弦-梁耦合系統(tǒng)的動力學(xué)行為分析

王 霞, 李建平

(1. 鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)系，鄭州 450001；2. 河南工程學(xué)院 數(shù)理科學(xué)系，鄭州 451191)

近幾十年來，弦-梁耦合系統(tǒng)由于其在機(jī)械工程、建筑、航空航天以及汽車等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，已經(jīng)有了大量的文獻(xiàn)和研究成果，比如Cheng等[1]研究了通訊工程中的光纖耦合器，Wang等[2]用有限元方法研究了橋梁工程中的斜拉索橋，F(xiàn)ung等[3-5]分別用數(shù)值和理論分析的方法研究了索-梁組合結(jié)構(gòu)的非線性行為，丁虎等[6]研究了軸向變速黏彈性梁的橫向振動穩(wěn)定性，Chen等[7]研究了高維軸向變速黏彈性梁的分岔和混沌運(yùn)動，Ghayesh等[8]討論了橫向簡諧激勵力下的軸向運(yùn)動梁的臨界動力學(xué)行為，Cao等[9-10]分別用數(shù)值分析和全局?jǐn)z動等方法討論了弦-梁耦合系統(tǒng)的混沌動力學(xué)，文獻(xiàn)[11]利用多尺度法研究了3∶1內(nèi)共振條件下的弦-梁耦合系統(tǒng)的非線性動力學(xué)行為。

本文主要研究二自由度弦-梁耦合系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔行為。首先討論了系統(tǒng)在平凡解處的穩(wěn)定性，并給出了特征值隨阻尼參數(shù)的變化情況。其次，利用理論分析方法研究了初始平衡解、周期解和擬周期解的穩(wěn)定性以及導(dǎo)致Hopf分岔和2維胎面等分岔解的臨界分岔曲線。

1 問題描述

考慮弦-梁耦合系統(tǒng)的非線性橫向振動，如圖1，文獻(xiàn)[10]利用單模態(tài)Galerkin方法，得到弦-梁耦合系統(tǒng)的無量綱運(yùn)動的非線性常微分控制方程為：

(1a)

(1b)

(2)

其中:

圖1 模型示意圖

2 穩(wěn)定性分析

P(λ)=a0λ4+a1λ3+a2λ2+a3λ+a4=0

(3)

其中a0=1，a1=μ1+μ2，

a2=α2-α1l2+μ1μ2，a3=α2μ2-α1l2μ1，

a4=-α2α1l2。由Routh-Hurwitz判據(jù)，零解的穩(wěn)定條件為：

a1>0,a4>0

e2=a1a2-a0a3=

由上述穩(wěn)定性條件，可得系統(tǒng)的穩(wěn)定性圖,如圖(2)，其中考慮α2=0.2，μ2=0.1，l2=0.7。

根據(jù)文獻(xiàn)[12，13]，令:

(4)

由圖(2)可知，系統(tǒng)在平凡解附近的局部性質(zhì)有如下幾種情況：

(1) 純發(fā)散:a4>0,a2<0,K<0。此時特征方程(3)有四個實特征值，其中兩個特征值是正的，另兩個特征值是負(fù)的。(圖2中陰影部分。)

(2) 顫振：K>0或者a2>0,a4>0,K<0,e3<0。此時特征方程(3)有兩對復(fù)共軛特征值，其中一對復(fù)共軛特征值具有正實部，另一對復(fù)共軛特征值具有負(fù)實部。(圖2中水平線部分。)

(3) 衰減振蕩型發(fā)散：a4<0和e3>0或者e3<0和a3<0。此時特征方程(3)有一對具有負(fù)實部的復(fù)共軛特征值和兩個相反符號的實特征值。(圖2中斜線部分。)

圖2 零解的穩(wěn)定圖

(4) 顫振型發(fā)散：a4<0，e3<0，a3>0。此時特征方程(3)有一對具有正實部的復(fù)共軛特征值和兩個相反符號的實特征值。(圖2中豎線部分。)

(5) 其他情況：一對純虛根和一對具有負(fù)實部的復(fù)共軛特征值，此時要求e3=0，a3>0和e2>0；當(dāng)e3=0，a4=0時，特征方程(3)有一對純虛根和兩個零根等等。

接下來，當(dāng)參數(shù)α1=10,l2=-0.7,α2=0.2，參考文獻(xiàn)[14]中的方法，討論特征值隨阻尼參數(shù)的變化情況。此時,特征值可表示為：

(5a)

(5b)

圖3 λ1,2隨參數(shù)變化示意圖

圖4 λ3,4隨參數(shù)變化示意圖

3 分岔分析

在本節(jié)中，利用文獻(xiàn)[15-16]的方法，討論弦-梁耦合系統(tǒng)的穩(wěn)定性與分岔情況，主要考慮梁和弦之間的1∶2內(nèi)共振，共振關(guān)系可表示為：

(6)

其中σ1和σ2是兩個調(diào)諧參數(shù)。為便于下面分析，令外激勵振幅f11=f12=0和Ω2=1。

由參考文獻(xiàn)[10]可知系統(tǒng)的平均方程如下：

(7a)

(7b)

(7c)

(7d)

利用如下極坐標(biāo)變換：

x1=ρ1cosθ1,x2=ρ1sinθ1

x3=ρ2cosθ2,x4=ρ2sinθ2

(8)

將(7)式轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)形式：

(9a)

(9b)

(9c)

(9d)

3.1 初始平衡解

由系統(tǒng)(7)可知，(x1,x2,x3,x4)=(0,0,0,0)是系統(tǒng)的初始平衡解。接下來討論初始平衡解的穩(wěn)定性。

系統(tǒng)(7)在初始平衡解處的Jacobi矩陣的特征多項式可表示為：

(10)

則初始平衡解的穩(wěn)定條件為：

(11)

(12)

3.2 單模態(tài)解-周期解(ρ1≠0,ρ2=0)

在本小節(jié)，我們將給出周期解的穩(wěn)定性條件。首先考慮系統(tǒng)(7)在周期解處的特征多項式如下：

(13)

由方程(13)可以看出，系統(tǒng)(7)在周期解處的Jacobi矩陣的前兩個特征值λ1,2滿足方程：

(14)

(15)

因此，周期解失去穩(wěn)定性，并在直線μ2=0上發(fā)生Hopf分岔，產(chǎn)生混合模態(tài)解，即擬周期解(2維胎面)。

3.3 混合模態(tài)解-擬周期解(ρ1≠0,ρ2≠0)

由方程(9)可知系統(tǒng)的擬周期解(ρ1≠0,ρ2≠0)滿足如下方程：

(16a)

(16b)

考慮系統(tǒng)(7)在擬周期解處的Jacobi矩陣為:

(17)

其中

b13=4a11ρ1ρ2sinθ1cosθ2

b14=4a11ρ1ρ2sinθ1sinθ2

b23=-4a11ρ1ρ2cosθ1cosθ2

b24=-4a11ρ1ρ2cosθ1sinθ2

b31=8a23ρ1ρ2cosθ1sinθ2

b32=8a23ρ1ρ2sinθ1sinθ2

b41=-8a23ρ1ρ2cosθ1cosθ2

b42=-8a23ρ1ρ2sinθ1cosθ2

從而得到系統(tǒng)(7)在擬周期解處的特征多項式為:

P(λ)=b0λ4+b1λ3+b2λ2+b3λ+b4=0

(18)

由Routh-Hurwitz判據(jù)，擬周期解的穩(wěn)定條件為：

b1>0，b1b2-b0b3>0，b4>0，

(19)

則可得兩條臨界分岔曲線，其中一條為:

L2∶b4=0(b1>0，b1b2-b0b3>0，

(20)

在此臨界線上發(fā)生靜態(tài)分岔；另一條臨界分岔線為:

(b1>0，b1b2-b0b3>0,b4>0)

(21)

沿此臨界線出現(xiàn)第二次廣義Hopf分岔，并產(chǎn)生一個3維胎面。

4 數(shù)值模擬

本節(jié)利用Maple軟件，采用四階Runge-Kutta 算法對常微分方程組(7)進(jìn)行數(shù)值模擬。取系統(tǒng)參數(shù)a11=45,a14=24,a21=25,a23=16，f2=0.2，阻尼參數(shù)μ1=μ2=0.2，調(diào)諧參數(shù)σ1=0.02,σ2=0.01時，容易驗證，這些參數(shù)均滿足初始平衡解的穩(wěn)定條件，則當(dāng)系統(tǒng)初始值取為(x1,x2,x3,x4)=(0.01,-0.2,0.1,0.5)時，可得系統(tǒng)(7)的初始平衡解在x1-x2平面內(nèi)的投影，如圖5。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變?yōu)閍11=4.5，a14=2，a21=5,a23=2,f2=2,阻尼參數(shù)變?yōu)棣?=μ2=0.02，調(diào)諧參數(shù)變?yōu)棣?=0.2,σ2=0.01時，容易驗證，這些參數(shù)均滿足Hopf分岔解的穩(wěn)定條件，當(dāng)系統(tǒng)初始值不變，可得系統(tǒng)(7)的Hopf分岔解在x1-x2平面內(nèi)的投影，如圖6。

圖5 穩(wěn)定零解的軌道投影

5 結(jié) 論

研究了一類弦-梁耦合系統(tǒng)在弦與梁之間為2:1內(nèi)共振條件下的穩(wěn)定性與分岔行為。給出了幾種類型的不穩(wěn)定點，即純發(fā)散、顫振、衰減振蕩型發(fā)散、顫振型發(fā)散等，并給出了特征值隨阻尼參數(shù)變化的情況。利用穩(wěn)定性分析等解析方法，對平均方程進(jìn)行研究，給出了臨界分岔曲線的表達(dá)式。研究了系統(tǒng)的靜態(tài)分叉、Hopf分岔、2維胎面等分岔解及其穩(wěn)定性。采用Runge-Kutta算法對系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬，驗證了我們理論分析的正確性。

參 考 文 獻(xiàn)

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