關(guān)于減法補數(shù)復(fù)合函數(shù)的均值估計

黃 煒1 ，劉志峰

(1．寶雞職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，陜西 寶雞 721013； 2.湖南化工職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)課部，湖南 株洲 412004)

著名美籍羅馬尼亞數(shù)論專家F.Smarandache1993年提出了105個數(shù)論中尚未解決的問題和猜想[1]，引起了許多學(xué)者的極大研究興趣，其中第29個問題是建議人們研究補數(shù)數(shù)列的性質(zhì)，關(guān)于這一問題不少學(xué)者進行了研究， 獲得了不少有趣的結(jié)果[2-5]。文獻(xiàn)[2]中，作者分別定義了正整數(shù)n的k次減法補數(shù)

fk(n)=min{r|0≤r=n-mk,m∈N+}

(1)

1)對于任何實數(shù)x>1，有下面的漸近公式

(2)

(3)

文獻(xiàn)[3-5] 定義了3個數(shù)論函數(shù)U(n)、V(n)和ep(n)函數(shù)。

1 定理的提出

本文利用初等方法及解析方法研究了關(guān)于n-fk(n)與3個數(shù)論函數(shù)U(n)、V(n)和ep(n)的復(fù)合函數(shù)U(n-fk(n))、V(n-fk(n))及ep(n-fk(n))均值分布，即證明了下面的結(jié)論。

定理1 設(shè)k是給定任意正整數(shù)，對于任意實數(shù)x≥2，有下面的漸近公式

(4)

定理2 設(shè)k是給定任意正整數(shù)，對于任意實數(shù)x≥2，有下面的漸近公式

(5)

定理3 設(shè)k是給定任意正整數(shù)，對于任意實數(shù)x≥2，有下面的漸近公式

(6)

2 預(yù)備知識

引理1:設(shè)k是給定任意正整數(shù)，對于任意實數(shù)x≥2，有下面的漸近公式

(7)

證明：對于任何的正整數(shù)x≥2，存在正整數(shù)M，使得Mk≤x<(M+1)k，

我們可以推斷，

由于

這就完成了引理1的證明。

引理2： 設(shè)r是給定任意正整數(shù)，對于任意實數(shù)x≥1，有下面的漸近公式

(8)

證明見文獻(xiàn)[5] 。

引理3： 設(shè)r是給定任意正整數(shù)，對于任意實數(shù)x≥1，有下面的漸近公式

(9)

證明見文獻(xiàn)[5] 。

引理4：設(shè)p為一個素數(shù),對于任一非負(fù)整數(shù)m，對于任何實數(shù)x≥1 ，有漸近公式

(10)

證明：由ep(n)的定義我們有

(11)

引理3得證。

3 定理的證明

3.1 定理1的證明

且對于任何素數(shù)p及其重數(shù)α，U(pα)=αp，且有估計式U(n)?n，根據(jù)函數(shù)n-fk(n)的定義

我們可以推斷

(12)

U(n)?nε其中ε為一固定的整數(shù)。

(13)

我們立即有

(14)

這就完成了定理1的證明。

3.2 定理2的證明

證明：類似于定理1的證明，根據(jù)函數(shù)n-fk(n)的定義及V(n)?nε(ε為一固定的整數(shù))，有

(15)

(16)

我們立即有

(17)

這就完成了定理2的證明。

3.3 定理3的證明

(18)

[1]Smarandache F．Only Problems，Not solutions [M]. Chicago: Xiquan Publishing House，1993．

[2]黃煒，張轉(zhuǎn)社．k次減法補數(shù)的因子函數(shù)的均值的漸近公式[J].海南大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，28(1):11-13．

[3]黃煒.兩個Smarandache復(fù)合函數(shù)的混合均值公式[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2011，41(24)：252-255．

[4]沈虹.一個新的數(shù)論函數(shù)及其它的值分布[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2007，23(2):235-238.

[5] Lv Chuan. A Number Theoretic Function and Its Mean Vale[M]. Phoenix ：Research on Smarandache Preoblems in Number Theory, 2004：33-35.

[6]Tom M A.Introduction to Analytic Number Theory[M].New York: Springer Verlag, 1976.