UCW-hyperbolic空間中一類映射的不動點(diǎn)性質(zhì)

崔云安，趙霞霞，張敬信

(哈爾濱理工大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，哈爾濱150080)

1 預(yù)備知識

定義1.1 設(shè)C是度量空間(X，d)的一個非空子集，稱映射T:C→C是非擴(kuò)張的，是指：對所有的x,y∈C，d(Tx,Ty)≤d(x,y)成立.

定義1.2 設(shè)C是度量空間(X,d)的一個非空子集，稱映射T:C→C是平均非擴(kuò)張的，是指：對任意的a,b≥0,a+b≤1,

d(Tx,Ty)≤ad(x,y)+bd(x,Ty)

成立,其中：x,y∈C.

定義1.3 設(shè)C是度量空間(X,d)的一個非空子集，稱映射T∶C→C是漸近平均非擴(kuò)張的，是指：對所有的x,y∈C，

d(Tx,Ty)≤and(x,y)+bn(x,Ty)

在眾多的關(guān)于非擴(kuò)張映射的研究中,其中一個十分重要的結(jié)果就是1968年由Browder提出的半閉原理[1].

2 主要定理

本文考慮的Hyperbolic空間是Kohlenbac U[2]于2005年引入的. 為了區(qū)分Gromov hyperbolic空間和其他“Hyperbolic空間”見文獻(xiàn)[3-4], 我們用W-hyperbolic空間來表述.

定義2.1 設(shè)(X,d)為距離空間，凸映射W∶X×X×[0,1]→X滿足：

(W1)d(z,W(x,y,λ))≤(1-λ)d(z,x)+λd(z,y)；

(W3)W(x,y,λ)=W(y,x,1-λ)；

(W4)d(x,z,λ),W(y,w,λ))≤(1-λ)d(x,y)+λd(z,w).

則稱(X,d,W)為W-hyperbolic空間.

若(X,d,W)滿足條件(W1)則稱為凸距離空間.

若(X，d,W)滿足條件(W1)-(W3) , 則為GOEBEL K和Kirk W A意義下的hyperbolic型空間[5].

定義2.2[5]W-hyperbolic空間(X,d,W)稱為嚴(yán)格凸的，是指對任意的x,y∈X以及λ∈[0,1], 存在唯一元z∈X滿足

d(z,x)=λd(x,y)，d(z,y)=(1-λ)d(x,y).

定義2.3[6]稱W-hyperbolic空間(X,d,W)是一致凸的，是指若對任意的r>0以及ε∈(0,2]，存在θ∈(0,1]使得對任意的a,x,y∈X，

對任意給定的r>0和ε∈(0，2]，定義映射η：(0，∞)×(0，2]→(0，1]為η(r,ε):=θ，則稱該映射η為一致凸模.若η關(guān)于r遞減(對于固定的ε)，則稱η是單調(diào)的.

引理2.1[6]設(shè)(X,d,W)為一致凸W-hyperbolic空間，其一致凸模為η則對任意的r>0，ε∈(0,2]，λ∈(0,1]以及a,x,y∈X,

(1-2λ(1-λ)η(r,ε))r.

為了方便, 我們簡記一致凸W-hyperbolic空間為UCW-hyperbolic空間, UCW-hyperbolic空間是嚴(yán)格凸的.

命題2.1 (非空交性質(zhì))設(shè)(X,d,W)為完備的具有單調(diào)一致凸模的UCW-hyperbolic空間, 則X中任意遞降非空有界閉凸集列的交非空.

證明對每一個y∈C，定義集合

Ay={b∈R+:存在x∈C,k∈N滿足d(Tiy,x)≤b,?i≥k}

可知，diam(C)∈Ay，因此Ay非空. 令?y:infAy. 則對任意θ>0，存在bθ∈Ay滿足bθ

d(Tiy,x)≤bθ

(1)

顯然，?y≥0. 下面分兩種情況進(jìn)行討論：

情形1:?y=0.

令ε>0. 在式(1)中取, 則存在x∈C及k∈N，滿足對?m,n≥k，

θ=ε/2d(Tmy,Tny)≤d(Tmy,x)+d(Tny,x)

(2)

根據(jù)T的定義有:

d(Tny,Tu)≤and(Tn-1y,u)+bnd(Tn-1y,Tu)

(3)

兩邊對n取極限,可得d(u,Tu)≤bd(u,Tu).由于b<1,從而Tu=u即u是T的不動點(diǎn).

情形2:?y>0.

對每一個n≥1，定義

(4)

用反證接下來法證明對任意的x∈D，{Tnx}是一個Cauchy列. 否則，存在ε0>0及N0∈N使得

d(Tmx,Tnx)≥ε0?m,n≥N0,m≠n，

(5)

(6)

在式(4)中令θ=θ0/2，則存在K∈N滿足

(7)

對給定的，m,n≥N0,m≠n，由式(6)及T的定義，當(dāng)m0>m+k時，

=?y+θ0

(8)

其中C(m,r)表示從m中取出r個元素的組合數(shù).類似地，對m0>n+K時，

d(Tnx,Tm0y)≤?y+θ0

(9)

令k0∈N滿足k0≥max{m,n}+K，由式(5)、(8)、(9)可得

d(Tmx,Tm0y)≤?y+θ0

d(Tnx,Tm0y)≤?y+θ0

d(Tmx,Tnx)≥ε0

再由X是一致凸且η是單調(diào)的，可以得到

=?y+θ0

注意到情形1后面的證明，存在u∈C滿足Tu=u.

接下來證明UCW-hyperbolic空間中漸近平均非擴(kuò)張映射的半閉原理, 在證明之前需要定義以下符號：

證明由于{xn}是T的漸近不動點(diǎn)序列，則有

(10)

下面用歸納法證明對任意的x∈C，Φ(Tmx)≤Φ(x).

當(dāng)m=1時，根據(jù)的定義及式(10)可得：

下面證明對任意正整數(shù)m，Φ(Tmx)≤Φ(Tx).

假設(shè)當(dāng)i≤m-1時，Φ(Ti-1)≤Φ(Tx)成立，從而

(11)

下面證明{Tmω}是Cauchy列.

假設(shè){Tmω}不是Cauchy列，則存在ε0>0及N0∈N滿足

d(Tiω,Tjω)≥ε0,i,j≥N0，

(12)

(13)

由Φ的定義和式(11)對上述的θ0，存在M∈N滿足

d(Tiω,xn)≤Φ(Tiω)+θ0≤Φ(ω)+θ0，?i≥M

d(Tjω，xn)≤Φ(Tjω)+θ0≤Φ(ω)+θ0,?j≥M

由式(12)知，對上面的M, 存在i,j≥M滿足

再由X一致凸且η單調(diào)及式(13)可得

根據(jù)Φ的定義，我們有

根據(jù)T的定義有,

d(Tnω,Tω)≤and(Tn-1ω,ω)+bnd(Tn-1ω,Tω)

兩端對n取極限有

d(ω,Tω)≤bd(ω,Tω)

由b<1可得Tω=ω.

參考文獻(xiàn)：

[1] BROWDER F E. Semicontractive and semiaccretive nonlinear mappings in Banach spaces [J]. Bulletin of the American Mathematical Society, 1968, 74: 660-665.

[2] KOHLENBACH U. Some logical metaheorems with applications in functional analysis [J]. Transactions of the American Mathematical Society, 2005, 357(1): 89-128.

[3] KIRK W A. Krasnoselskii’s iteration process in hyperbolic Space [J]. Numerical Functional Analysis and Optimization, 1982, 4(4): 371-381.

[4] REICH S, SHAFRIR I. Nonexpansive Iterations in Hyperbolic Spaces [J].Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications,1990, 15(6): 537-558.

[5] TAKAHASHI W. A Convexity in Metric Space and Nonexpansive Mappings [J].Kodai Mathematical Seminar Reports, 1970, 22(2): 129-250.

[6] LEUSTEAN L. A Quadratic Rate of Asymptotic Regularity for CAT (0) Spaces [J].Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2007, 325(1): 386-399.