線性平移在捕食者—食餌數(shù)學(xué)模型穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用*

華極鑫,馮維龍,王 娜,姜玉秋

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 四平 136000)

考察共同生活在一確定的理想環(huán)境內(nèi)的捕食種群和食餌種群，假定沒有遷出和遷入發(fā)生，由于生育、死亡和種群的相互作用，兩種群的數(shù)量將隨著時(shí)間變化.由于部分捕食者以一種食餌為食，食餌通常會(huì)被殺死[1](捕食者食動(dòng)物)或者造成很大的損害[1](捕食者食植物).為了預(yù)測(cè)捕食種群和食餌種群數(shù)量的變化規(guī)律，20世紀(jì)20年代Volterra提出了比較完備的捕食者-食餌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型[2]，一般形式為：

(S)

那么為了更好的討論捕食者和食餌相互間關(guān)系，建立如下模型：

(M)

其中r1>0，r2>0，b>0，d>0,a>0,c=kb>0.

x(t)和y(t)分別表示t時(shí)刻食餌與捕食者的數(shù)量或密度；r1為食餌種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率，-r2表示不存在食餌時(shí)捕食者的死亡率；-ax2和-dy2分別為食餌和捕食者的種群密度對(duì)種群規(guī)模增長(zhǎng)的抑制項(xiàng)(密度制約項(xiàng))；c=kb表示當(dāng)存在食餌種群時(shí)，捕食者對(duì)被捕食食餌的轉(zhuǎn)化率(k為轉(zhuǎn)化系數(shù))；-bxy為t時(shí)刻有y個(gè)捕食者吃掉食餌的總數(shù)量.

本文將對(duì)模型(M)運(yùn)用數(shù)學(xué)理論和方法對(duì)其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行全面分析.

1 預(yù)備知識(shí)

為了方便討論，對(duì)于捕食者-食餌系統(tǒng)模型(M)給出相關(guān)定理及符號(hào).

定理1[3]對(duì)于非線性系統(tǒng)

定理2 (1)q>0，p>0，Δ>0(兩特征根為不同實(shí)根且同號(hào))，則平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定；q<0，則平衡點(diǎn)不穩(wěn)定；(2)q>0，p>0，Δ=0(特征根為重根)，則奇點(diǎn)漸近穩(wěn)定；p<0，則平衡點(diǎn)不穩(wěn)定;(3)q>0，p>0，Δ<0(兩共軛復(fù)特征根)，則奇點(diǎn)漸近穩(wěn)定；p<0，則平衡點(diǎn)不穩(wěn)定；p=0，平衡點(diǎn)穩(wěn)定，但非漸近穩(wěn)定.

定理2對(duì)于平衡點(diǎn)(0,0)的穩(wěn)定性分析很容易，那么對(duì)于平衡點(diǎn)不是(0,0)時(shí)，我們就得利用平移變換不改變平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性態(tài)的性質(zhì)，對(duì)此平衡點(diǎn)作平移變換[4].

2 系統(tǒng)分析

2.1 系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的分析

對(duì)于系統(tǒng)

考慮捕食者和食餌的實(shí)際生物學(xué)的涵義，我們?cè)贒={(x,y)|x≥0,y≥0}中討論.

其相應(yīng)的自治系統(tǒng)

(1)對(duì)p1(0,0)，根據(jù)定理1.1，可知其線性近似系統(tǒng)為

λ2+(r2-r1)λ-r1r2=0,

其中p=-(r1-r2)，q=-r1r2<0,p0(0,0)為鞍點(diǎn)，故p1不穩(wěn)定.

代入系統(tǒng)(M)中，有

其特征方程為

代入系統(tǒng)(M)中，有

整理后得其線性近似系統(tǒng)為

其特征方程為

其中

利用根與系數(shù)的關(guān)系，得

時(shí)，p3漸近穩(wěn)定.

2.2 MATLAB數(shù)值模擬結(jié)果

圖1 p2漸近穩(wěn)定

圖2 p3漸近穩(wěn)定

3 生物意義及應(yīng)用

利用捕食這種生態(tài)學(xué)現(xiàn)象，可以限制種群的分布[5]和抑制種群的數(shù)量，如果受抑制的種群是有害動(dòng)物的話，那么捕食現(xiàn)象就可以用于防治目的.比如我們?nèi)粘Ｉa(chǎn)中，尤其是農(nóng)業(yè)上，害蟲會(huì)損害農(nóng)作物，使農(nóng)作物減產(chǎn)，如果引入適當(dāng)數(shù)量害蟲的天敵，把天敵看作捕食種群，害蟲是食餌種群，這就構(gòu)成了捕食者-食餌相互作用系統(tǒng)，既控制了害蟲所害農(nóng)作物，又省去了用農(nóng)藥污染環(huán)境的麻煩.再如我國(guó)特有的珍稀水生獸類白鰭豚面臨瀕臨滅絕的危機(jī)，利用捕食種群和食餌種群間的相互作用關(guān)系，我們可以人為的投放魚類(食餌)，禁止捕殺白鰭豚(捕食者)，創(chuàng)造適合白鰭豚的生存的環(huán)境資源.

由此可見，對(duì)捕食者-食餌系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的研究，可以幫助我們利用捕食種群和食餌種群間的相互作用關(guān)系，來預(yù)測(cè)種群隨時(shí)間的變化規(guī)律，或者人工干預(yù)對(duì)某些珍稀種群進(jìn)行保護(hù)、開發(fā)和利用，這一理論的應(yīng)用對(duì)人類的可持續(xù)生存發(fā)展有重要的指導(dǎo)意義和經(jīng)濟(jì)意義.