三維Hom－Leibniz超代數(shù)的分類

馬鳳敏，張永平，董 蕾，張慶成

（1.河北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學院基礎部，河北 石家莊 050000；2.沈陽化工學院數(shù)學系，遼寧 沈陽 110142；3.東北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，吉林 長春 130024）

Leibniz代數(shù)最早是由A.Bloch在文獻［1］中涉及的，當時稱為D－代數(shù)，直到20世紀90年代，J.L.Loday在研究不滿足交錯性的廣義李代數(shù)時，正式提出這個概念［2］.對于非李代數(shù)的Leibniz代數(shù)的研究，一直是許多學者的努力方向，在非李代數(shù)的Leibniz代數(shù)分類問題上，已經(jīng)完成了對二維、三維以及四維冪零的分類［3］，在Leibniz代數(shù)其他方面的研究主要集中在關(guān)于同調(diào)問題等抽象理論上［4］.

代數(shù)形變理論最早由 M.Gerstenhaber提出［5］，Hom－代數(shù)是代數(shù)形變理論中的一類，文獻［6－9］引入了Hom－代數(shù)的概念，并進行了系統(tǒng)的研究.對Hom－代數(shù)的分類，也是研究的一個重要內(nèi)容，本文在對三維非李代數(shù)的Leibniz超代數(shù)的分類基礎上［10］，研究三維非李超代數(shù)的Hom－Leibniz超代數(shù)的分類.通過偶自同態(tài)定義，運用待定系數(shù)法，得到系數(shù)的矩陣乘法表.

1 Hom－Leibniz超代數(shù)

定義1.1［1］設L是一個向量超空間：［·，·］是L×L→L的一個雙線性映射，α是L→L的一個超空間偶自同態(tài)映射，滿足：

則稱（L，［·，·］，α）是一個 Hom－Leibniz超代數(shù).

定理1.1 若（L，［·，·］）是一個Leibniz超代數(shù)，α：L→L是一個偶的Leibniz超代數(shù)的同態(tài)映射，則（L，［·，·］α，α）構(gòu)成一個 Hom－Leibniz超代數(shù)，其中［·，·］α＝［α（x），α（y）］.

證明 顯然α關(guān)于括積［·，·］α構(gòu)成超代數(shù)間的同態(tài)映射，我們只需證明?x，y，z∈L，滿足Hom－Leibniz超等式.

則（L，［·，·］α，α）構(gòu)成一個 Hom－Leibniz超代數(shù).

設（L，［·，·］）是一個Leibniz超代數(shù)，α是L的一個偶的自同態(tài)映射，即

設e0，e1，e2是L 的齊次基，則

利用

確定α（e0），α（e1），α（e2）的表達系數(shù)Lkl，k＝0，1，2；j＝1，2，3.從而確定偶自同態(tài)α的表示矩陣

2 Hom－Leibniz超代數(shù)的分類

利用文獻［10］中三維Leibniz超代數(shù)的分類結(jié)果，應用定理1.1知，當α是Leibniz超代數(shù)L的一個偶自同態(tài)時，（L，［·，·］α，α）構(gòu)成一個 Hom－Leibniz超代數(shù).因此，我們可以通過待定系數(shù)法，對偶自同態(tài)α進行分類，從而完成對Hom－Leibniz超代數(shù)的分類.

證明 應用文獻［10］中分類的結(jié)果.

表示成矩陣為

對應的矩陣為：

對應的矩陣為：

由方程的對稱性，可以得到L01＝L11，L02＝L12或L01＝L12，L02＝L11.

當k＝0時，

① 當L01＝L11，L02＝L12時，得＋＝0，即L01＝L11＝L02＝L12＝L23＝0.

② 當L01＝L12，L02＝L11時，L01L02＋L02L01＝0，則L01L02＝0.

當k≠0時，

當L01＝L12，L02＝L11時，

即當k＝0時，

對應的矩陣為：

當k≠0時，

對應的矩陣為：

對應的矩陣為：

對應的矩陣為：

解上述方程組，當k≠0時，

對應的矩陣為：

當k＝0時，

對應的矩陣為：

對應的矩陣為：

對應的矩陣為：

對應的矩陣為：

解上述方程組，當k＝0時，

對應的矩陣為：

當k＝1時，無解.

當k≠0，1時，

對應的矩陣為：

對應的矩陣為

（13）［e1，e2］＝e0＋e1，［e0，e2］＝ke1.

當k＝0時，L01＋L11＝L12L23，L02＋L12＝L12L23，L03＋L13＝0，L02L23＝0.

對應的矩陣為：

當k≠0時，L13＝0，L03＝0，L01＋L11＝L12L23，L02＋L12＝L12L23＋kL11L23，kL11＝L02L23，L02L23＋kL01L23＝kL12.

對應的矩陣為：

應用類似的方法可得下列結(jié)果：

［1］BLOCH A.On a generalization of Lie algebra［J］.Math IUSSR Doklady，1965，163（3）：471－473.

［2］LODAY J L.Une version non commutative des algebras de Lie：les algebra de Leibniz［J］.Enseign Math Ann，1993，296（1）：139－158.

［3］蔣啟芬.三維Leibniz代數(shù)的分類［J］.數(shù)學研究與評論，2007，27（4）：677－686.

［4］劉東.無限維Lie代數(shù)和Leibniz代數(shù)［D］.上海：華東師范大學，2004.

［5］GERSTENHABER M.On the deformation of rings and algebras［J］.Ann Math，1964，79（1）：59－103.

［6］LARSSON D，SILRESTROV S D.Quasi－Hom－Lie algebras，central extensions and 2－Cocycle－Like indentities［J］.J Algebra，2005，288（2）：321－344.

［7］MAKHLOUF A，SILVESTROV S D.Hom－algebra structure［J］.J Gen Lie Theory Appl，2008，2（2）：51－64.

［8］HARGWIT J T，LARSSON D，SILRESTROV S D.Deformation of Lie algebras usingσ－derivations［J］.J Algebra，2006，295（2）：314－361.

［9］FAOUZI AMMAR.Cohomology of Hom－Lie superalgebras and q－deformed Witt superalgebra［J／OL］.［2012－04－27］.http：／／arxiv.org／pdf／1204.6244.pdf.

［10］王衛(wèi)國.低維Leibniz超代數(shù)的分類［D］.上海：華東師范大學，2007.