≡1，則有

推論設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上有連續(xù)4階導(dǎo)數(shù)且f(4)(x)≥0，則有

(13)

若在a,b上f″(x)≥0(此時f(x)為a,b上的凸函數(shù))，易知不等式(13)為(1)的一個加強.

[參 考 文 獻]

[1] Hadamard J.Etude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d’une fonction considérée par Riemann[J]. J Math. Pures Appl.58 (1893), 171.

[2] Fejér L. Uber die Fourierreihen, II[J]. Math. Naturwiss Anz. Ungar. Akad. Wiss,1906,21:369-390 (In Hungarian).

[3] Wang Zhong-li and Wang Xiang-hua. On an extention of Hadamard inequalities for convex functions[J]. Chin.Ann of Math,1982,3(5):567-570.

[4] 馮慈璜.關(guān)于關(guān)于凸函數(shù)的 Hadamard 不等式[J].數(shù)學(xué)年刊(中文版),1985,6 (A ):4,443-446.

[5] 于永新,劉證. 凸函數(shù)的幾個Hadamard型不等式[J]. 數(shù)學(xué)的實踐與認識, 2005，35(1):201-207.