分?jǐn)?shù)階為2<α≤3的微分方程兩點(diǎn)邊值問題解的存在性

葛 碧,王 培，徐艷艷

(1.重慶師范大學(xué)涉外商貿(mào)學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，重慶 合川 401520；2.西華大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,四川 成都 610039)

近年來,隨著分?jǐn)?shù)階微分方程在工程、經(jīng)濟(jì)等眾多領(lǐng)域的重要應(yīng)用,此問題的研究亦受到眾多學(xué)者的關(guān)注。研究分?jǐn)?shù)階微分方程及分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問題對(duì)解決非線性問題意義重大。

本文主要研究以下邊值問題：

(1)

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]函數(shù)f:(0,+∞)→R的α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分為

其中：α>0；Γ(α)為Gamma函數(shù),右端在R+上逐點(diǎn)有定義。

定義2[1]函數(shù)f:(0,+∞)→R的α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為：

其中n=[α]+1,[α]表示α的整數(shù)部分,右端在R+上逐點(diǎn)有定義。

其中n-1<β

本文的主要結(jié)果證明將用到以下3個(gè)引理。

其中,cj∈R,j=1,2,…,n。n是滿足n≥α的最小整數(shù)。

引理2 若u(t)∈C[0,1],分?jǐn)?shù)階邊值問題

(2)

結(jié)合Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分的定義可有

則邊值問題(2)的唯一解可以表示為

在這里,

則函數(shù)|G′(t,s)|是t∈[0,1]上的可積函數(shù)。

我們考慮

故分?jǐn)?shù)階邊值問題(1)有解等價(jià)于算子方程Tu=u有不動(dòng)點(diǎn)(這里只考慮0<β<1的情況)。

C[0,1]表示[0,1]上全體連續(xù)函數(shù)，其范數(shù)定義為

易知(X,‖·‖X)是Banach空間。

引理3[1]設(shè)X是一個(gè)Banach空間，U?X為非空有界凸子集，又設(shè)T:U→U是一個(gè)全連續(xù)算子，則T在U中有不動(dòng)點(diǎn)。

2 主要結(jié)論及證明

則分?jǐn)?shù)階2點(diǎn)邊值問題(1)至少有1個(gè)解。

證明：令

令U={u(t)|u(t)∈X,‖u‖≤d,t∈[0,1]},則U是有界閉凸子集。

因此,T是連續(xù)的。

接下來,我們證明T:U→U。對(duì)任意的u(t)∈U有

因此,T是U→U的。

因?yàn)?/p>

2t2(1-t)α-1,2t2(1-τ)α-1,tα,t2,τα,τ2,4t(1-t)α,4t(1-τ)α,2t,2τ,4(t-τ)-β在[0,1]上都是一致連續(xù)的, 所以算子T是等度連續(xù)的, 又有Tu∈U, 故一致有界。 因此T是全連續(xù)算子。則由不動(dòng)點(diǎn)定理可知,分?jǐn)?shù)階邊值問題(1)在U中至少有一個(gè)解。

[1]張曉娜,胡衛(wèi)敏,邱中蔚.一類分?jǐn)?shù)階微分方程兩點(diǎn)邊值問題解的存在性[J].伊犁師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012(1):5-9.

[2] Xu Xiaojie , Jiang Daqing , Yuan Chengjun . Multiple Positive Solutions for the Boundary Value Problem of a Nonlinear Fractional Differential Equation[J]. Nonlinear Analysis, 2009,71:4676-4688.

[3]Bai Z B, Lu H S. Positive Solutions for Boundary Value Problem of Nonlinear Fractional Differential Equation[J]. J Math Anal Appl,2005,311:495-505.

[4]Su X W, Liu L D. Existence of Solution for Boundary Value Problem of Nonlinear Fractional Differential Equation[J].App1 Math Chinese Univ Se B,2007,22(3):291-298.

[5]Xu X,Jiang D, Yuan C. Multiple Positive Solutions for Boundary Value Problem of Nonlinear Fractional Differential Equation[J].Nonlinear Analysis Series A:Theory,Methods and Applications, Nonlinear Analysis,2009,71:4676-4688.