破解另一網(wǎng)上懸賞征解題

《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》（初中）2014年第2期刊登了扈保洪老師的一篇“一類(lèi)‘線段比問(wèn)題的解法”（文[1]），并介紹其中的例3為一道網(wǎng)上“懸賞”征解題.筆者又查閱了其原文——破解網(wǎng)上“懸賞”題有感（文[2]）.其實(shí)，筆者最近在網(wǎng)上也發(fā)現(xiàn)另一道比前者難度更高的懸賞征解題，其難度已達(dá)到全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題水平，出題者是一位資深數(shù)學(xué)人士，要求條件十分苛刻，并聲稱(chēng)“此題掛網(wǎng)上多年，至今無(wú)人解出”.筆者刻苦鉆研，終將其破解，供讀者參考.著名的蝴蝶定理，最初就是一道征解題，而后揚(yáng)名數(shù)壇.

懸賞題如圖，圓O外一點(diǎn)A，AB、AC為兩切線，P點(diǎn)在兩切點(diǎn)C、B連線的延長(zhǎng)線上，PD為切線，切點(diǎn)D在BC劣弧上，連AD交圓于E.求證：PE為圓O的切線（可以連線、延線，不得另作輔助線）.

證明連接的輔助線如圖所示，AB、AC為圓O兩切線.因?yàn)锳B=AC（切線長(zhǎng)定理），OB=OC，所以∠ABO=90°，AO為BC的垂直平分線，故BN⊥AO，即∠BNO=∠PNO=90°.

由切割線定理和直角三角形射影定理得，

筆者同時(shí)又用高中方法證出此題，但其較為繁瑣復(fù)雜，牽涉到復(fù)雜的三角變換，且計(jì)算量較大；相比之下，本文淺顯易懂，流暢自然，望讀者能認(rèn)真領(lǐng)悟.

參考文獻(xiàn)

[1]扈保洪.一類(lèi)“線段比”問(wèn)題的解法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中），2014（2）：37.

[2]金紹鑫.破解網(wǎng)上“懸賞”題有感[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2011（3）：28-29.

作者簡(jiǎn)介丁位卿，男，河南長(zhǎng)葛人，發(fā)表論文數(shù)篇.endprint

《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》（初中）2014年第2期刊登了扈保洪老師的一篇“一類(lèi)‘線段比問(wèn)題的解法”（文[1]），并介紹其中的例3為一道網(wǎng)上“懸賞”征解題.筆者又查閱了其原文——破解網(wǎng)上“懸賞”題有感（文[2]）.其實(shí)，筆者最近在網(wǎng)上也發(fā)現(xiàn)另一道比前者難度更高的懸賞征解題，其難度已達(dá)到全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題水平，出題者是一位資深數(shù)學(xué)人士，要求條件十分苛刻，并聲稱(chēng)“此題掛網(wǎng)上多年，至今無(wú)人解出”.筆者刻苦鉆研，終將其破解，供讀者參考.著名的蝴蝶定理，最初就是一道征解題，而后揚(yáng)名數(shù)壇.

懸賞題如圖，圓O外一點(diǎn)A，AB、AC為兩切線，P點(diǎn)在兩切點(diǎn)C、B連線的延長(zhǎng)線上，PD為切線，切點(diǎn)D在BC劣弧上，連AD交圓于E.求證：PE為圓O的切線（可以連線、延線，不得另作輔助線）.

證明連接的輔助線如圖所示，AB、AC為圓O兩切線.因?yàn)锳B=AC（切線長(zhǎng)定理），OB=OC，所以∠ABO=90°，AO為BC的垂直平分線，故BN⊥AO，即∠BNO=∠PNO=90°.

由切割線定理和直角三角形射影定理得，

筆者同時(shí)又用高中方法證出此題，但其較為繁瑣復(fù)雜，牽涉到復(fù)雜的三角變換，且計(jì)算量較大；相比之下，本文淺顯易懂，流暢自然，望讀者能認(rèn)真領(lǐng)悟.

參考文獻(xiàn)

[1]扈保洪.一類(lèi)“線段比”問(wèn)題的解法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中），2014（2）：37.

[2]金紹鑫.破解網(wǎng)上“懸賞”題有感[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2011（3）：28-29.

作者簡(jiǎn)介丁位卿，男，河南長(zhǎng)葛人，發(fā)表論文數(shù)篇.endprint

《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》（初中）2014年第2期刊登了扈保洪老師的一篇“一類(lèi)‘線段比問(wèn)題的解法”（文[1]），并介紹其中的例3為一道網(wǎng)上“懸賞”征解題.筆者又查閱了其原文——破解網(wǎng)上“懸賞”題有感（文[2]）.其實(shí)，筆者最近在網(wǎng)上也發(fā)現(xiàn)另一道比前者難度更高的懸賞征解題，其難度已達(dá)到全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題水平，出題者是一位資深數(shù)學(xué)人士，要求條件十分苛刻，并聲稱(chēng)“此題掛網(wǎng)上多年，至今無(wú)人解出”.筆者刻苦鉆研，終將其破解，供讀者參考.著名的蝴蝶定理，最初就是一道征解題，而后揚(yáng)名數(shù)壇.

懸賞題如圖，圓O外一點(diǎn)A，AB、AC為兩切線，P點(diǎn)在兩切點(diǎn)C、B連線的延長(zhǎng)線上，PD為切線，切點(diǎn)D在BC劣弧上，連AD交圓于E.求證：PE為圓O的切線（可以連線、延線，不得另作輔助線）.

證明連接的輔助線如圖所示，AB、AC為圓O兩切線.因?yàn)锳B=AC（切線長(zhǎng)定理），OB=OC，所以∠ABO=90°，AO為BC的垂直平分線，故BN⊥AO，即∠BNO=∠PNO=90°.

由切割線定理和直角三角形射影定理得，

筆者同時(shí)又用高中方法證出此題，但其較為繁瑣復(fù)雜，牽涉到復(fù)雜的三角變換，且計(jì)算量較大；相比之下，本文淺顯易懂，流暢自然，望讀者能認(rèn)真領(lǐng)悟.

參考文獻(xiàn)

[1]扈保洪.一類(lèi)“線段比”問(wèn)題的解法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中），2014（2）：37.

[2]金紹鑫.破解網(wǎng)上“懸賞”題有感[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2011（3）：28-29.

作者簡(jiǎn)介丁位卿，男，河南長(zhǎng)葛人，發(fā)表論文數(shù)篇.endprint