基于泰勒級數(shù)展開的一點超前差分公式的推導

張雨濃， 鄧健豪， 劉錦榮， 仇 堯， 金 龍

(1.中山大學信息科學與技術(shù)學院，廣東廣州510006； 2.中山大學軟件學院，廣東廣州510006)

1 引 言

數(shù)值微分是數(shù)值分析中的基本問題，同時也是應(yīng)用科學中非常有用的一個工具[1-3]. 通過使用鄰近的離散數(shù)據(jù)點，有限差分法可有效地近似一個函數(shù)在目標點的導數(shù)值[4]. 根據(jù)目標點在采樣區(qū)間中的位置，有限差分公式可以被劃分為前向差分、后向差分和中心差分公式. 目標點是所用數(shù)據(jù)點的最左點即為前向差分，最右點為后向差分，中間點為中心差分.

使用多點中心差分公式時，要求目標點兩側(cè)有相同數(shù)量的離散數(shù)據(jù)點. 因此，當目標點靠近邊界時，單邊數(shù)據(jù)點不足，多點中心差分公式往往不能被應(yīng)用. 當未知函數(shù)在目標點的導數(shù)值發(fā)生加速變化時，由于前(后)向差分公式只應(yīng)用單邊的數(shù)據(jù)點，可能無法適應(yīng)該變化，使得近似導數(shù)值的誤差較大.

為了解決以上問題，一點超前差分公式被提出[5]. 該公式綜合了三種傳統(tǒng)的差分公式，在后向差分公式的形式上“前移”一點，解決了因單邊數(shù)據(jù)點不足造成的問題，同時適應(yīng)了目標點的導數(shù)值可能發(fā)生的加速變化[5]. 該公式由拉格朗日插值多項式推導而來. 利用采集的等間距數(shù)據(jù)點，可以構(gòu)造近似未知函數(shù)的拉格朗日插值多項式；對該式子求導，即可得到近似的未知函數(shù)的一階數(shù)值差分公式[6]，由此可以得出求一階導數(shù)的一點超前公式.

不同于文獻[5]和[6]中利用拉格朗日插值多項式來推導一階數(shù)值差分公式的方法，本文提出了基于泰勒級數(shù)展開[7]的對一點超前差分公式的推導. 由給出的未知函數(shù)在指定區(qū)間上的N+1個等間距點的函數(shù)值，即可列出N個關(guān)于目標點的1到N階導數(shù)的泰勒級數(shù)展開式. 將N個式子代入一點超前差分公式中，即可得出關(guān)于N+1個系數(shù)的方程組. 求解該方程組即可得到N+1個數(shù)據(jù)點的一點超前公式. 使用基于泰勒級數(shù)展開的推導方法所得到的二至十六個數(shù)據(jù)點的一點超前公式以及截斷誤差與文獻[5]中給出的一致，這使得一點超前公式的理論基礎(chǔ)更加完善.

另外，計算機數(shù)值實驗表明，一點超前公式可以取得較好的一階導數(shù)估計精度[5]. 附錄中給出了利用一點超前差分公式來近似目標點的一階導數(shù)的Matlab程序代碼. 只要給出N+1個等間距數(shù)據(jù)點的函數(shù)值及間距，即可求出第N個點的一階導數(shù)近似值.

2 一點超前差分公式

若x0,x1,…,xn為采樣區(qū)間[a,b]上n+1個互不相同的等間距數(shù)據(jù)點，即xi+1-xi=h，i=0,1,…,n-1，其中h為采樣間隔常數(shù)，則未知目標函數(shù)f(x)的一階導數(shù)的一點超前差分公式為[5]

表1 二至八個數(shù)據(jù)點的等間距一點超前數(shù)值差分公式

3 基于泰勒級數(shù)展開的推導過程

定理1一階導數(shù)的等間距一點超前差分公式的形式為

f′(xn-1)≈a0f(x0)+a1f(x1)+…+an-1f(xn-1)+anf(xn)，

(1)

系數(shù)a0,a1,…,an可以由泰勒級數(shù)展開來推導并求解線性方程組得出.

證f(x)在點xn-1的泰勒展開式為

(2)

其中c介于xn-1與x之間.

對于0≤k≤n(k≠n-1)，將xk=xn-1+(k+1-n)h代入(2)中，可以得出n個等式

其中ck介于xn-1與xk之間.

將以上n個等式代入(1)中，可得

f′(xn-1)≈ (a0+a1+…+an-1+an)f(xn-1)

+(1-n)ha0+(2-n)ha1+…+(-1)han-2+hanf′(xn-1)

(3)

令(3)右邊的f′(xn-1)的系數(shù)等于1，f(xn-1),f″(xn-1),…,f(n)(xn-1)的系數(shù)于0，可得出關(guān)于a0,a1,…,an的線性方程組

由此可以求出一階導數(shù)的等間距一點超前差分公式中的系數(shù). 通過觀察可知，該公式的截斷誤差為

(4)

當n=1時，一點超前差分公式的形式為f′(x0)≈a0f(x0)+a1f(x1)，此時關(guān)于a0,a1的方程組及其解為

因此f′(x0)≈f(x1)-f(x0)/h. 由(4)可知截斷誤差為

當n=2時，一點超前差分公式的形式為f′(x1)≈a0f(x0)+a1f(x1)+a2f(x2)，此時關(guān)于a0,a1,a2的方程組及其解為

因此f′(x1)≈f(x2)+0f(x1)-f(x0)/(2h)，截斷誤差為

當n=3時，一點超前差分公式的形式為

f′(x2)≈a0f(x0)+a1f(x1)+a2f(x2)+a3f(x3)，

此時關(guān)于a0,a1,a2,a3的方程組及其解為

因此f′(x2)≈2f(x3)+3f(x2)-6f(x1)+f(x0)/(6h),截斷誤差項為

可以看出，基于泰勒級數(shù)展開推導出來的一點超前差分公式及其截斷誤差，與表1給出的完全一致. 對于n>3的情況，可使用附錄中給出的Matlab程序來驗證. 另外，八至十六個數(shù)據(jù)點的等間距一點超前差分公式可參考文獻[5].

這樣，我們就從另一個方面證明了一點超前公式的正確性.

4 結(jié) 論

傳統(tǒng)的有限差分公式包括前向差分、后向差分和中間差分公式. 使用這些公式可以有效地近似未知函數(shù)在目標點的近似值. 但是，對于靠近邊界的目標點，單邊數(shù)據(jù)點不足，無法應(yīng)用多點的中間差分公式. 另外，前(后)向差分公式無法適應(yīng)未知函數(shù)在目標點的導數(shù)的加速變化. 一點超前數(shù)值差分公式可以有效地解決上述問題，其準確性也已經(jīng)得到了驗證.

本文給出了基于泰勒級數(shù)展開的對一點超前差分公式的推導過程. 通過對采樣點應(yīng)用泰勒級數(shù)展開式，我們得出了關(guān)于一點超前公式中的系數(shù)的線性方程組. 最后，我們還給出了自動列出并求解該方程組的Matlab程序. 總而言之，本文從另一個角度，進一步證實了一點超前差分公式的有效性和正確性.

5 附 錄

以下給出求一點超前公式系數(shù)及目標點的一階導數(shù)近似值的Matlab程序.

%輸入：

% F: 包含n+1個采樣函數(shù)值的向量，即[f(0),f(1),...,f(n)]′

% h: 采樣間隔常數(shù)

%輸出：

% d: 第n-1個點的一階導數(shù)近似值，即f′(n-1)

% A: 包含n+1個系數(shù)的向量，即[a0,a1,...,an]′

function [d,A]=oneNodeAhead(F,h)

n=size(F,1)-1;

Y=zeros(n+1,1);

Y(2,1)=1/h;

B=ones(n+1,n+1);

for j=1∶(n+1)

b=1;

for i=2∶(n+1)

if j==n

B(i,j)=0;

else

b=b*(j-n);

B(i,j)=b;

end

end

end

A=BY;

d=A'*F;

end

[參 考 文 獻]

[1] Li Jian-ping. General explicit difference formulas for numerical differentiation[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics，2005，183(1)：29-52.

[2] John H M，Kurtis D F. 數(shù)值方法(MATLAB 版)[M] .4 版.周璐，陳渝，錢方，等譯. 北京：電子工業(yè)出版社，2009.

[3] 李建良，蔣勇，汪光先. 計算機數(shù)值方法[M]. 南京：東南大學出版社，2000.

[4] Ishtiaq R K，Ryoji O. Taylor series based finite difference approximations of higher-degree derivatives[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics，2003，154(1)：115-124.

[5] 張雨濃，陳宇曦，陳錦浩，殷勇華. 一點超前數(shù)值差分公式的提出、研究與實踐[J]. 中山大學學報(自然科學版)，2012，51(2)：1-5.

[6] 張雨濃，郭東生，徐思洪，李海林. 未知目標函數(shù)之一階數(shù)值微分公式驗證與實踐[J].甘肅科學學報，2009，21(1)：13-18.

[7] 白曉東. Taylor公式逼近精度的研究[J]. 大學數(shù)學，2004，20(4)：108-110.