多階段均值-方差投資組合選擇問題研究

張笑美，劉宣會(huì)

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710048)

芝加哥大學(xué)的Markowitz教授于1952年提出的“證券組合選擇理論” (Portfolio Selection Theory)[1], 標(biāo)志著現(xiàn)代投資組合理論的誕生，在該文中Markowitz首次從風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率與風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系出發(fā), 論述了不確定性經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中最優(yōu)資產(chǎn)組合的選擇問題. 自20世紀(jì)60年代以來, 國(guó)內(nèi)外大批學(xué)者致力于投資組合理論的研究與創(chuàng)新并取得了豐碩的成果，這些研究主要集中在以下幾個(gè)方面: 一是不斷探索符合投資者心理的新的風(fēng)險(xiǎn)度量方法, 提出很多新的風(fēng)險(xiǎn)度量函數(shù)和投資組合模型由于均值方差模型; 二是放寬均值方差模型的假設(shè)條件, 考慮有摩擦情況下或增加其他約束條下的投資決策問題并研究相應(yīng)的有效算法. 三是將單周期理論推廣到多期, 形成動(dòng)態(tài)投資組合選擇理論.例如1968年, Mossin首次提出多階段投資組合問題的數(shù)學(xué)模型[2], Li D等首次利用把問題嵌入到另外一個(gè)可以通過動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解的問題的做法, 得到了比較理想的多階段安全-首要模型的解析解[3], 后來把結(jié)論推廣到了一般的多階段均值-方差模型中[4],李仲飛也對(duì)這類問題做了一些研究[5]，Wei和Ye又進(jìn)一步在隨機(jī)市場(chǎng)假設(shè)下推廣了以上模型[6].

但是以上研究都沒有考慮到影響投資決策的重大不確定因素影響，本文克服了這個(gè)問題，引入貝葉斯理論，建立一個(gè)新的多階段均值-方差最有投資組合選擇模型，并推導(dǎo)出其最優(yōu)投資策略的解析表達(dá)式.

1 模 型

令νt是投資者的財(cái)富從第一階段初到第階段初增長(zhǎng)的倍數(shù)，t=1,2,…,T+1,則

ν1=1，

(1)

(2)

投資者的目標(biāo)是求得在整個(gè)投資區(qū)間內(nèi)財(cái)富增長(zhǎng)的倍數(shù)νT+1的期望最大與方差最小之間合理的權(quán)衡下的最佳投資組合策略X(α)={x1(α),x2(α),…,xT(α)}.下面給出模型：

t=1,2,…,T,ω∈(0,∞),α∈Ωα=(α1，α2,…,αs}.

2 模型求解

2.1 引理1

各階段的投資決策：

(3)

其中qt(αj)=p(α=αj|xt)為在t時(shí)刻α=αj的后驗(yàn)概率.

2.2 對(duì)xt(α=αj)的求解

固定α后模型固定為

由于上述問題具有在動(dòng)態(tài)規(guī)劃意義下的不可分結(jié)構(gòu)，難以用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法直接求解.考慮如下輔助問題：

記A(λ,ω)的最優(yōu)解X的集合為ΠA(λ，ω),P(ω,αj)的最優(yōu)解X的集合為Πp(ω,αj).

記d(X,ω)=1+2ωE(νT+1)|X.

引理2 若X*∈Πp(ω,aj)，則X*∈ΠA(d(X*,ω),ω).證明見參考文獻(xiàn)[3].

引理3 若X*∈ΠA(λ*,ω)，則X*∈p(ω,αj)的一個(gè)必要條件是λ*=1+2ωE(νT+1)|x*.

上式對(duì)求一階偏導(dǎo)數(shù)并令其為0得

λ*=1+2ωE(νT+1(λ*,ω))=1+2ωE(νT+1)|X*

2.2.1 對(duì)輔助問題的求解

(4)

對(duì)上式大括號(hào)里函數(shù)對(duì)xT求偏導(dǎo)數(shù)并令其為0，得上式最優(yōu)解

帶入式(4)

(5)

只要令ωT+1=ω,λT+1=λ則上式對(duì)t=T也成立.所以有

將其代入式(5)得輔助問題的最優(yōu)解

t=1,2,…,T.

(6)

2.2.2 對(duì)xt(a=aj)的求解

把λ*代入式(6)得到P(ω,αj)的最優(yōu)解

再由式(1)和(2)可依次求出x1(α),x2(α),…,xT(α).

3 結(jié) 語(yǔ)

本文考慮到現(xiàn)實(shí)生活中影響多階段投資決策的不確定因素，建立一個(gè)新的多階段均值-方差最有投資組合選擇模型，構(gòu)造輔助問題，利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法最終得到最優(yōu)投資策略的表達(dá)式.考慮了一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，對(duì)不存在無風(fēng)險(xiǎn)的情形我們也可以建立相應(yīng)的模型，本模型允許賣空和借貸，但是當(dāng)不允許賣空和借貸時(shí)，是否可以求出最優(yōu)投資策略的解析表達(dá)式，這些都是一些值得深入研究的問題.

參考文獻(xiàn)：

[1] MARKOWITZ H. Portfolio Selection [J]. Journal of Finance, 1952, 7: 77-91.

[2] MOSSIN J. Optimal multi-period portfolio policies[J]. Journal of Business, 1968, 41:215-229.

[3] LI D, CHAN T. Safety-first dynamic portfolio selection[J]. Dynamics of Continuous Discrete and Impulsive Systems, 1998, 4(4):585-600.

[4] LI D, NG L. Optimal dynamic portfolio selection: multi-period mean-variance formulation [J]. Mathematical Finance, 2000, 10: 387-406.

[5] 李仲飛. 投資組合與無套利分析[D]. 北京: 中國(guó)科學(xué)院系統(tǒng)科學(xué)研究所, 2000.

[6] WEI S Z, YE Z Z. Multi-period optimization portfolio with bankruptcy control in stochastic market[J]. Applied Mathematics and Computation, 2007, 186(1): 414-425.

[7] HO Y C, LEE R. A Bayesian approach to problems in stochastic estimation and control[J]. Automatic Control, 1964, 9(4):333- 339.

[8] SARIDIS G N, DAO T K. A learning approach to the parameter adaptive self-organization control problem[J]. Automatica, 1972, 8(5):589-597.