彈性波在對稱準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)固/液聲子晶體中的傳播

肖緒洋，陳潤平，夏繼宏，席 鋒

(1.重慶文理學(xué)院 電子電氣工程學(xué)院，重慶 永川 402160; 2.重慶工商大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息工程學(xué)院，重慶 400067)

近年來，復(fù)合周期結(jié)構(gòu)對經(jīng)典波傳播特性的調(diào)控引起了人們廣泛的關(guān)注。聲子晶體(Phononic crystal, PnC)是由彈性介質(zhì)周期交替排列形成的復(fù)合材料[1-3]。彈性波在其中傳輸時(shí)，由于結(jié)構(gòu)的周期性而形成聲子帶隙[4-7](Acoustic Band Gap, ABG)，使頻率落入聲子帶隙的彈性波被禁止傳播。由于利用聲子晶體的帶隙能實(shí)現(xiàn)對彈性波的有效控制，故在聲濾波、隔離噪聲、減振，以及聲學(xué)功能器件方面有著廣泛的應(yīng)用前景。

在對周期性結(jié)構(gòu)的聲子晶體研究中，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)聲子晶體與光子晶體類似，存在聲子局域態(tài)、超晶格折疊性、負(fù)折射等現(xiàn)象[8-10]。聲波在周期結(jié)構(gòu)聲子晶體中的傳輸特性已有深入研究[11-13]，對準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體對彈性波的調(diào)控特性也有了新的認(rèn)識[14-16]?，F(xiàn)有對準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體多基于彈性波在固體介質(zhì)聲子晶體的研究。通常研究固液介質(zhì)聲子晶體是將固體薄片或固體柱體浸入液體或空氣中[17-18]。理想情況下，不考慮液體的黏滯效應(yīng)時(shí)，只能傳遞彈性縱波。而某些介質(zhì)常態(tài)時(shí)為固體，也只能傳遞彈性縱波[19]，如聚乙烯，石英等，從這一角度考慮，也可當(dāng)成“液”體介質(zhì)對待。由固體介質(zhì)和這類“液”體介質(zhì)構(gòu)成的聲子晶體能脫離液體介質(zhì)環(huán)境而獨(dú)立存在，為其實(shí)際利用提供了方便。準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)是介于周期結(jié)構(gòu)和無序結(jié)構(gòu)之間的一種結(jié)構(gòu)，相比于周期結(jié)構(gòu)存在局域失諧。這種局域失諧結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的聲子局域化現(xiàn)象與周期結(jié)構(gòu)中由引入缺陷體產(chǎn)生的局域失諧有何區(qū)別,本文針對固“液”介質(zhì)的Fibonacci序列的對稱準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體，研究彈性波在這種無序結(jié)構(gòu)中的帶隙特征和局域化現(xiàn)象以及入射角對聲子晶體帶隙的影響。

1 對稱準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體

一維Fibonacci序列準(zhǔn)周期固液介質(zhì)聲子晶體由固體介質(zhì)A和液體介質(zhì)B構(gòu)成。Fibonacci序列由迭代關(guān)系生成，設(shè)Fj={Fj-1,Fj-2} 當(dāng)j≥2時(shí)，其中F0={A} 和F1={AB}。對稱準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)表示為Sj=FjF’j，其中F’j為與Fj對應(yīng)的對稱結(jié)構(gòu)。當(dāng)j=5時(shí)的對稱準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體如圖1所示，A為固體介質(zhì)，B為液體介質(zhì)，其厚度分別為da，db。

圖1 對稱準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體

在不考慮液體介質(zhì)的橫向粘滯效應(yīng)情況下，液體介質(zhì)中不能傳輸橫波，只能傳輸縱波。在相鄰固液介質(zhì)的界面上，根據(jù)位移和應(yīng)力在界面的連續(xù)條件，得到在相鄰界面上前行波和后行波的振幅關(guān)系為：

(1)

(2)

式中;

和

(3)

式中:θ為聲波在端面的入射角，θjT和θjL分別為橫波和縱波在固體介質(zhì)面上的入射角，θj+1為聲波在液體界面上的入射角，均由Snell定律確定；λ和μ分別為固體介質(zhì)的拉梅常數(shù)，下標(biāo)L表示縱波，T表示橫波。

波通過厚度為dj的介質(zhì)后，僅有相位發(fā)生變化，相應(yīng)的傳輸矩陣為：

(4)

在一個(gè)周期內(nèi)的傳輸矩陣可寫為：

(5)

進(jìn)而可得到整個(gè)對稱準(zhǔn)周期聲子晶體的傳輸矩陣，并可進(jìn)一步求得透射率和反射率。

2 數(shù)值結(jié)果和討論

固體介質(zhì)A和液體介質(zhì)B分別為鋁和聚乙烯，相應(yīng)的物理參數(shù)為：ρa(bǔ)=2 700 kg/m3,cLa=6 350 m/s，cTa=3 080 m/s，ρb=920 kg/ m3,cb=2 000 m/s，介質(zhì)厚度da=cLa/4f0,db=cb/4f0，f0(=10 kHz)為入射彈性波的中心頻率。環(huán)境介質(zhì)為水，ρ0=1 000 kg/ m3,c0=1 480 m/s。利用傳輸矩陣法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并分析彈性波在不同準(zhǔn)周期序列的對稱結(jié)構(gòu)聲子晶體中的傳輸特性。

2.1 彈性波正入射

中心頻率為f0彈性縱波正入射，序列分別為S4、S5、S6和S7的準(zhǔn)周期對稱結(jié)構(gòu)聲子晶體的透射特性如圖2(a)、(b)、(c)和(d)所示。從圖中看出，在中心頻率f0處出現(xiàn)了局域諧振模，頻率半高寬僅為幾Hz；其帶隙比由A和B構(gòu)成的周期聲子晶體帶隙要寬[19]，且隨著序列的增加，帶隙略有展寬。實(shí)際上，在透射譜中，中心頻率奇數(shù)倍處都將出現(xiàn)諧振模，這與周期結(jié)構(gòu)中心缺陷的情況相同[21]。為了方便，我們僅討論一級聲子帶隙。從圖2(a)、(b)和(c)的插入圖發(fā)現(xiàn)，除了中心頻率處的局域諧振，還在中心頻率兩側(cè)對稱的出現(xiàn)兩條次級局域諧振模，其頻率半高寬較中心局域諧振模頻率半高寬窄。序列越大，局域諧振越強(qiáng)，因而品質(zhì)因子(中心頻率/頻率半高寬)越高。

由于低序列的準(zhǔn)周期聲子晶體，主要表現(xiàn)出結(jié)構(gòu)的非周期性，相當(dāng)于在周期結(jié)構(gòu)中加入多個(gè)缺陷層。因此，彈性波從準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體透射后將產(chǎn)生局域諧振模。當(dāng)準(zhǔn)周期序列增大時(shí)，準(zhǔn)周期聲子晶體的無序性降低，而有序性增強(qiáng)，將主要表現(xiàn)出周期結(jié)構(gòu)的特性。在所討論的對稱準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體中，在對稱面兩側(cè)(對稱中心處)，奇數(shù)序列為介質(zhì)B，偶數(shù)序列為介質(zhì)A。由此可以把這兩層介質(zhì)看做缺陷體，又因?yàn)樘幱诮Y(jié)構(gòu)中心處，因而在透射譜的帶隙中心應(yīng)出現(xiàn)局域諧振模，這與局域理論完全相符。

圖2(d)所示為彈性波在S7序列中的透射譜。在該透射譜中，只在中心頻率處出現(xiàn)一條局域諧振模，但其頂部不再平坦，變?yōu)殇忼X狀。由于結(jié)構(gòu)層數(shù)增多使局域諧振增強(qiáng)，同時(shí)對局域聲子的選頻作用也增強(qiáng)，使次級局域諧振模向中心頻率靠近而合并，次級局域諧振模消失。

在圖2(b)、(c)和(d)中，在0.3f0和1.7f0附近出現(xiàn)帶邊諧振，且隨著序列的增加，帶邊的諧振增強(qiáng)。而圖2(a)中，由于S4序列(ABAABABAABABAABA)相當(dāng)于在周期結(jié)構(gòu)中引入三個(gè)缺陷層，其透射譜中出現(xiàn)三個(gè)局域諧振模，帶邊沒有局域諧振。另外，從圖中對比還發(fā)現(xiàn)，序列越高，中心諧振模的帶邊越陡。這是因?yàn)樾蛄性黾訒r(shí)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的層數(shù)增加更快，諧振越強(qiáng)，從而使聲子局域頻率的帶寬變窄。

圖2 正入射時(shí)不同對稱序列準(zhǔn)周期聲子晶體的透射譜

圖3 不同介質(zhì)時(shí)S6序列的透射譜

彈性波在由不同介質(zhì)構(gòu)成的S6序列中的透射如圖3所示。圖3(a)和(b)為液體介質(zhì)B為黏合劑(ρb=1 738 kg/ m3,cb=2 240 m/s)，固體介質(zhì)A為鋁時(shí)的彈性波透射譜。與圖2(c)相比，聲子帶隙變窄，帶邊局域諧振減弱。圖3(c)為液體介質(zhì)B為聚乙烯，固體介質(zhì)A為鋼(ρa(bǔ)=7 800 kg/m3,cLa=5 850 m/s，cTa=3 230 m/s)時(shí)彈性波的透射譜。其帶隙增寬，帶邊局域諧振更強(qiáng)。透射譜變化的主要原因在于介質(zhì)的波阻抗(Z=ρcL)不同。鋁和聚乙烯的波阻抗比為ZA/ZB=9.32，鋁和黏合劑的波阻抗之比為ZA/ZB=4.40，鋼和聚乙烯的波阻抗之比為ZA/ZB=24.80。固液介質(zhì)的波阻抗越大，帶隙越寬，局域諧振場強(qiáng)。當(dāng)固體介質(zhì)為鋼時(shí)，由于介質(zhì)的波阻抗相差太大，只有中心處的局域諧振能透射，抑制了次級諧振。

2.2 彈性波斜入射

為清晰認(rèn)識彈性縱波在該對稱準(zhǔn)周期固液介質(zhì)聲子晶體中的傳輸特性，需要研究彈性縱波斜入射時(shí)縱波的透射譜。由Snell定律，固液介質(zhì)界面上的臨界角為θc=arcsin(cb/cLa)=18.4°。在固液界面上彈性波的入射角大于時(shí)由于發(fā)生全反射而不能在結(jié)構(gòu)中傳輸。當(dāng)彈性縱波以5°斜入射S4、S5、S6和S7的對稱準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體時(shí)，相應(yīng)的透射譜如圖4(a)、(b)、(c)和(d)所示。從圖中看出，斜入射時(shí)，一級帶隙略微展寬，并向高頻區(qū)移動，這一特點(diǎn)與周期結(jié)構(gòu)聲子晶體相同[16]。同時(shí)在頻率2.00f0～2.10f0內(nèi)出現(xiàn)次級帶隙。

另外，一級帶隙的帶間諧振和帶邊諧振以及級次帶隙的帶間諧振隨著序列的增加顯著增強(qiáng)。從圖中看出，固液聲子晶體對彈性波入射角很敏感，彈性波以較小的角度入射，就能使聲子帶隙發(fā)生很大的變化。彈性波斜入射時(shí)，透射譜發(fā)生頻移，使原來在中心頻率處的局域諧振模也向高頻區(qū)移動，出現(xiàn)在1.07f0附近。當(dāng)彈性波以15°斜入射S7序列的透射如圖4(e)所示。此時(shí)只有低頻彈性波透射，其頻率上限約為0.54f0，頻率大于此值的彈性波在端面被全反射。從插入圖中還可以算出，在0.26f0～0.31f0間出現(xiàn)一個(gè)低頻帶隙。次級帶隙產(chǎn)生的原因在于，入射的彈性縱波在固體介質(zhì)中將有一部分轉(zhuǎn)換為橫波，而這一部分橫波是不能在液體介質(zhì)中傳播的。

圖4 斜入射時(shí)不同對稱序列準(zhǔn)周期聲子晶體的透射

3 結(jié) 論

本文基于Fibonacci準(zhǔn)周期序列，提出了一維固液介質(zhì)聲子晶體的對稱準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)。利用傳輸矩陣法，研究了彈性縱波在其中的透射特性。數(shù)值研究的結(jié)果表明，彈性波正入射時(shí)，該對稱準(zhǔn)周期固液聲子晶體的帶隙中，由于結(jié)構(gòu)的失諧，在中心頻率附近出現(xiàn)局域諧振模，其頻率帶寬僅為幾Hz，因此，利用該準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體獲得的局域諧振模，比通過引入缺陷結(jié)構(gòu)得到的諧振模有更高的品質(zhì)因子。根據(jù)這一特點(diǎn)，利用不同的對稱準(zhǔn)周期序列，可實(shí)現(xiàn)超窄帶的多通道濾波。當(dāng)彈性波以較小的角度斜入射時(shí)，聲子帶隙以及帶隙中的局域諧振模都略微向高頻方向移動，同時(shí)出現(xiàn)次級聲子帶隙。

利用彈性波在對稱準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體中的局域失諧，得到品質(zhì)因子很高的局域諧振模，以實(shí)現(xiàn)超窄帶聲子濾波，這對設(shè)計(jì)和制備聲波器件具有重要意義。

[1]Kushwaha M S. Acoustic band structure of periodic elastic composites[J]. Phys. Rev. Lett. 1993, 71(13):2022-2025.

[2]Jesen J S, Phononic band gaps and vibrations in one-and two-dimensional mass-spring structures[J]. Journal of Sound and Vibration, 2003, 266(5)：1053-1078.

[3]Wang Gang, Yu Dian-long, Wen Ji-hong. One-dimensional phononic crystals with locally resonant structures[J]. Physics Letters A, 2004, 327(5-6)：512-521.

[4]Sigalas M M, Soukoulis C M. Elastic-wave propagation through disordered and/ or absorptice layered systems[J]. Phys. Rev. B, 1995,51(5): 2780-2789.

[5]Liu Z Y, Zhang X X, Mao Y W, et al. Locally resonant sonic materials[J]. Science, 2000, 289: 1734-1736.

[6]Wang G, Wen X S, Wen J H, et al. Two-dimensional locally resonant phononic crystals with binary structure[J]. Phys. Rev. Lett. 2004, 93(15):154302.

[7]舒海生,劉少剛,王威遠(yuǎn),等.集中質(zhì)量邊界條件下聲子晶體桿的縱向振動傳遞特性研究[J]. 振動與沖擊,2012,31(19):113-117.

SHU Hai-sheng, LIU Shao-gang,WANG Wei-yuan, et al. Transmission characteristic of longitudinal vibration of a phononic crystal rod with concentrated mass boundary condition[J]. Journal of Vibration and Shock,2012,31(19):113-117.

[8]溫激鴻，王剛，劉耀宗，等，基于集中質(zhì)量法的一維聲子晶體彈性波帶隙計(jì)算[J].物理學(xué)報(bào)，2004，53(10)，3384-3388.

WEN Ji-hong, WANG gang, LIU Yao-zhong, et al. Lumped-mass method on calculation of elastic band gaps of one-dimensional phononic crystals[J], Acta Physica Sinica, 2004，53(10)，3384-3388.

[9]吳福根，劉有延，二維周期性復(fù)合介質(zhì)中聲波帶隙結(jié)構(gòu)及其缺陷態(tài)[J], 物理學(xué)報(bào)，2002，51(7)，1434-1438.

WU Fu-gen, LIU You-yan. Acoustic band gaps and defect states in two-dimensional composite materials[J]. Acta Physica Sinica, 2002, 51(7):1434-1438.

[10]Peng Pai, Qiu Chun-yin, Ding Yi-qun, et al, Acoustic tunneling through artificial structures: From phononic crystals to acoustic metamaterials[J].Solid State Communications, 2011, 151(5): 400-403.

[11]Hou Zhilin, Badreddine M A, Transmission property of the one-dimensional phononic crystal thin plate by the eigenmode matching theory[J]. Journal of Phys. D: Appl. Phys. 2008, 41(9): 095103.

[12]Khelif A, Djafari-Rouhani B, Vasseur J O, et al, Transmission and dispersion relations of perfect and defect-containing waveguide structures in phononic band gap materials[J]. Phys. Rev. B, 2003,68(2):024302.

[13]宿星亮, 高原文. 含有功能梯度材料的一維聲子晶體彈性波帶隙研究[J]. 固體力學(xué)學(xué)報(bào)，2012，33(1):75-80.

SU Xing-liang, GAO Yuan-wen. Research on band gap of one-dimensional phononic crystals with functionally graded materials[J]. Chinese Journal of solid mechanics, 2012, 33(1): 75-79.

[14]曹永軍, 董純紅, 周培勤.一維準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體透射性質(zhì)的研究[J]. 物理學(xué)報(bào)，2006，55(12):6470-6475.

CAO Yong-jun, DONG Chun-hong, ZHOU Pei-qin. Transmission properties of one-dimensional qusi-periodical phononic crystal[J]. Acta Physica Sinica, 2006, 55(12): 6470-6474.

[15]楊立峰, 王亞非, 周鷹. 一維壓電Fibonacci類準(zhǔn)周期聲子晶體的傳輸特性[J]. 物理學(xué)報(bào)，2012，61(10):107702-6.

YANG Li-feng, WANG Ya-fei, ZHOU Ying. The transmission properties in one-dimensional piezoelectric Fibonacci-class quasi-periodical phononic crystals[J]. Acta Physica Sinica, 2012, 61(10):107702-6.

[16]Wang Gang, Wen Ji-hong, Wen Xi-sen, Quasi-one-dimensional phononic crystals studied using the improved lumped-mass method: Application to locally resonant beams with flexural wave band gap[J]. Phys. Rev. B, 2005, 71(10)：104302-5.

[17]劉啟能. 固流結(jié)構(gòu)聲子晶體中彈性波能帶的色散研究[J]. 人工晶體學(xué)報(bào)，2009，38(1):107-112.

LIU Qi-neng. Dispersive study on the photonic bandgap of solid and fluid phononic crystal[J]. Journal of Synthetic Crystals, 2009, 38(1):107-112.

[18]Romero-Garcia V, Sanchez-Perez J V, Castineira-lbanez S, et al, Evidences of evanescent Bloch waves in phononic crystals[J]. Appl. Phys. Lett. 96(12), 2010, 124102.

[19]Rose J L. 固體中的超聲波[M]. 何存富, 吳斌, 王秀彥譯. 北京: 科學(xué)出版社, 2004.

[20]劉啟能. 一維聲子晶體的傳輸特性[J]. 人工晶體學(xué)報(bào)，2008，37(1):179-182.

LIU Qi-neng, Transfer characteristic of one-dimensional phononic crystal[J]. Journal of Synthetic Crystals, 2008, 37(1):179-182.

[21]朱 敏，方云團(tuán)，沈廷根. 一維聲子晶體的缺陷態(tài)的研究[J]. 人工晶體學(xué)報(bào)，2005，34(3):536-541.

ZHU Min, FANG Yun-tuang, SHEN Ting-gen, Study on one-dimensional phononic crystal with defects[J]. Journal of Synthetic Crystals, 2005, 34(3):536-541.