基于變密度法的飛行器升力面結(jié)構(gòu)多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)*

苗曉婷 許泉 劉 廣 張 鳳崗

(上海機(jī)電工程研究所，上海 2 01109)

基于變密度法的飛行器升力面結(jié)構(gòu)多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)*

苗曉婷?許泉 劉 廣 張 鳳崗

(上海機(jī)電工程研究所，上海 2 01109)

為研究權(quán)衡結(jié)構(gòu)剛度與低階振動頻率的飛行器升力面最優(yōu)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，提出兩種多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化方案(約束法、結(jié)合約束法與評價(jià)函數(shù)法)．基于變密度方法，在約束法方案中將多目標(biāo)優(yōu)化轉(zhuǎn)化為設(shè)定參考點(diǎn)位移約束和低階振動頻率約束下，求解結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小化的優(yōu)化問題．在結(jié)合約束法與評價(jià)函數(shù)法方案中，定義組合柔度指數(shù)為評價(jià)函數(shù)(結(jié)構(gòu)柔度與振動頻率的函數(shù))，將多目標(biāo)優(yōu)化轉(zhuǎn)化為設(shè)定低階振動頻率約束和體積分?jǐn)?shù)約束下，求解結(jié)構(gòu)最小組合柔度指數(shù)的優(yōu)化問題．結(jié)果表明兩種方案的優(yōu)化結(jié)果具有一定的相似性，各有所長．優(yōu)化設(shè)計(jì)不僅減輕了升力面結(jié)構(gòu)重量，而且提高了結(jié)構(gòu)的一、二階振動頻率．

多目標(biāo)， 拓?fù)鋬?yōu)化， 約束法， 評價(jià)函數(shù)法

引言

航天航空飛行器升力面的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)主要考核的參數(shù)為振動頻率、剛度和質(zhì)量，振動頻率又是剛度和質(zhì)量的函數(shù)，因此三個(gè)主要參數(shù)必須結(jié)合在一起考量，以求設(shè)計(jì)出最佳的升力面結(jié)構(gòu)．連續(xù)體結(jié)構(gòu)的多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化方法給升力面結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)開拓了新的思路．在計(jì)算機(jī)科學(xué)大力發(fā)展的輔助下，連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化自本世紀(jì)以來得到了迅速的發(fā)展并廣泛應(yīng)用于航天航空、汽車、機(jī)械、醫(yī)學(xué)及土木工程等領(lǐng)域．連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)主要包括均勻化方法［1］、變密度法［2－3］、ICM(independent，continous，mapping)方法［4－5］以及漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法(ESO)［6－7］，它們與有限元數(shù)值方法的結(jié)合推動了其在工程領(lǐng)域的實(shí)現(xiàn)［8］．其中變密度方法以連續(xù)變量的密度函數(shù)形式顯式地表達(dá)單元相對密度與材料彈性模量之間的對應(yīng)關(guān)系，尋求結(jié)構(gòu)最佳的傳力路線，以實(shí)現(xiàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)的材料分布，具有程序易實(shí)現(xiàn)、計(jì)算效率快、計(jì)算精度高的優(yōu)勢．

拓?fù)鋬?yōu)化過程是指在選定的設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)，滿足給定的靜力學(xué)、動力學(xué)約束條件下(包括位移、應(yīng)力、頻率、應(yīng)變能、柔度和屈曲等)，尋求所設(shè)定的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，從而確定最優(yōu)的材料分布形式與結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案．一個(gè)設(shè)計(jì)方案的好壞如果僅涉及一項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)，稱為單目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題;涉及多項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)，稱為多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)［9］．在產(chǎn)品的初始設(shè)計(jì)階段便充分考慮結(jié)構(gòu)多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)技術(shù)的應(yīng)用使最優(yōu)化產(chǎn)品性能成為可能，大大縮短產(chǎn)品有效的設(shè)計(jì)周期，最大化工程利益．

多目標(biāo)優(yōu)化的難點(diǎn)在于如何在解決棋盤效應(yīng)、網(wǎng)格依賴性和局部最優(yōu)值等諸多數(shù)值困難的基礎(chǔ)上，綜合考慮不同的約束條件，協(xié)調(diào)多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)之間的權(quán)重，求解多目標(biāo)優(yōu)化的最佳方案．尤其是針對動力學(xué)的多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化問題，必須同時(shí)考慮多個(gè)動力學(xué)約束條件使問題變得更加復(fù)雜．因此，目前連續(xù)體結(jié)構(gòu)的多目標(biāo)動力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)被國內(nèi)外學(xué)術(shù)界、工程界公認(rèn)為最具有挑戰(zhàn)性的課題和最具有生命力的研究方向．國內(nèi)外學(xué)者針對多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)的優(yōu)化算法、尋優(yōu)策略的理論研究作了一定的工作［9－10］，然而其工程實(shí)踐性并不理想;或針對單目標(biāo)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的動力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)［11－13］，但在多目標(biāo)的動力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化方向的理論研究與工程實(shí)踐甚少．

升力面結(jié)構(gòu)作為飛行器的關(guān)鍵承力部件之一，結(jié)構(gòu)剛度與低階振動頻率是避免發(fā)生靜氣彈效應(yīng)，保證其對飛行器的高效操縱性的關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)．本文基于變密度法中的SIMP法(solid isotropic material with penalization)使飛行器的升力面結(jié)構(gòu)在滿足輕量化的設(shè)計(jì)要求下，獲得權(quán)衡剛度與一、二階振動頻率的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案．分別采用多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的兩種優(yōu)化算法(約束法、結(jié)合約束法與評價(jià)函數(shù)法)，并對比優(yōu)化結(jié)果，分析兩種算法的有效性．

1 優(yōu)化流程

1．1 數(shù)學(xué)模型

優(yōu)化設(shè)計(jì)有三要素，即設(shè)計(jì)變量，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)和約束條件，設(shè)計(jì)變量是允許發(fā)生改變從而提高優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)性能的一組參數(shù);約束條件是對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的限制條件，即隨設(shè)計(jì)變量的改變對所引起的結(jié)構(gòu)性能的限制;優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)是設(shè)計(jì)變量的函數(shù)，優(yōu)化過程即為在約束條件的限制下，尋求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解．其數(shù)學(xué)模型可表述為:

圖1 優(yōu)化求解流程Fig．1 The flow of optimization

式中，x1，x2，…，xi，xm是設(shè)計(jì)變量，如產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)尺寸，材料分布等;ft(x)是目標(biāo)函數(shù)，可以為各種力學(xué)性能如振動頻率、結(jié)構(gòu)柔度、結(jié)構(gòu)重量等;gj(x)是需要進(jìn)行約束的設(shè)計(jì)響應(yīng)，如結(jié)構(gòu)的變形位移和應(yīng)力水平．

1．2 求解流程

目前工程上高效、穩(wěn)健的優(yōu)化方法是采用數(shù)學(xué)規(guī)劃方法，通過求解靈敏度構(gòu)造近似顯式模型，采用小步長迭代找到最優(yōu)解，求解流程如圖1所示．當(dāng)連續(xù)兩次迭代的目標(biāo)值相差小于給定收斂容差時(shí)，優(yōu)化問題求解收斂．

2 多目標(biāo)優(yōu)化方案

目前國內(nèi)外普遍采取將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題的方案以實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化，顯然合理的轉(zhuǎn)化方案決定著結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化的成?。谎芯繉ο螅槍Χ鄠€(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)，可采用不同的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化模型，不同的轉(zhuǎn)化模型對應(yīng)不同的結(jié)果．對于實(shí)際的工程問題往往需要同時(shí)考慮多種轉(zhuǎn)化方案，并對比不同的優(yōu)化結(jié)果，最終根據(jù)工程實(shí)際需求采取最優(yōu)方案．常用的轉(zhuǎn)化方案可歸納為以下幾種:

2．1 約束法

對比多個(gè)目標(biāo)函數(shù)ft(x)，t=1，…，k的主次性，首先選取幾個(gè)較為關(guān)鍵的目標(biāo)(次要目標(biāo))分別進(jìn)行優(yōu)化，得到優(yōu)化值，最后參照優(yōu)化值以這幾個(gè)次要目標(biāo)作為約束條件并結(jié)合設(shè)計(jì)約束條件，求出最主要目標(biāo)fi(x)的最優(yōu)值．?dāng)?shù)學(xué)模型如下:

2．2 分層序列法

按照重要程度對多目標(biāo)函數(shù)ft(x)，t=1，…，k進(jìn)行排序，首先求出第1個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)值，在此基礎(chǔ)上求出第2個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)值，依次類推，直到求出最后一個(gè)目標(biāo)fk(x)的最優(yōu)解．此方法的局限性在于目標(biāo)函數(shù)重要程度的排列順序?qū)?yōu)化結(jié)果的影響較大，決定其工程實(shí)踐性對設(shè)計(jì)師的經(jīng)驗(yàn)要求較高．?dāng)?shù)學(xué)模型如下:

第1步

第2步

2．3 評價(jià)函數(shù)法

把多個(gè)目標(biāo)函數(shù)ft(x)，t=1，…，k構(gòu)造成一個(gè)目標(biāo)函數(shù)－評價(jià)函數(shù)，然后對評價(jià)函數(shù)進(jìn)行最優(yōu)化．實(shí)際的工程問題中，可能多個(gè)目標(biāo)函數(shù)的量綱是不同的，所以需要把每個(gè)目標(biāo)函數(shù)事先規(guī)范化．主要包括以下幾種方法:

(1)平方和加權(quán)法

先求出k個(gè)單目標(biāo)優(yōu)化問題的最優(yōu)解，令評價(jià)函數(shù)

其中αt為事先給定的多目標(biāo)的權(quán)重系數(shù)，最后再求minh(F)．

(2)規(guī)范目標(biāo)法

與平方和加權(quán)法類似，先求出k個(gè)單目標(biāo)優(yōu)化問題的最優(yōu)解，令評價(jià)函數(shù)

最后再求minh(F)．

(3)線性加權(quán)法

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的值均為正數(shù)或負(fù)數(shù)時(shí)，此方法在保證精度的基礎(chǔ)上，相比前兩種方法簡化了計(jì)算求解過程．令評價(jià)函數(shù)為多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的線性加權(quán)

其中αt為事先給定的多目標(biāo)的權(quán)重系數(shù)，最后再求minh(F)．

3 升力面結(jié)構(gòu)優(yōu)化與結(jié)果分析

3．1 有限元模型

本文以飛行器升力面結(jié)構(gòu)為研究對象，實(shí)現(xiàn)綜合考慮結(jié)構(gòu)一、二階振動頻率與剛度的多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)．借助有限元分析軟件HyperWork10．0中的Optistruct模塊進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)．Optistruct模塊中的變密度法(SIMP方法)假設(shè)材料密度可在0～1之間連續(xù)變化，通過改變設(shè)計(jì)空間內(nèi)材料的分布形式來搜索最優(yōu)解，最后建議保留材料密度大的區(qū)域而刪除材料密度小的區(qū)域．設(shè)定懲罰因子約束抑制介于0～1之間的單元，采用下限約束方法(minimum member size control)控制數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，通過約束拔模方向保證優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的易加工性．定義收斂容差為0．5%，即當(dāng)連續(xù)兩次迭代的目標(biāo)值相差小于0．5%時(shí)，求解收斂，優(yōu)化結(jié)束．

圖2 升力面結(jié)構(gòu)的有限元模型Fig．2 Finite element model of lifting－surface structure

升力面結(jié)構(gòu)的有限元模型如圖2所示，結(jié)構(gòu)材料選用鈦合金，ρ=4．5e －6kg/mm3，E=1．1e5MPa，υ=0．22．圖中綠色區(qū)域?yàn)樵O(shè)計(jì)區(qū)域，黃色和紫色區(qū)域?yàn)榉窃O(shè)計(jì)區(qū)域，在紫色非設(shè)計(jì)區(qū)域加載垂直于升力面上表面的壓力載荷P=0．15MPa，在黃色區(qū)域內(nèi)選取部分單元節(jié)點(diǎn)固支(以紅色顯示)．結(jié)構(gòu)采用六面體和五面體一階單元劃分，單元大小均小于2．5，單元總數(shù)為 81750．

3．2 優(yōu)化方案

首先計(jì)算優(yōu)化前實(shí)心升力面的靜態(tài)變形和一、二階振動頻率，變形如圖3所示，最大變形量為3．439，選取1，2，3，4 點(diǎn)作為考察點(diǎn)，位移量分別列入表1中．結(jié)構(gòu)一階頻率為 255Hz，二階頻率為307Hz，見表 2．

圖3 優(yōu)化前升力面的靜態(tài)變形Fig．3 Static distortion of lifting－surface without optimization design

表1 考察點(diǎn)位移值Table 1 Displacement of the observed points

表2 結(jié)構(gòu)的振動頻率與組合柔度指數(shù)Table 2 Vibration frequency and combined compliance index(CCI)of the structure

升力面結(jié)構(gòu)的振動頻率是剛度和質(zhì)量的函數(shù)，其剛度與一、二階振動頻率又是避免發(fā)生靜氣彈效應(yīng)的關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)．考慮升力面結(jié)構(gòu)剛度與一、二階振動頻率的多目標(biāo)優(yōu)化問題實(shí)質(zhì)是權(quán)衡如何提高結(jié)構(gòu)剛度與一、二階振動頻率，并保證一、二階振動頻率的差異．以此為理論出發(fā)點(diǎn)，本文主要采用以下兩種方案:

(1)方案1—約束法

首先分別對一、二階振動頻率進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化求出它們的最大值，如表2所示．由于參考點(diǎn)(1、2、3、4)位移大致決定升力面的結(jié)構(gòu)變形，因此基于實(shí)心結(jié)構(gòu)的位移值設(shè)定位移最大值的約束條件(表1)，并結(jié)合實(shí)心結(jié)構(gòu)的頻率值為下限，頻率最大值為上限設(shè)定頻率約束條件，求解結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小化的優(yōu)化問題．計(jì)算迭代54步后收斂，優(yōu)化前結(jié)構(gòu)質(zhì)量為1．31kg，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)質(zhì)量為 0．92kg，可設(shè)計(jì)區(qū)域的質(zhì)量減少了53%．優(yōu)化后結(jié)構(gòu)一、二階振動頻率分別有一定程度的提高(表2)，參考點(diǎn)位移略有增加(表1)．優(yōu)化后升力面的靜態(tài)變形如圖4(a)所示，設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)材料分布情況如圖4(b)所示．

(2)方案2—結(jié)合約束法與評價(jià)函數(shù)法

基于評價(jià)函數(shù)法中的線性加權(quán)法，如公式8所示，定義組合柔度指數(shù)(Combined Compliance index，CCI)為評價(jià)函數(shù)，在拓?fù)鋬?yōu)化過程中綜合考慮多個(gè)頻率和靜態(tài)子工況(載荷步、載荷工況)的組合．該指數(shù)定義為

式中，Ci是結(jié)構(gòu)的柔度，W1i是各工況柔度的加權(quán)值，λj是頻率特征值，W2j是各特征值的加權(quán)值．它是一個(gè)定義在整個(gè)結(jié)構(gòu)上的全局響應(yīng)．標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)(NORM)用來對柔度和特征值對指數(shù)的貢獻(xiàn)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化．因?yàn)榈湫偷慕Y(jié)構(gòu)柔度的數(shù)量級在1e4～1e6，而典型的特征值倒數(shù)的數(shù)量級在1e－5左右，如果不使用標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)，則線性靜態(tài)柔度將決定優(yōu)化結(jié)果．NORM的數(shù)值通?？捎靡韵鹿接?jì)算:

式中，Cmax是第一個(gè)迭代步中所有子工況(載荷步、載荷工況)中最大的柔度值;λmin是第一個(gè)迭代步中計(jì)算得到的最小的特征值．

圖4 方案1優(yōu)化結(jié)果Fig．4 Optimization design results of scheme 1

給定設(shè)計(jì)區(qū)域的體積分?jǐn)?shù)約束為0．3～0．8，結(jié)合實(shí)心結(jié)構(gòu)的頻率值為下限，頻率最大值為上限設(shè)定頻率約束條件，求解結(jié)構(gòu)組合柔度指數(shù)最小化的優(yōu)化問題．計(jì)算迭代33步后收斂，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)質(zhì)量為0．94kg，可設(shè)計(jì)區(qū)域的質(zhì)量減少了50%．優(yōu)化后結(jié)構(gòu)一階振動頻率的提高比方案1明顯(表2)．結(jié)構(gòu)最小組合柔度指數(shù)由優(yōu)化前的2．65e3下降到2．44e3(表2)．優(yōu)化后升力面的靜態(tài)變形如圖5(a)所示，參考點(diǎn)4的位移較方案1略有增加(表1)．設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)材料分布情況如圖5(b)所示，圖中白色圓圈所標(biāo)記的區(qū)域材料分布較為分散．

圖5 方案2優(yōu)化結(jié)果Fig．5 Optimization design results of scheme 2

4 結(jié)論

對比兩種方案，優(yōu)化結(jié)果所展示的材料分布情況具有一定的相似性，如近似水平方向的材料分布情況，以及從舵叉部位向結(jié)構(gòu)上邊緣方向的材料分布情況．方案一優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的材料分布情況比較集中，方案二優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的一階振動頻率提高明顯．相比方案一中的參考點(diǎn)位移約束，方案二的約束條件(振動頻率、體積分?jǐn)?shù))與目標(biāo)函數(shù)(組合柔度指數(shù))均為整個(gè)結(jié)構(gòu)的全局響應(yīng)，易造成局部分散的材料分布情況，如圖5中白色圓圈所標(biāo)記的區(qū)域，這也是引起考察點(diǎn)4位移偏大的原因．兩種方案的優(yōu)化結(jié)果對結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)均具有一定的指導(dǎo)意義，結(jié)合兩種優(yōu)化結(jié)果，設(shè)計(jì)升力面的蒙皮骨架結(jié)構(gòu)形式，相比于升力面實(shí)心結(jié)構(gòu)，不僅有效地減輕了重量，而且提高了一、二階振動頻率．本文采用合理的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化方案實(shí)現(xiàn)了飛行器升力面結(jié)構(gòu)的動力學(xué)多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，很大程度上縮短了研制周期，降低了生產(chǎn)成本，提高了產(chǎn)品性能．

1 牛小鐵，董立立．機(jī)械結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研究現(xiàn)狀及其發(fā)展趨勢．煤礦機(jī)械，2012，33(9):5～7(Niu X T，Dong L L．Status of mechanical structural topology optimization design and development．Coal Mine Machinery，2012，33(9):5 ～7(in Chiniese))

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7 張愛林，楊海軍，姚力．基于應(yīng)變能的預(yù)應(yīng)力平面實(shí)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)．工程力學(xué)，2008，25(10):110～116(Zhang A L，Yang H J，Yao L．Topology optimization design of prestressed plane entity structures based on strain energy．Engineering Mechanics，2008，25(10):110 ～ 1 16(in Chiniese))

8 袁振，吳長春．采用非協(xié)調(diào)元的連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)．力學(xué)學(xué)報(bào)，2003，35(2):176 ～180(Yuan Z，Wu C C．Topology optimization of continuum structures using incompatible finite elements．Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2003，35(2):176 ～180(in Chiniese))

9 孫曉輝，丁曉紅．結(jié)構(gòu)多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)．機(jī)械設(shè)計(jì)與研究，2012，28(4):1～9(Sun X H，Ding X H．Research on multi－objective topology optimization design methods for structure．Machine Design＆Research，2012，28(4):1～9(in Chiniese))

10 黃?？疲瑢O軍，王虎等．發(fā)動機(jī)曲軸軸承的多目標(biāo)綜合優(yōu)化．汽車工程，2012，34(9):842 ～846(Huang B K，Sun J，Wang H，et al．Multi－objective integrated optimization of engine crankshaft bearings．Automotive Engineering，2012，34(9):842 ～846(in Chiniese))

11 張橋，張衛(wèi)紅，朱繼宏．動力響應(yīng)約束下的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)．機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2010，46(15):45～51(Zhang Q，Zhang W H，Zhu J H．Topology optimization of structures under dynamic response constraints．Journal of Mechanical Engineering，2010，46(15):45 ～ 51(in Chiniese))

12 Zhu J H，Zhang W H，Qiu K P．Bi－directional evolutionary topology optimization using element replaceable method．Computational Mechanics，2007，40(1):97 ～109

13 Belblidia F，Bulman S．Constrained adaptive topology optimization for vibrating shell structures．Struct Multidisc Optim，2001，22(1):167～176

*The project supported by Sponsored by Shanghai Rising－Star Program(14QB1402400)

? Corresponding author E－mail:miaoxiaoting1983@126．com

MULTI-OBJECTIVE TOPOLOGY OPTIMIZATION DESIGN METHOD BASED ON PENALIZED DENSITY THEORY FOR AIRCRAFT LIFTING-SURFACE*

Miao Xiaoting?Xu Quan Liu Guang Zhang Fenggang
(Shanghai Electro-Mechanical Engineering Institute，Shanghai201109，China)

Taking account of the structural stiffness and the low order vibration frequencies，two schemes of multi－objective topology optimization were proposed to obtain the best aircraft lifting－surface structural design．Based on penalized density theory，the scheme one(named as constrain method)is to convert the multi－objective optimization to single－objective optimization by considering the minimum structural mass as the objective with constraints of reference points displacements and the low order vibration frequencies．The scheme two(named as the combination of constrain method and criterion function method)settles the multi－objective optimization by defining combined compliance index(CCI)as the objective，with the constraints of volume fraction and the low order vibration frequencies．The CCI is the function of structural compliance and low order vibration frequencies．Numerical results demonstrate the proposed schemes not only realize reducing the structural mass but also raise the first and second order frequencies．

multi－objective， topology optimization， constrain method， criterion function method

16 May 2014，

21 June 2014．

10．6052/1672－6553－2014－056

2014－05－16 收到第 1 稿，2014－06－21 收到修改稿．

*上海市青年科技啟明星項(xiàng)目資助(14QB1402400)

E－mail:miaoxiaoting1983@126．com