結(jié)構(gòu)中頻振動分析的混合方法

王坤 趙陽 張斌

(1．中國航天科工集團第九總體設(shè)計部，武漢 4 30040)(2．哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱 1 50001)

結(jié)構(gòu)中頻振動分析的混合方法

王坤1?趙陽2張斌1

(1．中國航天科工集團第九總體設(shè)計部，武漢 4 30040)(2．哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱 1 50001)

針對結(jié)構(gòu)振動的中頻問題，提出了一種新的混合分析方法．具有低模態(tài)密度的子結(jié)構(gòu)利用有限元建模，高模態(tài)密度子結(jié)構(gòu)利用波動方法建模，并利用邊界處的位移連續(xù)和力平衡條件進行求解．以耦合梁結(jié)構(gòu)為例，給出了具體的計算過程，通過解析方法進行了仿真驗證．結(jié)果表明了此混合方法的有效性．進一步地計算了高頻子結(jié)構(gòu)的能量密度響應(yīng)，并且通過對比說明，此方法在計算邊界位置的能量密度響應(yīng)時可以得到精確度更高的結(jié)果．

波動， 有限元法， 中頻振動， 混合方法， 能量密度

引言

振動分析方法按頻域可以分為低頻、中頻和高頻．在低頻區(qū)域，波長相對于結(jié)構(gòu)尺寸較長，結(jié)構(gòu)內(nèi)含有的波數(shù)較少，在此頻域內(nèi)，比較實用的方法是有限元法．高頻振動時，結(jié)構(gòu)內(nèi)包含大量振動模態(tài)，有限元法需要增加單元的數(shù)量，以捕捉結(jié)構(gòu)的振動特性，控制插值誤差和污染誤差［1］，計算量因此而增大，以至于在高頻區(qū)域變得不可行．在高頻區(qū)域，通常進行振動響應(yīng)的能量分析，其中最重要的方法是統(tǒng)計能量分析(SEA)．SEA把聲振系統(tǒng)按相似模態(tài)分為子系統(tǒng)，系統(tǒng)的統(tǒng)計行為是預(yù)先確定的，其主要變量為子系統(tǒng)振動的平均能量，因此大大減小了計算成本．SEA的主要不足是要求高模態(tài)密度，這限制了它只能用于高頻情況，并且其預(yù)示的結(jié)果也比較粗略，針對每個子系統(tǒng)只有一個平均的能量響應(yīng)預(yù)示結(jié)果．目前一些技術(shù)試圖對統(tǒng)計能量分析進行改進，能量有限元［2－4］將時間和空間平均后的能量密度作為變量，也大大的減小了計算量，并且結(jié)合有限元技術(shù)，可以給出更為精細的響應(yīng)預(yù)示．但其實用性還有待實踐的進一步驗證．

在低頻和高頻區(qū)域之外，還存在著中頻區(qū)域，針對此區(qū)域有不少學(xué)者開展過研究［5，6］，目前中頻區(qū)域還沒有確定的定義，通常認為，在中頻區(qū)域的結(jié)構(gòu)振動存在著混合行為，部分子結(jié)構(gòu)振動模態(tài)密集，重疊率高，稱之為高頻子結(jié)構(gòu)，而另一部分子結(jié)構(gòu)包含振動波數(shù)較少，適合用數(shù)值方法進行分析，稱為低頻子結(jié)構(gòu)．基于此理念，最近幾年中頻問題的研究一般采用混合方法．Vlahopoulos等人發(fā)展了混合有限元方法，將有限元分析和能量有限元法結(jié)合起來以研究結(jié)構(gòu)的中頻響應(yīng)［7，8］，Langley等人把有限元法和統(tǒng)計能量分析結(jié)合起來，低頻區(qū)域用有限元分析，高頻區(qū)域則利用統(tǒng)計能量分析［9，10］．此方法得到了成功的應(yīng)用，目前流行的聲振分析軟件VA One就是利用此技術(shù)．

波動方法的研究為振動響應(yīng)預(yù)示提供了另一種思路．波動方法視振動以波的形式在結(jié)構(gòu)中傳播，能夠較好地捕捉結(jié)構(gòu)局部的振動特性，并且其計算效率高，適合于高頻領(lǐng)域的計算．一直以來都有學(xué)者致力于用波動方法解決振動響應(yīng)的預(yù)示與控制［11－13］．本研究利用波動方法與有限元法結(jié)合，采用確定的邊界條件，對高頻振動的子結(jié)構(gòu)進行行波方法求解，而對于低頻子結(jié)構(gòu)部分進行有限元求解，為中頻結(jié)構(gòu)的響應(yīng)預(yù)示提供了另一種可能的解決方法．波動方法的另一特點是對振動能量的傳播給出了一種更為直觀的解釋，Lyon等人首先用波動方法計算了統(tǒng)計能量分析的耦合損耗因子［14］．目前用于高頻計算的能量有限元方法［2－4］，其基礎(chǔ)就是結(jié)構(gòu)振動的波動解，波動法在一定程度上與能量有限元法是統(tǒng)一的．而且能量有限元法忽略了近場解，在邊界處會引起較大誤差，而波動方法考慮了邊界效應(yīng)，在邊界附近可以得到比能量有限元法更為精確的響應(yīng)．利用波動方法結(jié)合有限元研究結(jié)構(gòu)的高頻振動響應(yīng)，可以為結(jié)構(gòu)的中高頻振動響應(yīng)的預(yù)示提供新的思路．

1 混合方法建模

對于低頻振動的子系統(tǒng)部分，可以采用有限元單元法建模

式中q為低頻子結(jié)構(gòu)的振動自由度，根據(jù)需要可以有不同的選擇，通常情況下，選擇結(jié)構(gòu)某些離散位置上的位移和轉(zhuǎn)角;F為結(jié)構(gòu)所受外力的向量;S為結(jié)構(gòu)的總剛度陣，可以表示為－ω2M+iωC+K，其中M為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量陣，C為阻尼陣，K為剛度陣．此表示形式根據(jù)自由度的特點可以分為三部分:與高頻子結(jié)構(gòu)的連接自由度，子結(jié)構(gòu)的邊界自由度和剩余自由度．

對于高頻振動的子結(jié)構(gòu)部分，可以利用波動的思想表示為

W為與位置有關(guān)的位移函數(shù)項，eiωt表示位移隨時間的變化．

在高頻子結(jié)構(gòu)與低頻子結(jié)構(gòu)的連接處，存在著位移連續(xù)和力平衡條件

式中u(W)和θ(W)為波動解的位移和轉(zhuǎn)角，Q(W)和M(W)為相應(yīng)的剪力和彎曲．考慮到高頻子結(jié)構(gòu)的邊界只影響邊界附近較小范圍內(nèi)的振動特性，在精度要求不高時，邊界條件產(chǎn)生的近場解通常可以忽略，在此情況下，式(3)只表示了遠離結(jié)構(gòu)邊界的遠場變量，聯(lián)合上(2)－(5)式，可以求得結(jié)構(gòu)的全局響應(yīng)．如果需要考慮邊界附近的響應(yīng)影響，式(3)中加入近場項，并結(jié)合高頻結(jié)構(gòu)的邊界條件，可以求得邊界處的響應(yīng)．

2 實例計算

針對耦合梁的情況，研究此混合計算方法的有效性．如圖1所示，振動結(jié)構(gòu)由兩部分組成，左邊為梁1，設(shè)為高頻子結(jié)構(gòu)，利用波動法求解，右邊為梁2，與梁1直接連接，其右端邊界為固支，為低頻子結(jié)構(gòu)，利用有限元法建模．由(2)式，取梁振動的位移和轉(zhuǎn)角為變量，則

梁2的振動形式表示如下

由上式求得連接處的自由度形式為

式(8)表示為矩陣形式

式中uC為連接處位移，θC為連接處轉(zhuǎn)角，F(xiàn)C和MC為對應(yīng)的剪力和彎矩．

圖1 耦合梁結(jié)構(gòu)Fig．1 A coupled － beam system

對高頻子結(jié)構(gòu)梁1，遠場解的位移表達式為

A1和B1為波動系數(shù)，k1為梁的波數(shù)．此情況下相當于梁中波幅值為A1的右行波，遇到邊界后部分透射，部分反射回來，反射部分幅值為B1．計算得到的時間和空間平均的能量密度響應(yīng)為

式中，k12為梁1波數(shù)的虛部．此情況只考慮了遠場解，與能量有限元法得到的結(jié)果相同．產(chǎn)生幅值為A1的行波的激勵F可與A1的關(guān)系可以通過無限梁的導(dǎo)納來近似求得

式中Y∞為無限梁的導(dǎo)納［15］

在梁的連接位置，為提高求解精度，加入近場解的影響

D1為近場衰減波的系數(shù)．

加入近場解的能量密度由下式計算

式中k11為梁1波數(shù)的實部．在連接處位移轉(zhuǎn)角連續(xù)，力和力矩平衡，則有

式中EI1為梁1的彎曲剛度．

取連接處為坐標原點，得到方程組的矩陣形式如下所示

解以上方程組可以求得邊界自由度qC與波動系數(shù)B1和D1．qC代入式(9)可以得到剩余自由度qR．

3 振動的解析解

結(jié)構(gòu)振動的解析解通過波動方法求解，對高頻子結(jié)構(gòu)，只考慮了連接處近場解影響．而低頻子結(jié)構(gòu)由于近場解影響范圍較大，必須加入其影響．則梁1和梁2的表達式如下

其中波數(shù)為

由連接處位移和轉(zhuǎn)角連續(xù)及力和力矩平衡條件

梁2固支邊界處位移和轉(zhuǎn)角為零

解方程(21)－(28)式可以求得結(jié)構(gòu)振動的解析的響應(yīng)表達式．

4 仿真結(jié)果分析

單位幅值激勵作用下，對結(jié)構(gòu)進行了仿真分析，兩支梁長L1=L2=2m，阻尼比 η1=η2=0．01，梁1和梁2的線密度分別為ρS1=200kg/m和ρS2=100kg/m，梁1的彎曲剛度EI1=7200(1+iη)Nm2，梁 2 的彎曲剛度EI2=3000(1+iη)Nm2，得到了圓頻率為0～500rad/s范圍內(nèi)的響應(yīng)結(jié)果．

圖2 6單元時梁1的位移對比Fig．2 Displacement of beam 1 using 6 elements

圖2和圖3給出了梁1中點位置的位移響應(yīng)，圖2中實線為解析解的響應(yīng)結(jié)果，虛線為混合解法的響應(yīng)結(jié)果，其中梁2劃分為6個單元．圖3中實線為解析解的響應(yīng)，虛線為混合解法的響應(yīng)，梁2劃分為60個單元．由圖2可以看到混合法在整體上與解析解吻合，圖3顯示，經(jīng)過單元加密后，混合解法的預(yù)示精度有了很大提高，已經(jīng)能夠很好的捕捉共振峰值．對梁2的中點位移，圖4給出了60單元的混合解法與解析解的比較．可以發(fā)現(xiàn)混合解與解析解符合很好，對共振峰值的捕捉也很好．

圖3 60單元時梁1的位移對比Fig．3 Displacement of beam 1 using 60 elements

圖4 梁2的位移對比Fig．4 Displacement of beam 2

圖5 梁1的能量密度Fig．5 Energy density of beam 1

圖6 近場解對能量密度響應(yīng)的影響Fig．6 Effects of near－ field on energy density

在進行高頻響應(yīng)分析時，能量有限元法是一種比較常用的方法，能量有限元的變量為時間和空間平均的能量密度，而通過波動解可以直接求得能量密度．圖5給出了梁1振動的能量密度，圖中實線為解析解計算的響應(yīng)結(jié)果，虛線為混合解法的得到的響，波動的曲線是未進行平均的能量密度，平滑曲線為平均化后的能量密度．圖中顯示混合解法與解析解法在能量密度的求解上吻合很好，并且由圖可以看出，平均化的能量密度在頻域上得到的也是平均值．由于進行平均，計算量得到了大大減小，并且對于頻率的變化不敏感．

為考慮近場解的影響，對梁1中點和與梁2連接處的能量密度響應(yīng)進行了求解比較．圖6中，a)圖為遠離邊界的梁1中點處的能量密度響應(yīng)比較，實線為未考慮近場解的響應(yīng)曲線，星號為加入近場解的響應(yīng)結(jié)果．可以看到兩種情況下，響應(yīng)結(jié)果是重合的，這表明在遠離邊界的位置，近場解的影響可以忽略．b)圖中為連接處的能量密度響應(yīng)比較，實線為未考慮近場解的響應(yīng)曲線，虛線表示了加入近場響應(yīng)后的結(jié)果，可以看到虛線值要明顯比實線值高，這表明在連接處，近場解對響應(yīng)的預(yù)示有較大影響，忽略近場解的得到的結(jié)果偏低．

5 結(jié)論

提出了利用波動法和有限元法混合的技術(shù)求解中頻振動的響應(yīng)問題，以耦合梁結(jié)構(gòu)為對象進行了實例分析，仿真計算表明，混合方法能夠有效地計算結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)，并且隨著低頻子結(jié)構(gòu)有限單元密度的增加，會不斷地逼近解析解．由于研究結(jié)構(gòu)高頻響應(yīng)的能量有限元法的基礎(chǔ)是波動解，此混合方法可以基于此思想直接求解高頻子結(jié)構(gòu)的能量密度響應(yīng)，利用平均化的能量密度為變量可以大大減小計算量，本研究采用的混合方法的基礎(chǔ)是有限元法和波動理論．后續(xù)工作需要集中在波動理論的研究上，才能進一步拓寬此混合技術(shù)的應(yīng)用范圍．

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? Corresponding author E－mail:alacarte@163．com

A HYBRID METHOD FOR THE ANALYSIS OF STRUCTURAL VIBRATION IN MEDIUM FREQUENCY

Wang Kun1?Zhao Yang2Zhang Bin1
(1．The9th Designing of China Aerospace Science＆Industry Corp．，Wuhan430040，China)(2．School of Astronautics，Harbin Institute of Technology，Harbin150001，China)

A new hybrid method was presented to predict vibration responses of structures in medium frequency．Finite element method was used to model subsystems with low modal density while wave method was for subsystems with high modal density．A coupled－beam system was exemplified to demonstrate the details．Compared with the analytical method，simulation results validate the hybrid method．Energy density response was obtained for the subsystem with high modal density．It is found that the hybrid method produces a more precise prediction in the vicinity of boundaries．

wave method， finite element method， medium frequency vibration， hybrid method， energy density

18 June 2014，

25 July 2014．

10．6052/1672－6553－2014－057

2014－06－18 收到第 1 稿，2014－07－25 收到修改稿．

E－mail:alacarte@163．com