一個折疊問題的再解

李玉榮

［摘要］ 本文對一道折疊問題在《寧靜致遠 另辟蹊徑》一文的基礎上進行直接、有效的再解，感悟“通法”的解題價值，培養(yǎng)學生的多元思維能力.

［關鍵詞］ 折疊；周長：解題；思維

題目?搖 如圖1所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點E，F(xiàn)分別在AB，DC上，將正方形紙片沿EF折疊，使點B落在點M處，點C落在點N處，MN交DC于點P，隨著落點M在AD邊上取遍所有的位置（點M不與A，D重合），試求△PDM的周長．

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《中學數(shù)學》（初中版）2013年第7期朱記松老師的文章《寧靜致遠，另辟蹊徑》給出了這個折疊問題的三種解法，其中解法1、2并不新鮮，源于下面兩道中考題及其標準答案（限于篇幅，答案略）.

題1（2010江蘇徐州）如圖2所示，將邊長為4 cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊（點E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上），使點B落在AD邊上的點M處，點C落在點N處，MN與CD交于點P， 連結EP．

（1）如圖3所示，若M為AD的中點，則：

①△AEM的周長=______?搖cm；

②求證：EP=AE+DP.

（2）隨著落點M在AD邊上取遍所有的位置（點M不與A，D重合），△PDM的周長是否發(fā)生變化？請說明理由．

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題2（2012山東德州）如圖4所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點（不與A，D重合），將正方形紙片折疊，使點B落在點P處，點C落在點G處，PG交DC于點H，折痕為EF，連結BP，BH．

（1）求證：∠APB＝∠BPH.

（2）當點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？證明你的結論.

（3）設AP的長為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關系式. 試問：S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

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朱老師文中提供的解法3是解析法，似乎還用到高中的“斜率”知識，用解析法處理幾何難題一般比較簡潔，但朱老師的解法3冗長煩瑣，教師讀來也感覺疲憊，不耐心根本看不懂、想不到、算不出，可見，其教學參考價值不大，更談不上培養(yǎng)初中生的發(fā)散思維能力. 筆者對此題很感興趣，也曾有過研究，現(xiàn)將另兩種解法與讀者分享．

解法1?搖 如圖5所示，延長DC至點G，使CG=AM，連結BG，GM，顯然△BAM≌△BCG，所以BG=BM，∠AMB=∠CGB. 又因為∠AMB=∠MBC=∠BMN，所以∠BMN=∠CGB. 因為BG=BM，所以∠BGM=∠BMG. 所以∠PMG=∠PGM. 所以PM=PG，即PM=MA+CP. 所以△PDM的周長為PD＋PM＋DM＝PD＋MA＋CP＋DM＝AD＋CD＝8．

解法2?搖 如圖6所示，延長DA至點G，使GM=PM，連結BG，因為∠GMB=∠MBC=∠BMP，MB=MB，所以△BMP≌△BMG. 所以BP=BG. 又BA=BC，所以Rt△BGA≌Rt△BPC. 所以GA=CP. 所以PM=MA+CP. 所以△PDM的周長為PD＋PM＋DM＝PD＋MA＋CP＋DM＝AD＋CD＝8．

評注?搖 將正方形的一邊適當延長以構造全等三角形，是解決和正方形相關的幾何題常用的有效方法，以上兩種解法都很簡潔．

波利亞的名言：掌握數(shù)學就意味著善于解題. 在數(shù)學教學中，解題活動是最基本的活動形式；學習數(shù)學，關鍵之一是學會解題，解題教學是教師的基本功. 學生在數(shù)學學習上的成長主要是通過解題水平來體現(xiàn)的，《義務教育數(shù)學課程標準》（2011版）在第三學段（7～9年級）的“學段目標”中提出：經歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗解決問題方法的多樣性，掌握分析問題和解決問題的一些基本方法. 教師通過采擷典型中考題，多角度探索考題的不同解法，并且引導學生體會各種解法的特點和優(yōu)劣，深入挖掘考題的解題思路，發(fā)揮考題的最大效益，使之有效服務于教學，提高教學效率，促使學生積累良好的基本活動經驗，這才是教師真功夫的體現(xiàn)．