一類電力系統(tǒng)的分岔和奇異性分析

王曉東,陳予恕

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001)

電力系統(tǒng)振蕩是關(guān)系電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行的重要問題，除了正常運(yùn)行的周期振蕩外，電力系統(tǒng)還時(shí)有發(fā)生混沌振蕩現(xiàn)象，其表現(xiàn)為非周期的、似乎無規(guī)則的、突發(fā)性或陣發(fā)性的機(jī)電振蕩，在振蕩嚴(yán)重的情況下會(huì)導(dǎo)致互聯(lián)系統(tǒng)的解列[1]。為此，越來越多的科學(xué)家和工程技術(shù)人員認(rèn)識(shí)到電力系統(tǒng)穩(wěn)定性問題的重要性，并將其作為系統(tǒng)安全運(yùn)行的重要方面在理論和工程技術(shù)應(yīng)用領(lǐng)域進(jìn)行研究[2-6]。

對(duì)于單機(jī)無窮大系統(tǒng)，Duan等[7]分析了帶有一系列電容補(bǔ)償器的單機(jī)無窮大系統(tǒng)的次同步諧振，應(yīng)用分岔理論分析了該系統(tǒng)出現(xiàn)的復(fù)雜的周期軌道分岔，環(huán)面折疊分岔；Zhu等[8]研究了單機(jī)無窮大系統(tǒng)中的次同步諧振，用Hopf分岔定理分析了Hopf分岔現(xiàn)象和穩(wěn)定的周期解；Alberto等[9]應(yīng)用Melnikov方法計(jì)算單機(jī)無窮大系統(tǒng)中異宿軌道橫截相交的條件；Wei等[10]研究了高斯白噪聲對(duì)電力系統(tǒng)安全盆侵蝕的影響； Chen等[11]用數(shù)值方法研究了單機(jī)無窮大系統(tǒng)中混沌現(xiàn)象并對(duì)其進(jìn)行控制；Zhang等[12]分析了一個(gè)非線性三參數(shù)電力系統(tǒng)的異宿分支，用Melnikov函數(shù)確定了發(fā)生混沌現(xiàn)象的閾值，獲得了發(fā)生混沌現(xiàn)象的參數(shù)區(qū)域；Chen等[13]研究了一類電力系統(tǒng)的混沌和次諧振蕩，給出了Melnikov函數(shù)的計(jì)算方法，并獲得電力系統(tǒng)發(fā)生混沌振蕩和次諧振蕩的錐形參數(shù)區(qū)域；Nayfeh等[14]用多尺度方法分析了一種電力系統(tǒng)中的亞諧共振和混沌現(xiàn)象，并用數(shù)值方法得到了發(fā)生混沌現(xiàn)象的途徑；Abed等[15]采用的修正單機(jī)無窮大模型考慮了系統(tǒng)狀態(tài)對(duì)機(jī)組阻尼系數(shù)的影響，分析了Hopf分岔現(xiàn)象。

現(xiàn)有大多數(shù)文獻(xiàn)[10-14]中同步發(fā)電機(jī)采用的是常數(shù)阻尼，即令阻尼系數(shù)D為常數(shù)。實(shí)際上，阻尼在系統(tǒng)正常運(yùn)行的情況下是與系統(tǒng)的狀態(tài)變量相關(guān)的，而且可能為正，也可能為負(fù)[15]。因此若D取用常值可能會(huì)改變系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性，不能真實(shí)反映系統(tǒng)的穩(wěn)定性情況，影響了分析的準(zhǔn)確性。

為此本文在文獻(xiàn)[15]提出的修正單機(jī)無窮大模型基礎(chǔ)上，建立了單機(jī)無窮大系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，研究具有非線性阻尼時(shí)單機(jī)無窮大系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，運(yùn)用多尺度法分析了周期負(fù)荷擾動(dòng)下單機(jī)無窮大系統(tǒng)的主共振響應(yīng)，求得了二階近似周期解的解析表達(dá)式，得到了主共振響應(yīng)的幅頻曲線，應(yīng)用C-L方法分析了不同參數(shù)區(qū)域內(nèi)的局部分岔現(xiàn)象及其穩(wěn)定性，通過數(shù)值仿真所得的結(jié)論，解釋了同步發(fā)電機(jī)在不同系統(tǒng)參數(shù)下對(duì)應(yīng)的實(shí)際運(yùn)行工況，也為同步發(fā)電機(jī)的穩(wěn)定同步運(yùn)行提供定性理論指導(dǎo)。

1 單機(jī)無窮大電力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

圖1 單機(jī)無窮大系統(tǒng)

單機(jī)無窮大系統(tǒng)模型如圖1所示。 圖1中“1”和“2”分別為同步發(fā)電機(jī)和無窮大系統(tǒng)，“3”和“4”為主變壓器，“5”為負(fù)荷，“6”為斷路器，“7”為系統(tǒng)聯(lián)絡(luò)線。設(shè)無限大母線電壓U∠0°為電壓參考相量，同步發(fā)電機(jī)的內(nèi)電動(dòng)勢(shì)為E，δ為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子q軸與同步參考軸間的相對(duì)角度，俗稱“功角”，ω為相對(duì)角速度，發(fā)電機(jī)的慣性時(shí)間常數(shù)為TJ，ω0為同步參考軸線的同步角速度，記M=TJ/ω0，發(fā)電機(jī)的機(jī)械輸入功率PM為恒定值，發(fā)電機(jī)到無限大母線之間的等效電抗為X，PE為發(fā)電機(jī)的電磁功率，則系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為：

(1)

當(dāng)發(fā)電機(jī)為隱極式時(shí)有：

考慮系統(tǒng)受到某周期性負(fù)荷擾動(dòng)并考慮同步發(fā)電機(jī)的阻尼作用，則得：

(2)

式中:D為等值阻尼系數(shù)，PD為擾動(dòng)功率幅值，Ω為擾動(dòng)頻率。

做無量綱化處理，令:

并記:

則方程(2)化為：

(3)

為理解單機(jī)無窮大電力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，首先對(duì)于無擾系統(tǒng)即c=0,f=0時(shí)的系統(tǒng)進(jìn)行分析，可得其相圖如圖2所示：

圖2 0<ρ<1時(shí)無擾系統(tǒng)的相圖

圖2是不同初始條件的無擾系統(tǒng)的相軌跡，“1”代表小幅振蕩軌道，“2”為聯(lián)接兩個(gè)平衡點(diǎn)的同宿軌道，為“1”與“3”的分界線，“3”代表旋轉(zhuǎn)軌道。

記無擾系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為E,P0，則其坐標(biāo)分別為：

(x1,0)=(arcsinρ,0), (x2,0)=(π-arcsinρ,0)

易知E(x1,0)為中心，P0(x2,0)為鞍點(diǎn)。

隨著參數(shù)ρ的增大，中心和鞍點(diǎn)的位置逐漸靠近，當(dāng)參數(shù)ρ=1時(shí)，中心和鞍點(diǎn)重合在一起退化成為中心-鞍點(diǎn)(如圖3所示)，此時(shí)對(duì)應(yīng)同步發(fā)電機(jī)穩(wěn)定與不穩(wěn)定的臨界點(diǎn)，系統(tǒng)處于靜態(tài)穩(wěn)定極限，同時(shí)表明靜態(tài)穩(wěn)定極限所對(duì)應(yīng)的功角正好與最大電磁功率的功角一致。

圖3 ρ=1時(shí)，無擾系統(tǒng)相圖

考慮系統(tǒng)正常運(yùn)行的情況下，同步發(fā)電機(jī)中阻尼與系統(tǒng)的狀態(tài)變量相關(guān)性作用，文獻(xiàn)[15]給出的修正單機(jī)無窮大模型考慮了系統(tǒng)狀態(tài)對(duì)機(jī)組阻尼系數(shù)的影響，結(jié)合文獻(xiàn)[16]給出的非線性阻尼模型(經(jīng)驗(yàn)公式)，本文用vander Pol阻尼代替常系數(shù)阻尼，即令式(3)中c=ξ+γx2，則得:

(4)

2 小幅振蕩的主共振分析

下面討論周期性負(fù)荷擾動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的主共振響應(yīng)，將式(4)中的非線性項(xiàng)sinx在中心點(diǎn)(x1,0)=(arcsinρ,0)處Taylor展開，由奇異性理論[17]中的識(shí)別條件，保留至二次非線性項(xiàng)得：

(5)

重新標(biāo)度方程令:

ξ→ε2ξ,γ→ε2γ,α→εα,f→ε2f, 0<ε?1為小參數(shù)，則方程化為：

(6)

現(xiàn)用多尺度法[18]尋求方程的漸近解：

x(t,ε)=x0(T0,T1,T2)+εx1(T0,T1,T2)+ε2x2(T0,T1,T2)

(7)

式中:T0=t,T1=εt,T2=ε2t，T0為快變時(shí)間尺度，T1,T2為慢變時(shí)間尺度。

研究主共振情況，因而設(shè):

(8)

由多尺度法，比較ε同次冪的系數(shù)，得下列微分方程組：

(9)

(10)

(11)

方程(9)的復(fù)數(shù)形式的解為:

(12)

(13)

式中:cc表示等式右端函數(shù)的共軛復(fù)數(shù)部分，為使解中不出現(xiàn)久期項(xiàng)，須有:

D1A=0

由上式得：A=A(T2)，則方程(13)的特解為：

(14)

于是系統(tǒng)周期振蕩響應(yīng)的二階近似解為:

將式(12),式(14)代入式(11)得：

(15)

式中:NST表示不產(chǎn)生久期項(xiàng)的項(xiàng)，消除式(15)中的久期項(xiàng)得：

(16)

設(shè):

(17)

式中:a,φ為T2的實(shí)函數(shù)，將式(17)代入式(16)分離實(shí)部與虛部得：

(18)

圖4 幅頻特性曲線

(19)

從方程組(19)消去φ得頻率響應(yīng)方程：

(20)

討論定常運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，設(shè):

(21)

其中:a0,φ0為式(20)的一組解，a1,φ1為小的擾動(dòng)量，將式(21)代入式(18)并對(duì)a1,φ1展開，注意到a0,φ0滿足式(19)并略去a1,φ1二階及以上微量，得：

(22)

因而定常運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性依賴于式(22)的右端的系數(shù)矩陣的特征值。

利用式(19)，可得特征方程為：

(23)

由特征方程的特征根可知，在幅頻曲線圖像(圖4)中，對(duì)于每一幅頻曲線，具有鉛垂切線的曲線之間的部分為不穩(wěn)定，其余部分穩(wěn)定，即當(dāng)有多值解時(shí)，中間的一個(gè)解為不穩(wěn)定的，其余兩個(gè)為穩(wěn)定的，其在該區(qū)間內(nèi)有可能發(fā)生振幅的跳躍現(xiàn)象。

圖5 響應(yīng)幅值-激勵(lì)幅值曲線

3 主共振的奇異性分析

根據(jù)C-L方法[17]對(duì)方程(20)作奇異性分析，令:

z=a2

(24)

得:

c3z3+c2z2+c1z+c0=0

(25)

其中:

記:

c3(z3+ε2z2+λz+ε1)=c3G(z,λ,ε1,ε2)

G(z,λ,ε1,ε2)=z3+ε2z2+λz+ε1

(26)

取λ為分岔參數(shù)，ε1,ε2為開折參數(shù)，顯然G(z,λ,ε1,ε2)為芽g=(z,λ)=z3+λz的普適開折，且余維數(shù)為2。由奇異性理論[19]通過計(jì)算得：

圖6 轉(zhuǎn)遷集

圖7 不同保持域內(nèi)的分岔圖

轉(zhuǎn)遷集如圖6所示，可以看出，轉(zhuǎn)遷集將平面ε1-ε2分成四個(gè)不同的保持域，在不同區(qū)域內(nèi)的分岔模式如圖7所示，依之可調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)達(dá)到選擇工程中允許的動(dòng)態(tài)行為模式的目的，因而可為同步發(fā)電機(jī)不同運(yùn)行參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)下的動(dòng)力學(xué)分析、分岔控制和工程優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo)。

4 數(shù)值分析

為更好的理解單機(jī)無窮大電力系統(tǒng)隨著周期性負(fù)荷擾動(dòng)的變化所呈現(xiàn)的動(dòng)態(tài)特性，以下用數(shù)值仿真的方法討論系統(tǒng)(4)的動(dòng)力學(xué)行為變化情況。

圖8 f不同時(shí)的分岔圖

由圖8可以看出，隨著激勵(lì)幅值f的增大，系統(tǒng)響應(yīng)出現(xiàn)了倍周期分岔現(xiàn)象，軌道經(jīng)歷了周期1→周期2→混沌解的變化。當(dāng)激勵(lì)的幅值較小時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)了周期1解，其相圖如圖9(a)所示，此時(shí)同步發(fā)電機(jī)可以保持同步運(yùn)行，電力系統(tǒng)處于暫態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)，隨著外激勵(lì)幅值f增大，當(dāng)f=0.72時(shí)出現(xiàn)了周期2解，其相圖如圖9(b)所示；當(dāng)f=0.725 9時(shí)出現(xiàn)了混沌解，此時(shí)發(fā)電機(jī)功角出現(xiàn)了不規(guī)則也不衰減的類似隨機(jī)的混沌振蕩，功角不再穩(wěn)定可靠，系統(tǒng)失穩(wěn)。圖9(c)和圖9(d)分別為混沌狀態(tài)的相圖和對(duì)應(yīng)的混沌吸引子，由全局分岔圖(圖8)可見，混沌狀態(tài)僅存在于擾動(dòng)幅值f的一個(gè)很窄的數(shù)值范圍內(nèi)，當(dāng)f=0.79時(shí)出現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)周期軌道，其相圖如圖9(e)所示，此時(shí)隨著功角δ的增大，加速轉(zhuǎn)矩不斷增大，使發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子不斷加速，發(fā)電機(jī)就不可能再恢復(fù)到同步運(yùn)行，系統(tǒng)由于增幅振蕩最終失去穩(wěn)定，發(fā)電機(jī)失去同步后將在系統(tǒng)間產(chǎn)生功率和電壓的強(qiáng)烈振蕩，結(jié)果使發(fā)電機(jī)組和負(fù)荷被迫切除，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)解列或瓦解。

圖9 f不同時(shí)的相圖及混沌吸引子

5 結(jié) 論

本文應(yīng)用非線性動(dòng)力學(xué)的解析方法，分析了在周期性負(fù)荷擾動(dòng)下電力系統(tǒng)振蕩的失穩(wěn)現(xiàn)象，考慮了同步發(fā)電機(jī)非線性阻尼轉(zhuǎn)矩的作用，比傳統(tǒng)文獻(xiàn)更貼近工程實(shí)際，由于保留了電力系統(tǒng)的非線性特征，因此所得結(jié)果能夠更好地反應(yīng)振蕩失穩(wěn)的機(jī)理，可以為電力系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行提供依據(jù)，具體有：

(1)應(yīng)用多尺度方法和C-L方法，對(duì)受周期負(fù)荷擾動(dòng)的單機(jī)無窮大電力系統(tǒng)的主共振進(jìn)行了研究，得到了系統(tǒng)小幅振蕩周期解的二次解析表達(dá)式和幅頻響應(yīng)方程，分析了定常解的穩(wěn)定性并得到了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分岔方程的轉(zhuǎn)遷集和對(duì)應(yīng)的分岔圖，研究表明該系統(tǒng)的不同分岔模式與其運(yùn)行參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)有密切聯(lián)系，可為同步發(fā)電機(jī)的動(dòng)力學(xué)分析、分岔控制和工程優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo)。

(2)電力系統(tǒng)在周期性激勵(lì)下，當(dāng)擾動(dòng)激勵(lì)幅值較小時(shí)，同步發(fā)電機(jī)功角具有小幅振蕩周期解，數(shù)值結(jié)果與理論結(jié)果一致，同步發(fā)電機(jī)能夠保持同步運(yùn)行，擾動(dòng)幅值達(dá)到某個(gè)臨界值時(shí)，發(fā)電機(jī)功角出現(xiàn)不規(guī)則的振蕩現(xiàn)象，系統(tǒng)處于混沌振蕩狀態(tài)，影響了系統(tǒng)的正常運(yùn)行，同步發(fā)電機(jī)失步，電力系統(tǒng)失穩(wěn)，擾動(dòng)幅值若繼續(xù)增大，發(fā)電機(jī)功角持續(xù)增大，同步發(fā)電機(jī)失步，造成系統(tǒng)解列。

參 考 文 獻(xiàn)

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